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精品解析:山西省大学附中2013届高三10月月考数学(理)试题解析(教师版)


一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1. i 是虚数单位, A. 1 ? 2i

5i ? 2?i

[来源:学*科*网]

B. ? 1 ? 2i

C. 1 ? 2i

D. ? 1 ? 2i

【答案】D 5i 5i(2 ? i) ?5 ? 10i 【解析】 ? ? ? ?1 ? 2i. 2 ? i (2 ? i)(2 ? i) 4 ?1 【考点定位】本题考查复数的乘除运算,分母实数化。
?x ? y ? 3 ? 2.设变量 x,y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 .则目标 函数 z=2x+3y 的最小值为 ?2 x ? y ? 3 ?
A. 6 B. 7 C. 8 D. 23

3.命题“存在 x0 ? R , 2

x0

? 0 ”的否定是

A.不存在 x0 ? R , 2

x0

?0

B.存在 x0 ? R 2

x0

?0
x

C.对任意的 x ? R , 2 ? 0
x

D.对任意的 x ? R , 2 ? 0

【答案】D 【解析】特称量词存在改为任意,结论大于等于零改为小于零. 【考点定位】本题考查含有特称量词命题的否定。
4.设函数 f ( x) ?

1 x ? ln x( x ? 0) 则 y ? f (x) 3

1 1 B.在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点。 e e 1 1 C.在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点。 D.在区间 ( ,1) 内无零点,在区间 (1, e) e e
A.在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点。 内有零点。

5.右图是一个算法的程序框图,该算法输出 n 的结果是

1 A. 2
【答案】C

2 B. 3

3 C. 4

4 D. 5

【解析】循环限制条件i ? 4, 输出的n值为: ? 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ? ? =1 ? ? ? ? ? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 2 2 3 3 4 4. 【考点定位】本题考查读程序框图,运用循环结构求和。 0+
6. 在等差数列 {an } 中,已知 a6 ? 5 , S n 是数列 {an } 的前 n 项和,则 S11 ? A. 45 B. 50 C. 55 D. 60

7. 已 知 函 数 f ( x) ? sin(?x ?

?
4

)( x ? R, ? ? 0) 的 最 小 正 周 期 为 ? , 为 了 得 到 函 数

g ( x) ? c o s x 的图象,只要将 y ? f (x) 的图象 ?

? 个单位长度 8 ? C. 向左平移 个单位长度 4
A. 向左平移

? 个单位长度 8 ? D. 向右平移 个单位长度 4
B. 向右平移

8 已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 4 x, x ? 0 ? ?4 x ? x 2 , x ? 0 ?

若 f (2 ? a ) ? f (a) 则实数 a 的取值 范围是
2

A. (??, ?1) ? (2, ??)

B. (?1, 2)

C. (?2,1)

D . (??, ?2) ? (1, ??)

【答案】C 【解析】y=x2 +4x,在x ? 0时单调递增,y=4x-x2,在x ? 0时单调递增, 所以分段函数f (x)在定义域上单调递增, f (2-a 2 )? f (a),? 2-a 2 ? a,? -2 ? a ? 1. ? 【考点定位】本题考查分段函数的单调性、解不等式,考查学生分析问题能力。
9.设双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线与抛物线 y ? x 2 ? 1 只有一个公共点, 2 a b

则双曲线的离心率为

5 A. 4

B. 5

C.

5 2

D . 5

【答案】D 【解析】可以设切点为(x0 ,x02 +1),由y?=2x,? 切线方程为:y-(x02 +1)=2x0 ( x ? x0 ) 即:y ? 2x0 x ? x02 +1,?已知双曲线的渐近线为:y= ?
2

1?x 2 ?0 b x,?{ 0 , a ? b ?2x a
0

b ? b2 b c c a ?b ? x0 ? ?1? ? 2,? e ? ? 2 ? ? 4 2 ? 5. b a a a a2 4 【考点定位】 ?本题考查双曲线的性质、导数的几何意义、直线的点斜式
2 2 2

方程,考查学生分析问题的能力和基本计算能力。
10.在区间 [?1,1] 上随机取一个数 x , cos

?x
2
1 2

的值介于 0 到

1 之间的概率为 2

1 A. 3

2
B. ? C.

2 D .3

? 11.已知球的直径 SC ? 4 , A, B 是该球面上的两点, AB ? 3 , ?ASC ? ?BSC ? 30 ,

则三棱锥 S ? ABC 的体积为
S

A. 3 3

B . 2 3

C . 3

D .

3 2
O P C A B

【答案】C 【解析】由已知SC为球体的直径,A,B为球体上的两点, 所以SA ⊥ AC,SB ⊥BC,又∠ASC = ∠BSC =30° , ? AC ? BC ? 2, SA = SB = 2 3,过点A作AP ⊥SC,则BP ⊥SC, ? SC ⊥ 面ABP,如图所示: AP= ? ?△PAB为等边三角形, 1 1 1 ? V三棱锥S-ABC = ? S△ PAB ? SC = ? ( ? 3 ? 3 ? sin 60°)? 4 = 3. 3 3 2 【考点定位】 ?本题考查球体、圆的性质、空间线面关系、 三棱锥的体积、三角形相似的性质,考查学生把立体几何问 题转化为平面几何问题求解的思想。
12.设抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点为 F ,过点 M ( 3,0) 的直线与抛物线相交于 A, B 两点,与抛 物线的准线相交于 C , | BF |? 2 ,则 ?BCF 与 ?ACF 的面积之比

AC ? SA 2 ? 2 3 ? ? 3, SC 4

S ?BCF = S ?ACF

4 A. 5

2 B .3

4 C .7

1 D .2

3

2

A

1

6

4

2

F O
1

2 M

4

6

8

B
2 3

4

5

6 C

7

二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. )
源:学_科_网]

[来

13.有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm ) ,
5

则该几何体的表面积为:_______
6

5

5 6 侧视图

5

【答案】 ? cm 24

2

正视图

【解析】由三视图知该几何体为:底面直径为6cm, 母线长为5cm的圆锥体,由圆锥表面积公式得: 6 2 1 6 ( )? ? ? 2? ? ? 5=24? . 2 2 2 【考点定位】本题考查圆锥体的三视图和圆锥的表面 积公式,考查学生的空间想象力和三视图的基本知识。
14. ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) ? ? ? ? ? a8 ( x ? 1)
3 8 2 8

6
俯视图

,

则 a6 ? ______。

【答案】28
0 1 0 1 【解析】由二项式定理得:C8 ? (?2)0 ? a8C80 ? (?1)0 , C8 ? (?2) ? a7 ? C7 ? (?1)0 ? a8C8 ? (?1), 2 0 1 C8 ? (?2) 2 ? a6C6 ? (?1)0 ? a7 ? C7 ? (?1) ? a8C82 ? (?1) 2 ,? a8 ? 1, a7 ? ?8, a6 ? 28.

【考点定位】本题考查二项式定理特殊项系数问题。
15.在四边形 ABCD 中, AB ? DC ? (1,1) , 的面积是______ ________

BA | BA |

?

BC | BC |

?

3 ? BD | BD |

,则四边形 ABCD

D G F A E B

C

【答案】 3

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ???? 【解析】由已知得:四边形ABCD为平行四边形, ? BC = BD, BA AB ? DC ? 2, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? BA ??? BC ??? 3 BD ? ? 设: ? ???? , BF ? ???? , BG ? ???? ,点E , F , G分别在线段BA,BC , BD上, BE BA BC BD ? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ???? ???? ? ??? ? 且EG ∥ BF, ∥ BE, BE ? BF ? 1, BG ? 3, FG ? cos∠BAD ? cos∠BEG = ? S四边形ABCD =2 ? GE ? EB ? BG
2 2 2

2 EG ? EB

?

1?1? 3 1 ? ? ?∠BAC ? 120° , 2 ? 1? 1 2

1 3 ? AB ? AD ? sin ∠BAD ? 2 ? 2 ? ? 3. 2 2 【考点定位】本题考查平行向量(共线向量)、向量的平行四边形法则、 余弦定理、三角形面积公式。
16.用数字 0,1, 2,3, 4,5,6 组成没有重复数字的四位数, 其中个位、 十位和百位上的数字之和 为偶数的四位数共有 __ _________ 个(用数字作答)

三.解答题: (共 70 分。解答应写 出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, BC ? (I) 求 AB 的值: (II) 求 sin( 2 A ?

5 , AC ? 3 , sin C ? 2sin A

?
4

) 的值

【解析】根据已知条件三角形的边、及角的正弦关系,考虑运用 三角形的正余弦公式求解,要求与角的二倍有关的角的三角函数 值,用到了倍角公式和差角的正弦公式求解。 【考点定位】本题考查正余弦定理,倍角公式和差角三角函数公式。 【引申】(2011山东卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c, cos A ? 2 cos C 2c ? a 已知 ? . cos B b sin C 1)求 的值。 sin A 1 2)若cosB= , b ? 2, 求△ABC的面积。 4 2c ? a 2 sin C ? sin A 【解】1)由正弦定理得 ? , b sin B cos A ? 2 cos C 2 sin C ? sin A ? ? , cos B sin B 即: A sin B ? 2 cos C sin B ? 2 sin C cos B ? sin A cos B, cos ? sin( A ? B ) ? 2 sin(C ? B ) sin C 即: C ? 2 sin A,? sin ? 2. sin A 2)由余弦定理得:a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? b 2 ,由 )知:c ? 2a, 1 1 1 ? cosB= , b ? 2,? a 2 ? 4a 2 ? ? 4a 2 ? 4,? a ? 1, c ? 2, 4 4 1 1 1 15 S△ABC = ac sin B ? ? 1? 2 ? 1 ? ( ) 2 ? . 2 2 4 4

18.(本小题满分 12 分) 在 10 件产品中,有 3 件一等品, 4 件二等品, 3 件三等品。从这 10 件产品中任取 3 件,求: (I) 取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望; (II)取出的 3 件产品中一等品 件数多于二等品件数的概率。
3 【答案】(I)由于从10件产品中任意取3件的结果数为C10,从10件产品中 k 任意取3件,其中恰有k 件一等品的结果数为C3 C3? k , 那么从10件产品中任意 7

取3件,其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)= 变量X 的分布列是:

k 3 C3 C7 ? k , k ? 0,1, 2, 3, 所以随机 3 C10

X P

0

1

2

3

21 7 40 40 7 21 7 1 9 X 的数学期望EX =0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? = . 24 40 40 120 10

7 24

1 120
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

X

0

1

2

(II)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A, “恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1,“恰好取出2件一等 品”为事件A 2,“恰好取出3件一等品”为事件A3,由于事件A1 ,A 2 ,
1 C3C32 3 A3彼此互斥,且A =A1 ? A 2 ? A3,而P (A1 )= 3 ? , C10 40

7 1 , P(A3 ) ? P( X ? 3) ? , 40 120 3 7 1 3 P( A) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? ? ? ? . 40 40 120 120 P(A 2 ) ? P( X ? 2) ?
【解析】首先要分类再分步,分类不能遗漏情况,分布不能遗漏步骤; 列出分布列再运用公式求解。 【考点定位】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望、概率, 排列组合的知识。 【引申】(2011天津卷)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除了颜色外完 全相同。每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个, 则获奖。(每次游戏结束后放回原箱) (I)求在1次游戏中, (i)摸出3个白球的概率; (ii)获奖的概率; (II)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)。 【解】(I)(i)设“在1次游戏中摸出i个球”为事件Ai (i=0,1,2,3),则P ( A3 ) ? (ii )设“在1次游戏中获奖”为事件B,则B ? A2 ? A3 , 又P ( A2 )= 且A2 , A3互斥,所以P(B)=P(A 2 )+P(A3 )= 1 1 7 ? ? . 2 5 10 7 2 9 ) ? , 10 100
1 C32C2 1 ? , C52C32 5

2 1 1 1 C32C2 ? C3C2C2 1 ? , 2 2 C5 C3 2

( II )由题意可知X 的所有可能取值为0,2.P( X ? 0) ? (1 ? 1, 7 7 21 7 49 (1 ? ) ? , P( X ? 2) ? ( ) 2 ? . 10 10 50 10 100 所以X的分布列是:
1 P( X ? 1) ? C2 ?

P

9 100

21 50

49 100

X 的数学期望是E X) ? ( =0
19.(本小题满分 12 分)

9 21 49 7 ? 1? ? 2? = 。 100 50 100 5

如图,在五面体 ABCDEF 中, FA ? 平面 ABCD , AD // BC // FE , AB ? AD , M 为 EC 的中点, AF ? AB ? BC ? FE ?

1 AD 2

(I)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (II)证明平面 AMD ? 平面 CDE ; (III)求二面角 A ? CD ? E 的余弦值。

【答案】方法一:(Ⅰ)解:由题设知,BF / /CE,所以?CED(或其补角) 为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点,连结EP,PC。 因为FE∥ ,所以FA∥ ,同理AB∥ 。又FA ? 平面ABCD, AP EP PC 所以EP ? 平面ABCD。而PC,AD都在平面ABCD内, 故EP ? PC,EP ? AD。 由AB ? AD,可得PC ? AD设FA ? a,则EP ? PC ? PD ? a, CD ? DE ? EC ? 2a, 故?CED ? 60?。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60?. (II)证明: DC=DE且M为CE的中点, DM ? CE。连结MP,则MP ? CE。 ? ? 又MP ? DM=M, CE ? 平面AMD,CE ? 平面CDE , 所以平面AMD ? 平面CDE。 ? (III)设Q为CD的中点,连接PQ, EQ, CE ? DE , PC ? PD, ? ? EQ ? CD, PQ ? CD,??EQP为二面角A ? CD ? E的平面角,由(I)可知 EP ? PQ,EQ= 6 2 PQ 3 a, PQ ? a.在Rt△ EPQ中,cos?EQP ? ? . 2 2 EQ 3

z

F(0,0,1)

E(0,1,1)

A(0,0,0)

M(0.5,1,0.5) D(0,2,0) y

B(1,0,0) x

C(1,1,0)

方法二:如图所示,以点A为原点建立空间直角坐标系,设AB=1,则A(0,0,0), 1 1 B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),M( ,1, ), 2 2 ??? ???? ? ??? ? ???? ??? ???? ? BF ? DE 0 ? 0 ? 1 1 ( I ) BF ? (?1, 0,1), DE ? (0, ?1,1), 于是 cos ? BF , DE ?? ??? ???? ? ? , ? 2? 2 2 BF DE ? 异面直线BF 与DE所成的角的大小为60? . ???? 1 1 ??? ? ? ???? ??? ???? ? ? ??? ???? ? (II) AM=( ,1, ), CE ? ( ?1, 0,1), AD ? (0, 2, 0), 可得CE ? AM ? 0, CE ? AD ? 0, ? 2 2 ? CE ? AM , CE ? AD,? AM ? AD=A,? CE ? 平面AMD,CE ? 平面CDE , 所以平面AMD ? 平面CDE。 ? ??? ?????? ? ? CE ? ??? (III)设平面CDE的法向量为u=(x,y,z),则{u??????????0 , 即:{ x? z ?0 , 令x ? 1, u ? DE ?0 ? y ? z ?0 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? u ? AF 0 ? 0 ?1 3 可得u=(1,1,1),又FA ? 平面ABCD, AF=(0,0,1),? cos<u, AF>= ? ?? ? ? . ? 3 3 ?1 u ? AF

【解析】(I)求解异面直线BF与DE的夹角,1)几何方法:利用平移变换转化为平面直线的 夹角,再利用三角形的边角关系求解;2)代数方法:建立空间直角坐标系,运用向量数乘 公式求解;(II)证明两个平面垂直,1)几何方法:面面垂直定理,证明平面内的一条直 线与另一平面的两条相交直线垂直,本题中用等腰三角形的性质,证明线线垂直;2)代数 方法:运用向量数乘积为0,证明线线垂直,从而证明面面垂直。 (III)求二面角,1)几何方法:先作出二面角的平面角,利用三角形的边角关系求解; 2)代数方法:先确定平面的法向量,两平面的法向量夹角的余弦即为两平面夹角的余弦。 【考点定位】本题考查空间几何体组合体其中的线面关系、线线关系、面面关系,考查学生 把空间几何问题转化为平面几何问题求解,或建立空间直角坐标系,用向量计算。

【引申】(2011重庆)在四面体ABCD中, 平面ABC ⊥ 平面ACD,AB ⊥ BC, AD=CD,∠CAD=30? , ( I )若AD ? 2, AB ? 2 BC , 求四面体ABCD的体积; (II)若二面角C ? AB ? D为60?, 求异面直线AD与BC所成角的余弦值。
D

D

A

C

B

G H A F B E

C

【解】如图设点E为AC的中点,分别过点E作EF ∥ BC,EG ∥ AD, 分别交AB,CD与点F,G, 点F,G为AB,DC的中点, ? ? 面ABC⊥面ACD,AD=CD,AB⊥BC, ? DE⊥AC,DE⊥面ABC,EF⊥AB, (I)△ADC中∠CAD =30?,AD =2, ? AC ? 2 AE =2 ? 2 cos 30? = 3,DE=1, △ABC中AB⊥BC,AB=2BC,∴AB 2 ? BC 2 ? AC 2 , 即:BC2 = 12 , 5 1 12 1 1 12 4 S△ABC = AB ? BC ? BC2 = ,V四面体ABCD = S△ABC ? DE = ? ? 1 ? . 2 5 3 3 5 5

( II )解法一:过点G作GH ∥ BC,交线段BD与点H, 异面直线AD与BC所成 ? 的角等于∠EGH(或它的补角),设BC =2x,则HG=EF=x, ? DE⊥面ABC, DE⊥AB,AB ? 面DEF, AB⊥面DEF, ? ? ? AB⊥DF , BD ? AD, ? 二面角C ? AB ? D为60?, ∠DFE =60 , ? Rt △DEF中DE ? EF tan ∠DFE ? 3x, AD ? ? EG ? EH ? DE =2 3 x, sin 30

1 AD ? 3 x, 2 EG 2 ? GH 2 ? EH 2 3x 2 ? x 2 ? 3x 2 3 ? cos∠EGH = ? ? . 2 EG ? GH 6 2 3x ? x

? 异面直线AD与BC所成角的余弦值为

3 . 6 解法二:过点E作EP⊥AC,建立空间直角坐标系,点E为坐标原点, EP,EC , ED分别为x轴, y轴, z轴的正半轴,则E (0, 0, 0), A(0, ? 3, 0), ???? ???? ? ? x y ? 3 C (0, 3, 0), D (0, 0,1), 设B ( x1 , y1 , 0), F ( 1 , 1 , 0), BD ? AD ? 2, 2 2 4 6 x12 ?( y1 ? 3)2 ?( 2 3 )2 DE 2 3 3 ,? x1? 9 , BC ? 2 EF ? 2 ? ? ,? 2 x1 ? y12 ?( ?1)2 ?22 tan 60? 3 y1? 7 3

{

{

9

???? ??? ? 4 6 7 3 4 6 2 3 ? B( , , 0), AD ? (0, 3,1), BC ? ( ? , , 0), 9 9 9 9 ???? ??? ? ???? ??? ? AD ? BC ????? ? ? ? cos ? AD, BC ?? ???? AD BC 2 3 ? 3 3 9 ? . 6 16 ? 6 4 ? 3 3 ?1? ? 81 81

z D(0,0,1)

E(0,0,0) A F B

C

y

x

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 两 个 焦 点 分 别 为 F1 (?c,0), F2 (c,0)(c ? 0) , 过 点 a2 b2

E(

a2 ,0) 的直线与椭圆相交与 A, B 两点,且 F1 A // F2 B, | F1 A |? 2 | F2 B | 。 c

(I)求椭圆的离心率; (II )求直线 AB 的斜率; (III) 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称, 直线 F2 B 上有一点 H (m, n)(m ? 0) 在 ?AF1C 的 外接圆上,求

n 的值 m

a2 ?c EF2 1 c 1 3 【答案】(I)由F1 A ∥ F2 B,F1 A=2 F2 B, ? ? , 2 ? , a 2 ? 3c 2 ,? e ? . a EF1 2 2 3 ?c c ( II )由(I)得b2 =a 2 -c2 =2c2 , E(3c,0),椭圆方程:2x2 +3y2 =6c2 , ? yB yA ? 1 3c ? xB 1 , ? ,? y A ? 2 yB , x A ? 2 xB ? 3c, 2 3c ? x A 2 ? 2c,

3c 2c , yB ? , x A ? 0, y A ? 2 2 ? 2c ? 0 2 ? 直线AB的斜率为:k= ?? . 0 ? 3c 3

{2 x

2?(2 xB ?3c )2 ?3?(2 yB )2 ?6c2 ,? xB 2 2 2 B ?3 yB ?6 c

( III )由(II )知k ? ?

2 2 , 当k =时,A(0, 2c), 则C (0, ? 2c), 3 3

3 2 c 2 B ( c, c), AF1中点坐标(- , c), 2 2 2 2

2 线段AF1的中垂线l方程:yc?? 2
即:y ? ? 2x 2 ? c, 2 4

c ( x ? ), 2 2 2c ? c 2

c 2

c ? 直线l与x轴的交点是( , 0),是△AF1C外接圆的圆心, 2 c c 此圆的方程为:(x- ) 2 ? y 2 ? ( ? c) 2 , 直线F2 B的方程为:y ? 2( x ? c), 2 2 ?点H m, n)的坐标满足方程组{ ( m ? 0?
( m ? c )2 ? n 2 ? 9 c 2 4 n? 2( m?c )
2

,{n?? 2c ,{ m ?0

n? 2 2 c 3 5c , m? 3

n 2 2 ? . m 5 2 n 2 2 当k ? 时,同理可得 ? ? . 3 m 5

y P M O C C A B x

N
[来源:Z#xx#k.Com]

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) 满足 2 f ( x ? 2) ? f ( x) 当 x ? (0,2)时, f ( x) ? ln x ? ax (a ? ? ) ,

1 2

x ? (?4,?2) 时 f (x) 的最大值为 ?4 。
(Ⅰ)求 x ? (0,2)时, 函数 f (x) 的解析式; (Ⅱ)是否存在实数 b 使得不等式

x?b ? x 对于 x ? (0,1) ? (1,2) 时恒成立若存在, f ( x) ? x

求出实数 b 的取值集合;若不存在,说明理由.

【答案】(I)由已知得:f ( x) ? 2 f ( x ? 2) ? 4 f ( x ? 4), 设x ? (?4, ?2)时,则x ? 4 ? (0, 2), 所以f (x+4)=ln(x+4)+a(x+4), 1 4a ? ( ? x ? 4) 4 a f(x)=4f(x+4)=4ln(x+4)+4a(x+4),f ?( x) ? ? 4a ? , x?4 x?4 1 1 1 当f ?( x) ? 0时,x ? ? ? 4,? a ? ? , ?4 ? x ? ?2, 即: 4 ? ? ? 4 ? ?2, ? a 2 a 1 ? x ? (?4, ? ? 4)时,f ?( x) ? 0, f ( x)为增函数; a 1 当x ? ? ? 4, ?2)时,f ?( x) ? 0, f ( x)为减函数; ( a 1 1 1 ? fmax(x)=f( ? ? 4) ? ?4, 即:ln(? ? 4 ? 4) ? 4a(? ? 4 ? 4) ? ?4, 4 a a a ? a ? ?1,?当x ? (0, 2)时,f ( x) ? ln x ? x. ( II )假设存在实数b使得不等式 x?b 即: ? x恒成立, ln x x?b > x(x ?(0,1)?(1,2))恒成立, f ( x) ? x

【解析】(I)由已知方程和(0,2)上的函数解析式,求出(-4,-2) 上的函数解析式,利用函数的单调性与导函数的关系,求出极大值点, 建立参数方程,解出参数a的值。 (II)不等式恒成立问题,利用不等式基本性质转化为,含未知量x的式子 恒大于或小于一个常量的问题,从而转化为常量恒大于函数的最大值、恒 小于函数的最小值问题,在求解中利用含未知量的式子构造新的函数, 函数式子复杂时,要构造新函数分解难度,便于求解。 【考点定位】本题考查函数单调性、函数极值与导函数的关系,考查不等式 恒成立问题,考查方程思想、分段函数。
选做题(本小题 10 分)请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做 的第一题记分. 22.选修 4—1 几何证明选讲 M 在直径是 AB 的半圆上有两点 M , N ,设 AN 与 BM 的交点是 P . 求证 : AP ? AN ? BP ? BM ? AB
2

N P

A

B

23.选修 4—4 极坐标系与参数方程
2 2

[来源:学|科|网]

已知圆方程为 y ? 6 y sin ? ? x ? 8x cos? ? 7 cos (1)求圆心轨迹的参数方程 C ;

2

? ? 8 ? 0.

(2)点 P( x, y) 是(1)中曲线 C 上的动点,求 2 x ? y 的取值范围. 【答案】(1)将圆的方程整理得: (x ? 4cos

? )2 ? (y ? 3sin? )2 ? 1

设圆心坐标为 P(x,y) 则 {x?4cos (2)由参数方程知 2x+y=8cosθ ∴ ? 73 ? 2x ? y ? 73

y?3sin?

? ,? ?[0,360 )
?

+3sinθ = 73 sin ? ? ?) (

【解析】由已知式子可化为圆的标准方程,从而得出圆的参数方程,由圆的参数方程 和三角函数的辅佐角公式化为 Asin(ω +φ )形式,求值域。 【考点定位】本题考查极坐标系与参数方程。 24.选修 4—5 不等式选讲 (1)已知关于 x 的不等式 2 x ?

2 ? 7 在 x ? (a,??) 上恒成立,求实数 a 的最小值 ; x?a

(2)已知 | x |? 1, | y |? 1 ,求证: | 1 ? xy |?| x ? y | .


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