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2015高考真题分类汇编——不等式 理


专题七 不等式
1.【2015 高考四川,理 9】如果函数 f ? x ? ? 间? , 2 上单调递减,则 mn 的最大值为( 2 ? (A)16 【答案】B 【解析】 (B)18 (C)25

1 n ? 0 ? 在区 ? m ? 2 ? x 2 ? ? n ? 8? x ? 1? m ? 0, 2


?1 ?

? ?

(D)

81 2

m ? 2 时,抛物线的对称轴为 x ? ? 2m ? n ? 12 .?
2m ? n ?

n ?8 n ?8 .据题意,当 m ? 2 时, ? ? 2即 m?2 m?2

2m ? n ? 6,? mn ? 18 . 由 2m ? n 且 2m ? n ? 12 得 m ? 3, n ? 6 . 2
n ?8 1 ? 即 m?2 2

当 m ? 2 时,抛物线开口向下,据题意得, ?

m ? 2n ? 18 .?

2n ? m ?

2n ? m 81 ? 9,? mn ? .由 2n ? m 且 m ? 2n ? 18 得 m ? 9 ? 2 , 2 2

故应舍去.要使得 mn 取得最大值,应有 m ? 2n ? 18 (m ? 2, n ? 8) .所以

mn ? (18 ? 2n)n ? (18 ? 2 ? 8) ? 8 ? 16 ,所以最大值为 18.选 B..
【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到 m、n 满足的条件, 然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用 知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式 出现.

?x ? y ≤ 0 , ? 2.【2015 高考北京,理 2】若 x , y 满足 ? x ? y ≤ 1 , 则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ?x ≥ 0 , ?
A.0 【答案】D B.1 C.
3 2



D.2

-1-

【解析】如图,先画出可行域,由于 z ?

x ? 2y ,则 y ? ?

1 1 x ? z ,令 Z ? 0 , 2 2

作直线 y ? ? 得最小值 2.

1 x ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 取 2

考点定位:本题考点为线性规划的基本方法 【名师点睛】本题考查线性规划解题的基本方法,本题属于基础题,要求依据二元一次不等式 组准确画出可行域,利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义,令 z ? 0 ,画出直线

y ? ?

1 x ,在可行域内平移该直线,确定何时 z 取得最大值,找出此时相应的最优解,依 2

据线性目标函数求出最值,这是最基础的线性规划问题.

?4 x ? 5 y ? 8 ? 3. 【2015 高考广东,理 6】若变量 x , y 满足约束条件 ?1 ? x ? 3 则 z ? 3 x ? 2 y 的最小值 ?0 ? y ? 2 ?
为( A. )

31 5

B. 6

C.

23 5

D. 4

【答案】 C .

-2-

【考点定位】二元一次不等式的线性规划. 【名师点睛】本题主要考查学生利用二元一次不等式组所表示的平面区域解决线性规划的应 用,数形结合思想的应用和运算求解能力,本题关键在于正确作出二元一次不等式组所表示 的可行域和准确判断目标函数直线出取得最小值的可行解,属于容易题. 4. 【 2015 高考陕西,理 9 】设 f ( x) ? ln x, 0 ? a ? b ,若 p ? f ( ab ) , q ? f (

a?b ), 2

r?

1 ( f (a ) ? f (b)) ,则下列关系式中正确的是( ) 2 A. q?r? p B. q?r? p

C. p?r?q

D. p ? r ? q 【答案】C 【解析】 p ? f ( ab ) ? ln ab , q ? f (

a?b a?b , ) ? ln 2 2

r?

1 1 ( f (a ) ? f (b)) ? ln ab ? ln ab ,函数 f ( x) ? ln x 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,因为 2 2 a?b a?b ? ab ,所以 f ( ) ? f ( ab ) ,所以 q ? p ? r ,故选 C. 2 2

【考点定位】1、基本不等式;2、基本初等函数的单调性. 【名师点晴】本题主要考查的是基本不等式和基本初等函数的单调性,属于容易题.解题时 一定要注意检验在使用基本不等式求最值中是否能够取得等号,否则很容易出现错误.本题 先判断

a?b 和 ab 的大小关系,再利用基本初等函数的单调性即可比较大小. 2
-3-

5. 【2015 高考湖北, 理 10】 设 x?R , 使得 [t ] ? 1 , [ x] 表示不超过 x 的最大整数. 若存在实数 t , 立 ,则正整数 n 的最大值是( [t 2 ] ? 2 ,?, [t n ] ? n 同时成 ... . A.3 【答案】B 【解析】因为 [ x] 表示不超过 x 的最大整数.由 [t ] ? 1 得 1 ? t ? 2 ,由 [t 2 ] ? 2 得 2 ? t 2 ? 3 ,由 B.4 C.5 ) D.6

[t 4 ] ? 3 得 4 ? t 4 ? 5 ,所以 2 ? t 2 ? 5 ,所以 2 ? t 2 ? 5 ,由 [t 3 ] ? 3 得 3 ? t 3 ? 4 ,所以 6 ? t 5 ? 4 5 ,由 [t 5 ] ? 5 得 5 ? t 5 ? 6 ,与 6 ? t 5 ? 4 5 矛盾,故正整数 n 的最大值是 4.
【考点定位】函数的值域,不等式的性质. 【名师点睛】这类问题一般有两种:[ x] 表示不超过 x 的最大整数;{x} 表示不小于 x 的最大整 数. 应注意区别.

?x ? 2 ? 0 ? 6. 【2015 高考天津, 理 2】 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 , 则目标函数 z ? x ? 6 y ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?
的最大值为( (A)3 【答案】C ) (B)4 (C)18 (D)40

【考点定位】线性规划. 【名师点睛】本题主要考查线性规划与二元一次不等式的几何意义,将二元一次不等式(组)
-4-

的几何意义与求线性目标函数的最值问题结合在一起,考查线性相关问题和数形结合的数学 思想,同时考查学生的作图能力与运算能力.本题中不等式所表示的平面区域为不封闭区域, 与平时教学中的练习题有出入,是易错问题. 7.【2015 高考陕西,理 10】某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料.已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别 为 3 万元、4 万元,则该企业每天可获得最大利润为( A.12 万元 万元 甲 乙 原料限额 B.16 万元 ) C.17 万元 D.18

? (吨)

3
1

2

12

? (吨)
【答案】D

2

8

【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 x 、 y 吨,则利润 z ? 3 x ? 4 y

?3 x ? 2 y ? 12 ?x ? 2 y ? 8 ? 由题意可列 ? ,其表示如图阴影部分区域: ?x ? 0 ? ?y ? 0

当直线 3 x ? 4 y ? z ? 0 过点 A(2,3) 时, z 取得最大值,所以 zmax ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 18 ,故选 D. 【考点定位】线性规划. 【名师点晴】本题主要考查的是线性规划,属于容易题.线性规划类问题的解题关键是先正 确画出不等式组所表示的平面区域,然后确定目标函数的几何意义,通过数形结合确定目标

-5-

函数何时取得最值.解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值” ,否则很容易出现错误; 画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证,防止出现错误. 8.【2015 高考山东,理 5】不等式 x ? 1 ? x ? 5 ? 2 的解集是( (A) (-错误! 未找到引用源。 , 4) (1,5) 【答案】A 【解析】原不等式同解于如下三个不等式解集的并集; (B) (- , 1) ) (C) (1, 4) (D)

?x ? 1 ?1 ? x ? 5 ?x ? 5 (I ) ? ( II ) ? ( III ) ? ?1 ? x ? x ? 5 ? 2 ?x ?1? x ? 5 ? 2 ?x ?1? x ? 5 ? 2
解(I)得: x ? 1 ,解(II)得: 1 ? x ? 4 ,解(III)得: x ? ? , 所以,原不等式的解集为 x x ? 4

?

?

.故选 A.

【考点定位】含绝对值的不等式的解法. 【名师点睛】本题考查了含绝对值的不等式的解法,重点考查学生利用绝对值的意义将含绝 对值的不等式转化为不含绝对值的不等式(组)从而求解的能力,本题属中档题.

? x ? 2 y ? 0, ? 9.【2015 高考福建,理 5】若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最小 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
值等于 ( A. ? ) B. ?2 C. ?

5 2

3 2

D.2

值,解该类题目时候,往往还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较,否则很容易
-6-

出错,属于基础题.

?x ? y ? 0 ? 10.【2015 高考山东,理 6】已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,若 z ? ax ? y 的最大值为 4, ?y ? 0 ?
则a ? ( (A)3 【答案】B ) (B)2 (C)-2 (D)-3

?x ? y ? 0 ? 【解析】不等式组 ? x ? y ? 2 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示, ?y ? 0 ?

若 z ? ax ? y 的 最 大 值 为 4 , 则 最 优 解 可 能 为 x ? 1, y ? 1 或 x ? 2, y ? 0 , 经 检 验 ,

x ? 2, y ? 0 是最优解,此时 a ? 2 ; x ? 1, y ? 1 不是最优解.故选 B.
【考点定位】简单的线性规划问题. 【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题,通过确定参数 a 的值,考查学生对线性规划的 方法理解的深度以及应用的灵活性,意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力.

?x ?1 ? 0 ? 11.【2015 高考新课标 1,理 15】若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,错误!未找到引用源。 ?x ? y ? 4 ? 0 ?


y 错误!未找到引用源。的最大值为 x

.

【答案】3 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,

y 是可行域内一点与原点连线 x
-7-

的斜率,由图可知,点 A(1,3)与原点连线的斜率最大,故

y 的最大值为 3. x

【考点定位】线性规划解法 【名师点睛】对线性规划问题,先作出可行域,在作出目标函数,利用 z 的几何意义,结合 可行域即可找出取最值的点,通过解方程组即可求出做最优解,代入目标函数,求出最值, 要熟悉相关公式,确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键,目标函数常有距离型、直 线型和斜率型.
2 2 12.【2015 高考浙江,理 14】若实数 x, y 满足 x ? y ? 1 ,则 2 x ? y ? 2 ? 6 ? x ? 3 y 的最小

值是 【答案】 3 .



-8-

【考点定位】1.线性规划的运用;2.分类讨论的数学思想;3.直线与圆的位置关系 【名师点睛】本题主要考查了以线性规划为背景的运用,属于中档题根据可行域是圆及其内 部的特点,结 合直线与圆的位置关系的判定,首先可以将目标函数的两个绝对值号中去掉一个,再利用分 类讨论的数学 思想去掉其中一个绝对值号,利用线性规划知识求解,理科试卷的线性规划问题基本考查含 参的线性规划 问题或者是利用线性规划的知识解决一些非线性的目标函数或可行域的问题,常需考查目标 函数或可行域 的几何意义求解,在复习时应予以关注.

? x ? y ? 1 ? 0, ? 13. 【2015 高考新课标 2,理 14】若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0, ,则 z ? x ? y 的最大 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
值为____________.
-9-

【答案】

3 2

【解析】画出可行域,如图所示,将目标函数变形为 y ? ? x ? z ,当 z 取到最大时,直线

1 y ? ? x ? z 的纵截距最大,故将直线尽可能地向上平移到 D(1, ) ,则 z ? x ? y 的最大值为 2 3 . 2
【考点定位】线性规划.
4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

y

B D
1 2 3 4

O
–1 –2 –3 –4

x

C

【名师点睛】本题考查线性规划,要正确作图,首先要对目标函数进行分析,什么时候目标 函数取到最大值,解该类题目时候,往往还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较, 否则很容易出错,属于基础题. 14.【2015 高考江苏,7】不等式 2 【答案】 (?1, 2). 【解析】由题意得: x 2 ? x ? 2 ? ?1 ? x ? 2 ,解集为 (?1, 2). 【考点定位】解指数不等式与一元二次不等式 【名师点晴】指数不等式按指数与 1 的大小判断其单调性,决定其不等号是否变号;对于一 元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集, 先研究 ? ? b 2 ? 4ac , 按照 ? ? 0 , ? ? 0, ??0 三种情况分别处理,具体可结合二次函数图像直观写出解集.
x2 ? x

? 4 的解集为________.

? x ? y ? ?1 ? 15.【2015 高考湖南,理 4】若变量 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 ,则 z ? 3 x ? y 的最小值 ? y ?1 ?
为( A.-7 ) B.-1 C.1 D.2

- 10 -

【答案】A. 【解析】如下图所示,画出线性约束条件所表示的区域,即可行域,作直线 l : 3 x ? y ? 0 , 平移 l ,从 而可知当 x ? ?2 , y ? 1 时, zmin ? 3 ? (?2) ? 1 ? ?7 的最小值是 ? 7 ,故选 A.

【考点定位】线性规划. 【名师点睛】本题主要考查了利用线性规划求线性目标函数的最值,属于容易题,在画可行 域时,首先必须找准可行域的范围,其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小,从而确定 目标函数取到最优解时所经过的点,切忌随手一画导致错解. 【2015 高考上海,理 17】记方程①: x 2 ? a1 x ? 1 ? 0 ,方程②: x 2 ? a2 x ? 2 ? 0 ,方程③:

x 2 ? a3 x ? 4 ? 0 ,其中 a1 , a2 , a3 是正实数.当 a1 , a2 , a3 成等比数列时,下列选项中,
能推出方程③无实根的是( ) B.方程①有实根,且②无实根 D.方程①无实根,且②无实根

A.方程①有实根,且②有实根 C.方程①无实根,且②有实根 【答案】B

【考点定位】不等式性质

- 11 -

【名师点睛】不等式的基本性质:同向同正可乘性 ?

?a ? b ? 0 ? ac ? bd , 可 推 : ?c ? d ? 0

?a ? b ? 0 a b ? ? 一元二次方程有解的充要性: ? ? 0 ;一元二次方程无解的充要性: ? ?c ? d ? 0 d c

? ? 0 ;利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围,但应注意两点:一是必须严格运用不
等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是 先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算 求解范围.

- 12 -


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