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河南省郑州市2014-2015学年上期期末高一数学试题卷(含答案)


郑州市 2014-2015 学年上期期末考试

高 一 数 学 试 题 卷
考试时间 120 分钟 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题所给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合 A={2014, 2015} , 非空集合 B 满足 A 合 B 的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列函数中与函数 y ? x3 相等的是 A. y ?

B ? {2014, 2015} ,则满足条件的集

x6

B. y ?

3

x9

C. y ?

x6 x3

D. y ? ( x )6

3. 已知集合 A={1, 2,3},B= {x, y} ,则从 A 到 B 的映射共有 A. 6 个 B. 5 个 C. 8 个 D. 9 个

4. 下列命题正确的是 A. 有两个平面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B. 六条棱长均相等的四面体是正四面体 C. 有两个平面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 D. 用一个平面去截圆锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台 5. 已知一个圆的方程满足:圆心在点 (?3, 4) ,且经过原点,则它的方程为 A. ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 5 C. ( x ? 3)2 ? ( y+4)2 ? 5 B. ( x+3)2 ? ( y +4)2 ? 25 D. ( x+3)2 ? ( y ? 4)2 ? 25

6. 下列命题中不是公理的是 A. 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 B. 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面 C. 垂直于同一个平面的两条直线平行 D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 7. 函数 f ( x) ? lg

2? x 的定义域为 x ?1
B. (??, 2] C. [1, 2] D. (1, 2)

A. (1, 2]

8. 已知直线 l 在 x 轴上的截距为 3,在 y 轴上的截距为 ?2 ,则 l 的方程为 A. 3x ? 2 y ? 6 ? 0 B. 2 x ? 3 y ? 6 ? 0

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C. 2 x ? 3 y ? 6 ? 0

D. 3x ? 2 y ? 6 ? 0

9. 已知点 A(?2, 0) ,动点 B 的纵坐标小于等于零,且点 B 满足方程 x 2 ? y 2 ? 1 ,则直线

AB 的斜率的取值范围是
A. [?

3 3 , ] 3 3

B. [?

3 ,0] 3

C. [? 3, 3]

D. [? 3,0]

10. 已知点 A(1 , 2) 和点 B(?2, ?4) ,点 P 在坐标轴上,且满足 ?APB 为直角,则这样 的点 P 有 A.4 个 11. 函数 y ? B. 3 个 C. 2 个 D.6 个

x 的图像的对称中心的坐标为 2? x
B. (?2, ?1) C. (2,1) D. (?2,1)

A. (2, ?1)

12. 已知 log2 3 ? a,log3 5 ? b ,则 lg 24 可用 a , b 表示为 A.

3 b

B.

a?3 1 ? ab

C.

1 ? 3a a?b

D.

a?3 1? b

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知空间直角坐标系中有两点 A(1, 2,3), B(5, ?1, 4) ,则它们之间的距离为 ________ 14. 已知 x ? x
?1

? 5 ,则 x 2 +x 2 ? _______

?

1

1

15. 圆 x2 ? y 2 ? 4 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 20 的公共弦所在的直线方程为 ________ 16. 在三棱锥 P ? ABC 中, BC ? 3,CA ? 4,AB ? 5 ,若三个侧面与底面 ABC 所成二 面角均为 60 ,则三棱锥的体积为 ________ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 已知 f ( x) ?

3 ? k 是奇函数,求实数 k 的值 2 ?1
x

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18. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? {x x 2 ? 2 px ? p 2 ? 2 p ? 2 ? 0, x ? R} ,且 A 范围

R? ? ? ,求实数 p 的取值

19. (本小题满分 12 分) 如图直三棱柱 ABC ? A?B?C ? 中,D, E, M , N 分别为 AB, AC, A?B?, A?C? 的中点, 求证: 平面 A?DE ∥平面 MNCB

C E A D B

C' N A' M B'

20. (本小题满分 12 分) 已知正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, M , N 分别是 A?B?, B?C ? 的中点 (1)求证: D ?M ? 面 AA?N (2)求直线 DB 与平面 ADN 所成角的大小
A D C

B

D" N A" M B"

C"

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21. (本小题满分 12 分) 求抛物线 C:y ? x2 上的点到直线 l : y ?

1 x ? 1 的最小距离 2

22. (本小题满分 12 分)

: ,求点 M 的轨迹方程; (1)已知点 M 与两个定点 O(0, 0), P(2, 0)的距离的比为 31
(2)已知过点 Q(?1, 0) 的直线 l 截(1)中 M 的轨迹的弦长为 2,求直线 l 的方程

高一数学试题卷

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2014—2015 学年上期期末学业水平测试

高中一年级
一、选择题 CBCBD CDCBA 二、填空题 13: AB

数学 参考答案

26

14:

7

15: x ? y ? 2 ? 0

16: 2 3

三、解答题 17. 解: 依题意得 f ? x ? 的定义域为 ? ??,0? 且 f ? ?x ? ? ? f ? x ? 即

?0, ??? ,…………………..2 分

………………………..4 分

3 ? 3 ? ? k ? ?? ?x ?k? 2 ?1 ? 2 ?1 ?
x

………………………..6 分

?

3 3 ? 2x ? k ? ?k ?0 2x ? 1 1 ? 2x

? 2k ?
?k?

3? 2 x ? 1? 2x ? 1
…………………………..10 分
2 2

3 2

18. 解: 令 f ? x ? ? x ? 2 px ? p ? 2 p ? 2 ,
2 则 f ? 0 ? ? p ? 2 p ? 2 ? ? p ? 1? ? 1 ? 0 2

由 A I R ? ? ? 知 f ? x ? 没有正实根……………………………3 分 (Ⅰ)若 A ? ? , 即 f ? x ? 无实数根, 则 f ? x ? 的判别式小于零

? 4 p2 ? 4? p2 ? 2 p ? 2? ? 0

? p ? ?1

…………………………….6 分

(Ⅱ)若 A ? ? , 即 f ? x ? 有实数根但是非正. 则由(1)知 p ? ?1 . 且对称轴不能在 y 轴右侧, 即 p ? 0
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? p ? ?1 .
综上所述: p ? R 均满足条件.

……………………………… 10 分 ………………………………12 分

19. 证明: 直三棱柱 ABC ? A ' B ' C ' 中, D, M 分别为 AB, A ' B ' 的中点

C E A D N A'
D

? DB // A ' M 且 DB ? A ' M ?四边形 DBMA ' 为平行四边形 ? A ' D // MB …………………………3 分 又 A ' D ? 面 MNCB , MB ? 面 MNCB …………………………….5 分 ? A ' D // 面 MNCB ……………………………6 分 同理: ? A ' E // 面 MNCB …………………………….9 分 又 A' E A' D ? A' ……………………………..10 分 ……………………………12 分 ?平面 A ' DE // 平面 MNCB
20. (Ⅰ)解: 在正方形 A ' B ' C ' D ' 中, 三角形 D ' A ' M 全等于三角形 A ' B ' N (SAS)

C'

B

M

B'
C

? ?NA ' B '? ?D ' MA ' ? ?A ' D ' M ? ?D ' MA ' ? 90

? D 'M ? A' N ………………………….3 分 又在正方体中 AA ' ? 面 A ' B ' C ' D ' , D ' M ? 面 A ' B ' C ' D ' ? D ' M ? AA ' 又 AA ' A ' N ? A ' …………………….6 分 ? D ' M ? 面 AA ' N
(Ⅱ)证明: 连接 AB ', A ' B 交于点 K , 连接 DK . 由 AD // B ' N 知 A, D, N , B ' 共面,

A D' K

B C' N B'

A'

M

AD ? 面 AD ? ABB ' A '

? AD ? BK 又 AB ' ? BK AD AB ' ? A ? BK ? 面 ADB ' N ? BK ? DK 且 ?BDK 即为直线 DB 与平面 ADN 所成的角
设正方体棱长为 a 则 BD ?

…………………….9 分

2a , BK ?

2 a 2

2 a BK 1 sin ?BDK ? ? 2 ? BD 2a 2
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? ?BDK ? 30
即直线 DB 与平面 ADN 所成的角为 30 . ……………………….12 分

21. 解: 设 M t , t 2 为抛物线上任意一点, 直线 l 的一般式为: x ? 2 y ? 2 ? 0 则点 M 到直线 l 的距离为: d ?

? ?

t ? 2t 2 ? 2 1 ? ? ?2 ?
2 2

……………………4 分

?

? 1 ? 15 ?2 ? t ? ? ? 8 ? 4? 5
2

2

? 1 ? 15 2? t ? ? ? 4? 8 ? ? 5
15 ? 8 5
? 3 5 8

……………………8 分

…………………..10 分

当t ?

1 3 5 时, 等号成立. 即所求的最小距离为 . 4 8

…………………..12 分

22. 解:(Ⅰ)设点 M 的坐标为 ? x, y ? , 依题意得:

x2 ? y 2

? x ? 2?

2

? y2

?

3 1

…………………………..2 分

? x2 ? y 2 ? 6 x ? 6 ? 0
? ? x ? 3? ? y 2 ? 3
2

即点 M 的轨迹方程为:

? x ? 3?

2

? y2 ? 3

…………………………..4 分

(Ⅱ) M 的轨迹为圆心在 ? 3,0 ? , 半径为 3 的圆. 由图易知 l 的斜率存在. 又 l 过点 Q ? ?1,0? , 故可设 l 的方程为: y ? k ? x ? 1? ………………………..5 分

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即: kx ? y ? k ? 0

圆心到 l 的距离为

3k ? 0 ? k 1? k 2
2

? 3k ? 0 ? k ? ? 2 ?2 由垂径定理及勾股定理知: ? ? ?? ? ? 2 ? 1? k ? ? 2 ?
16k 2 ? ?2 1? k 2
? k2 ? 1 7

? 3?

2

…………………8 分

?k ??

7 7

………………….10 分

于是 l 的方程为 y ?

7 7 ? x ? 1? 或 y ? ? ? x ? 1? . 7 7

…………………..12 分

高一数学试题卷

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