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高二数学练习 201501


高二数学练习
1、 按 如 图 所 示 的 流 程 图 运 算 , 若 输 入 x= 20, 则 输 出 的 k= __. 2、某班级有 50 名学生,现要采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生, 将这 50 名学生随机编号 1~50 号,并分组,第一组 1~5 号,第二组 6~10 号,?, 第十组 46~50 号,若在第三组中抽得号码为 12 的学生,则在第八组中抽得号码为_ 的学生 3、口袋中有形状和大小完全相同的四个球,球的编号分别为 1,2,3,4,若从袋中随机 抽取两个球,则取出的两个球的编号之和大于 5 的概率为_ _ .

4、若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为

5、中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线 的距离为 2,则双曲线方程为 .

6、 下 列 四 个 结 论 正 确 的 是 _ _ ____. (填 序 号 ) ① “x≠0”是 “x+ |x|>0”的 必 要 不 充 分 条 件 ; ②已 知 a、 b∈R, 则 “|a+ b|= |a|+ |b|”的 充 要 条 件 是 ab>0; ③“a>0, 且 Δ= b 2- 4ac≤0”是 “一 元 二 次 不 等 式 ax2+ bx+ c≥0的 解 集 是 R”的 充 要 条 件 2 ④ “x≠1”是 “x ≠1”的 充 分 不 必 要 条 件 . 7、已知 ? ={(x,y)|x+y<6,x>0,y>0},A={(x,y)|x<4,y>0,x-2y>0}, 若向区域 ? 上随机投掷一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为 . 8 、已 知平 面 ? , ? , ? , 直 线 l , m 满 足 : ? ? ? , ?

? ? m, ?

? ? l , l ? m , 那 么①

m ? ? ;② l ? ? ;③ ? ? ? ;④ ? ? ? .可由上述条件可推出的结论有
(请将你认为正确的结论的序号都填上). 9、设 P ( x, y ) 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的一点,则 2 x ? y 的最大值是 9 4

.

10、如图,已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 2 cm,高为 5 cm,则一质点自点 A 出发, 沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1 的最短路线的长为 cm.

x3 ? x 2 ? m x 在 x ? (?2,0) 上有极值,则 m 的取值范围是 11、函数 f ( x) ? 3
12、 已 知 点 A(0,2), 抛 物 线 y2= 2px(p>0)的 焦 点 为 F, 准 线 为 l, 线 段 FA交 抛 物 线 于 点 B, 过 B作 l的 垂 线 , 垂 足 为 M, 若 AM⊥MF, 则 p= 13、椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a> b> 0)的 左 焦 点 为 F, 右 顶 点 为 A, P是 椭 圆 上 一 点 ,l 为 左 准 线 , a2 b2

3 2 2

PQ⊥ l , 垂 足 为 Q,若 四 边 形 PQFA为 平 行 四 边 形 , 则 椭 圆 的 离 心 率 e的 取 值 范 围 是 ___

14、 若 存 在 过 点O(0,0)的 直 线 l与 曲 线 f(x)= x- 3x + 2x和 y= x+ a都 相 切 , 则
a 的值是__
__.

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分 .) 15、(14 分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(是不小于 40 不大于 100 的整数)分成六段 ?40,50? , ?50,60? ? ?90,100? 后 (1)求第四小组的频率,并补全这个画出如下部分频率分布直方图. (2)观察频率分布直方图图形的信息,估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平 均分.
频 率 组 距

0.025 0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 分 数

17、(l5分)如图,在半径为30cm的 半圆形(0为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点 A, B在直径上,点C,D在圆周上. (1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大?并求最大面积; (2)若将所截得的矩形铝 皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼 接损耗),应怎样截取,才能使做出的圆柱形罐子体积最大?并求最大体积.

18、 (15 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BA ? AC , AB ? BB1 ? a ,直线 B1C 与平面 ABC 成 30? 角. (1)求证: 平面B1 AC ? 平面ABB1 A1 ; (2)求 C1 到 平面B1 AC 的距离; (3)求三棱锥 A1 -AB1C 的体积. B A
(第 18 题)

B1 A1

C1

C

19、 (16 分)如图,已知椭圆 C :

1 y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以椭圆 C 的上顶 2 2 a b

点 Q 为圆心作圆 Q : x 2 ? ( y ? 2) 2 ? r 2 (r ? 0) ,设圆 Q 与椭圆 C 交于点 M 与点 N 。 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求 QM ? QN 的最小值,并求此时圆 Q 的方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点, 且直线 MP, NP 分别与 y 轴交于点 R, S , O 为坐标原点,求证: OR ? OS 为定值。

3 20、 (16 分)已知函数 f ( x) ? x ? ln x, g ( x) ? ax ?

1 2 x? . 2 3e

(1)求 f ( x ) 的单调增区间和最小值; (2)若函数 y ? f ( x) 与函数 y ? g ( x) 在交点处存在公共切线,求实数 a 的值; (3)若 x ? (0, e2 ] 时,函数 y ? f ( x) 的图象恰好位于两条平行直线 l1 : y ? kx ;

l2 : y ? kx ? m 之间,当 l1 与 l2 间的距离最小时,求实数 m 的值.

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? a | ln x ?1| , g ( x) ? x | x ? a | ?2 ? 2ln 2, a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在区间 [1, e] 上的最大值;

3 a, x ? [1, ??) 恒成立,求 a 的取值范围; 2 (Ⅲ)对任意 x1 ? [1, ??) ,总存在惟一的 ...x2 ?[2, ??) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求 a 的取值
(Ⅱ)若 f ( x) ? 范围. 20.解: (Ⅰ)当 a ? 1 , x ? [1, e] 时 f ( x) ? x2 ? ln x ? 1 , f ?( x) ? 2 x ? 所 以 f ( x ) 在 [1, e] 递 增 , 所 以 f ( xm ) a? x

1 ? f ?(1) ? 1 , x

… … f(? e) 2 …………………… e

……………………………4 分 (Ⅱ)①当 x ? e 时, f ( x) ? x 2 ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ? 成立,

a ,? a ? 0 ,? f ( x) ? 0 恒 x


? f ( x)


2

[e,??)









,



x?e





ym ?i f (en ) ? e …………………………………………5 分
②当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? x2 ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ? (i)当

a 2 a a ? (x ? )(x ? ), x x 2 2

a ? 1, 即 0 ? a ? 2 时, f ?( x) 在 x ? (1, e) 时为正数,所以 f ( x) 在区间 [1, e) 上 2 x ? 1 时 , ym ? 为 增 函 数 , 故 当 , 且 此 时 i 1? na 2 f (1) ? f (e) ? e ………………………………………………………7 分
(ii)当 1 ?

a a a 在间 x ? ( ? e ,即 2 ? a ? 2e 2 时,f ?( x) 在 x ? (1, ) 时为负数, ,e) 时 2 2 2 a a a 为正数,所以 f ( x) 在区间 [1, 时, ) 上为减函数,在 ( , e] 上为增函数,故当 x ? 2 2 2 3a a a y min ? ? ln , 且 此 时 2 2 2 a f ( ) ? f (e) ? e2 …………………………………………………………………………… 2
………8 分

(iii)当 减

ym

a ? e ,即 a ? 2e 2 时, f ?( x) 在 x ? (1, e) 时为负数,所以 f ( x) 在区间[1,e]上为 2 函 数 , 故 当 时 , x?e 2 ? f (ei) ? e ……………………………………………………………………………… n
所 述 , 函 数

9分 综 上

y ? f ( x)











y min

? 1 ? a,0 ? a ? 2 ? 3a a a ? ? ? ln ,2 ? a ? 2e 2 ………………… …………10 分 ?2 22 2 e , a ? 2e 2 ?

所 以 当 1? a ?

3 a 2 0 ? a ? 2 ………………… ………………………11 分 (Ⅲ)①当 0 ? a ? 2 时, g ( x) 在 [2, ??) 单调递增,由 g (2) ? 6 ? 2a ? 2ln 2 ? 1 ? a , 5 2 得 ? ln 2 ? a ? 2 …… …………………………………………………………………12 分 3 3 a 3a a a ? 2a ? 2 ? 2 ln 2 ? ? ln , ②当 1 ? ? 2 时, g ( x) 在 [2, ??) 先减后增,由 g (2) 2 2 2 2 a a a 得 ? ln ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 2 2 2 a 设 h(t ) ? t ? t ln t ? 2 ? 2 ln 2(t ? ) , h?(t ) ? 2 ? ln t ? 0(1 ? t ? 2) , 2 所 以 h(t ) 单 调 递 增 且 h(2) ? 0 , 所 以 h(t ) ? 0 恒 成 立 得 2 ? a ? 4 …………………………14 分 a a a 2 ③当 2 ? ? e 时, f ( x ) 在 [2, ] 递增,在 [ , a ] 递减, y 2 2 2 a 3a a a ? ln , 在 [ a, ??) 递增,所以由 g ( ) ? 2 2 2 2 a 2 3a a a a a ? ? ln ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,设 m(t ) ? t 2 ? 3t ? t ln t ? 2 ? 2ln 2 , 得 4 2 2 2 2 2 则 m?(t ) ? 2t ? 2 ? ln t ? 0(t ? (2, e ) ,所以 m(t ) 递增,且 m(2) ? 0 , 所以 m(t ) ? 0 恒成立,无解. a a 2 ④当 a ? 2e 时, f ( x ) 在 [2, ] 递增,在 [ , a ] 递减,在 [ a, ??) 递增, 2 2 2 a a ? e2 ? 2 ? 2ln 2 ? 0 无解. 所以由 g ( ) ? e 得 2 4 5 2 综上,所求 a 的取值范围是 a ? [ ? ln 2, 4) 3 3 e2 ?
………………………16 分

3 3 a a 3 a 时 , 得 0 ? a ? 2 ; 当 a ? ln ? a ( 2 ? a ? 2e2 ) 时 , 无 解 ; 当 2 2 2 2 2 2 2 ( a ? 2e ) 时 , 得 a ? e 不成立. 综上,所求 a 的取值范围是 3

x

高二数学练习
1、 按 如 图 所 示 的 流 程 图 运 算 , 若 输 入 x= 20, 则 输 出 的 k=

2015.12
__.

2、某班级有 50 名学生,现要采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生, 将这 50 名学生随机编号 1~50 号,并分组,第一组 1~5 号,第二组 6~10 号,?, 第十组 46~50 号,若在第三组中抽得号码为 12 的学生,则在第八组中抽得号码为_ 的学生 3、口袋中有形状和大小完全相同的四个球,球的编号分别为 1,2,3,4,若从袋中随机 抽取两个球,则取出的两个球的编号之和大于 5 的概率为_ _ .

4、若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为

5、中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离 为 2,则双曲线方程为 .

6、 下 列 四 个 结 论 正 确 的 是 _ _ ____. (填 序 号 ) ① “x≠0”是 “x+ |x|>0”的 必 要 不 充 分 条 件 ; ②已 知 a、 b∈R, 则 “|a+ b|= |a|+ |b|”的 充 要 条 件 是 ab>0; 2 ③“a>0, 且 Δ= b- 4ac≤0”是 “一 元 二 次 不 等 式 ax2+ bx+ c≥0的 解 集 是 R”的 充 要 条 件 ④ “x≠1”是 “x2≠1”的 充 分 不 必 要 条 件 . 7、已知 ? ={(x,y)|x+y<6,x>0,y>0},A={(x,y)|x<4,y>0,x-2y>0}, 若向区域 ? 上随机投掷一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为 . 8 、已 知平 面 ? , ? , ? , 直 线 l , m 满 足 : ? ? ? , ?

? ? m, ?

? ? l , l ? m , 那 么①

m ? ? ;② l ? ? ;③ ? ? ? ;④ ? ? ? .可由上述条件可推出的结论有
(请将你认为正确的结论的序号都填上). 9、设 P ( x, y ) 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的一点,则 2 x ? y 的最大值是 9 4

.

10、如图,已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 2 cm,高为 5 cm,则一质点自点 A 出发, 沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1 的最短路线的长为 11、函数 f ( x) ? cm.

x3 ? x 2 ? m x 在 x ? (?2,0) 上有极值,则 m 的取值范围是 3

12、 已 知 点 A(0,2), 抛 物 线 y2= 2px(p>0)的 焦 点 为 F, 准 线 为 l, 线 段 FA交 抛 物 线 于 点 B, 过 B作 l的 垂 线 , 垂 足 为 M, 若 AM⊥MF, 则 p= 13、椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a> b> 0)的 左 焦 点 为 F, 右 顶 点 为 A, P是 椭 圆 上 一 点 ,l 为 左 准 线 , a2 b2


PQ⊥ l , 垂 足 为 Q,若 四 边 形 PQFA为 平 行 四 边 形 , 则 椭 圆 的 离 心 率 e的 取 值 范 围 是 ___

14、 若 存 在 过 点O(0,0)的 直 线 l与 曲 线 f(x)= x3- 3x2+ 2x和 y= x2+ a都 相 切 , 则
a 的值是__
__.

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分 .) 15.(14 分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(是不小于 40 不大于 100 的整数)分成六段 ?40,50? , ?50,60? ? ?90,100? 后 (1)求第四小组的频率,并补全这个画出如下部分频率分布直方图. (2)观察频率分布直方图图形的信息,估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平 均分.
频 率 组 距

0.025 0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 分 数

17、(l5分)如图,在半径为30cm的 半圆形(0为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点 A, B在直径上,点C,D在圆周上. (1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大?并求最大面积; (2)若将所截得的矩形铝 皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼 接损耗),应怎样截取,才能使做出的圆柱形罐子体积最大?并求最大体积.

18、 (15 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BA ? AC , AB ? BB1 ? a ,直线 B1C 与平面 ABC 成 30? 角. (1)求证: 平面B1 AC ? 平面ABB1 A1 ; (2)求 C1 到 平面B1 AC 的距离; (3)求三棱锥 A1 -AB1C 的体积. B (1)证明:由直三棱柱性质知, B1 B ? 平面ABC,
? B1 B ? AC , 又BA ? AC , B1 B ? BA ? B,? AC ? 平面ABB1 A1 又AC ? 平面B1 AC ,? 平面B1 AC ? 平面ABB1 A1. (2)解: A1C1 AC , AC ? 平面B1 AC , A1C1 ? 平面B1 AC ,? A1C1 平面B1 AC. ? C1到平面B1 AC的距离就是A1到平面B1 AC的距离.
过A1作A1M ? B1 A, 垂足为M , 连结 CM,

B1 A1

C1

C A
(第 18 题)

平面B1 AC ? 平面ABB1 A1,平面B1 AC ? 平面ABB1 A1 ? B1 A ? A1M ? 平面B1 AC 又A1M = 2 a,? C1到平面B1 AC的距离为 2 a. 2 2 (3)解: 直线B1C与平面ABC成30?角, ??B1CB ? 30?.

又B1C ? 2a, BC ? 3a, AC ? 2a, A1 B ? 2a, ?VA1 ? AB1C ? 2 a3 . 6

1 y2 x2 19、 (16 分)如图,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以椭圆 C 的上顶 2 a b
点 Q 为圆心作圆 Q : x ? ( y ? 2) ? r (r ? 0) ,设圆 Q 与椭圆 C 交于点 M 与点 N 。
2 2 2

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求 QM ? QN 的最小值,并求此时圆 Q 的方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点, 且直线 MP, NP 分别与 y 轴交于点 R, S , O 为坐标原点,求证: OR ? OS 为定值。

3 20、 (16 分)已知函数 f ( x) ? x ? ln x, g ( x) ? ax ?

1 2 x? . 2 3e

(1)求 f ( x ) 的单调增区间和最小值; (2)若函数 y ? f ( x) 与函数 y ? g ( x) 在交点处存在公共切线,求实数 a 的值; (3)若 x ? (0, e ] 时,函数 y ? f ( x) 的图象恰好位于两条平行直线 l1 : y ? kx ;
2

l2 : y ? kx ? m 之间,当 l1 与 l2 间的距离最小时,求实数 m 的值.
解(1)因为 f ?( x) ? ln x ? 1 ,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 , e

所以 f ( x ) 的单调增区间为 ( , ??) ,……………………………………………………2 分 又当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 在 (0, ) 上单调减, 当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 在 ( , ??) 上单调增, 所以 f ( x ) 的最小值为 f ( ) ? ? . …………………………………………………5 分
2 (2)因为 f ?( x) ? ln x ? 1 , g ?( x) ? 3ax ?

1 e

1 e

1 e

1 e

1 e

1 e

1 e

1 , 2

设公切点处的横坐标为 x ,则与 f ( x ) 相切的直线方程为: y ? (ln x ? 1) x ? x ,
2 3 与 g ( x) 相切的直线方程为: y ? (3ax ? ) x ? 2ax ?

1 2

2 , 3e

1 ? ln x ? 1 ? 3ax 2 ? , ? ? 2 所以 ? ? ? x ? ?2ax 3 ? 2 , ? 3e ?
1 e

…………………………………………………………8 分

解之得 x ln x ? ? ,由(1)知 x ?

e2 1 ,所以 a ? . …………………………10 分 e 6

(3)若直线 l1 过 (e2 , 2e2 ) ,则 k ? 2 ,此时有 ln x ? 1 ? 2 ( x 为切点处的横坐标) , 所以 x ? e , m ? ?e , ………………………………………………………………11 分 当 k ? 2 时,有 l2 : y ? (ln x ? 1) x ? x , l1 : y ? (ln x ? 1) x ,且 x ? 2 , 所以两平行线间的距离 d ?

x 1 ? (ln x ? 1)2

,………………………………………12 分

令 h( x) ? x ln x ? (ln x ? 1) x ? x ,因为 h?( x) ? ln x ? 1 ? ln x ?1 ? ln x ? ln x , 所以当 x ? x 时, h?( x) ? 0 ,则 h( x) 在 (0, x ) 上单调减; 当 x ? x 时, h?( x) ? 0 ,则 h( x) 在 ( x , e2 ) 上单调增, 所以 h( x) 有最小值 h( x ) ? 0 ,即函数 f ( x ) 的图象均在 l2 的上方,………………13 分 令 t ( x) ?

x2 ,则 ln 2 x ? 2 ln x ? 2

t ?( x) ?

2 x ln 2 x ? 4 x ln x ? 4 x ? 2 x ln x ? 2 x 2 x ln 2 x ? 2 x ln x ? 2 x ? ?0, (ln 2 x ? 2ln x ? 2)2 (ln 2 x ? 2ln x ? 2)2

所以当 x ? x 时, t ( x) ? t ( x ) ,………………………………………………………15 分 所以当 d 最小时, x ? e , m ? ?e .…………………………………………………16 分

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? a | ln x ?1| , g ( x) ? x | x ? a | ?2 ? 2ln 2, a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在区间 [1, e] 上的最大值;

3 a, x ? [1, ??) 恒成立,求 a 的取值范围; 2 (Ⅲ)对任意 x1 ? [1, ??) ,总存在惟一的 ...x2 ?[2, ??) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求 a 的取值
(Ⅱ)若 f ( x) ? 范围. 20.解: (Ⅰ)当 a ? 1 , x ? [1, e] 时 f ( x) ? x2 ? ln x ? 1 , f ?( x) ? 2 x ? 所 以 f ( x ) 在 [1, e] 递 增 , 所 以 f ( xm ) a? x

1 ? f ?(1) ? 1 , x

… … f(? e) 2 …………………… e

……………………………4 分 (Ⅱ)①当 x ? e 时, f ( x) ? x 2 ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ? 成立,

a ,? a ? 0 ,? f ( x) ? 0 恒 x


? f ( x)


2

[e,??)









,



x?e





ym ?i f (en ) ? e …………………………………………5 分
②当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? x2 ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ? (i)当

a 2 a a ? (x ? )(x ? ), x x 2 2

a ? 1, 即 0 ? a ? 2 时, f ?( x) 在 x ? (1, e) 时为正数,所以 f ( x) 在区间 [1, e) 上 2 x ? 1 时 , ym ? 为 增 函 数 , 故 当 , 且 此 时 i 1? na 2 f (1) ? f (e) ? e ………………………………………………………7 分
(ii)当 1 ?

a a a 在间 x ? ( ? e ,即 2 ? a ? 2e 2 时,f ?( x) 在 x ? (1, ) 时为负数, ,e) 时 2 2 2 a a a 为正数,所以 f ( x) 在区间 [1, 时, ) 上为减函数,在 ( , e] 上为增函数,故当 x ? 2 2 2 3a a a y min ? ? ln , 且 此 时 2 2 2 a f ( ) ? f (e) ? e2 …………………………………………………………………………… 2
………8 分

(iii)当 减

ym

a ? e ,即 a ? 2e 2 时, f ?( x) 在 x ? (1, e) 时为负数,所以 f ( x) 在区间[1,e]上为 2 函 数 , 故 当 时 , x?e 2 ? f (ei) ? e ……………………………………………………………………………… n
所 述 , 函 数

9分 综 上

y ? f ( x)











y min

? 1 ? a,0 ? a ? 2 ? 3a a a ? ? ? ln ,2 ? a ? 2e 2 ………………… …………10 分 ?2 22 2 e , a ? 2e 2 ?

所 以 当 1? a ?

3 a 2 0 ? a ? 2 ………………… ………………………11 分 (Ⅲ)①当 0 ? a ? 2 时, g ( x) 在 [2, ??) 单调递增,由 g (2) ? 6 ? 2a ? 2ln 2 ? 1 ? a , 5 2 得 ? ln 2 ? a ? 2 …… …………………………………………………………………12 分 3 3 a 3a a a ? 2a ? 2 ? 2 ln 2 ? ? ln , ②当 1 ? ? 2 时, g ( x) 在 [2, ??) 先减后增,由 g (2) 2 2 2 2 a a a 得 ? ln ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 2 2 2 a 设 h(t ) ? t ? t ln t ? 2 ? 2 ln 2(t ? ) , h?(t ) ? 2 ? ln t ? 0(1 ? t ? 2) , 2 所 以 h(t ) 单 调 递 增 且 h(2) ? 0 , 所 以 h(t ) ? 0 恒 成 立 得 2 ? a ? 4 …………………………14 分 a a a 2 ③当 2 ? ? e 时, f ( x ) 在 [2, ] 递增,在 [ , a ] 递减, y 2 2 2 a 3a a a ? ln , 在 [ a, ??) 递增,所以由 g ( ) ? 2 2 2 2 a 2 3a a a a a ? ? ln ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,设 m(t ) ? t 2 ? 3t ? t ln t ? 2 ? 2ln 2 , 得 4 2 2 2 2 2 则 m?(t ) ? 2t ? 2 ? ln t ? 0(t ? (2, e ) ,所以 m(t ) 递增,且 m(2) ? 0 , 所以 m(t ) ? 0 恒成立,无解. a a 2 ④当 a ? 2e 时, f ( x ) 在 [2, ] 递增,在 [ , a ] 递减,在 [ a, ??) 递增, 2 2 2 a a ? e2 ? 2 ? 2ln 2 ? 0 无解. 所以由 g ( ) ? e 得 2 4 5 2 综上,所求 a 的取值范围是 a ? [ ? ln 2, 4) 3 3 e2 ?
………………………16 分

3 3 a a 3 a 时 , 得 0 ? a ? 2 ; 当 a ? ln ? a ( 2 ? a ? 2e2 ) 时 , 无 解 ; 当 2 2 2 2 2 2 2 ( a ? 2e ) 时 , 得 a ? e 不成立. 综上,所求 a 的取值范围是 3

x


高二数学练习 201501_图文.doc

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