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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修3课件:3-1-1 随机事件的概率


成才之路· 数学
人教A版 ·必修3

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
概 率

第三章

概率

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第三章
3.1 随机事件的概率

第三章

概率

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第三章
3.1.1 随机事件的概率

第三章

概率

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课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 名师辨误做答

第三章 3.1

3.1.1

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课前自主预习

第三章 3.1

3.1.1

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温故知新 初中我们已经学过随机事件、必然事件和不可能事件的 概念.例如,在地球上抛一块石块,下落是一个 必然 事件; 抛掷两颗骰子,朝上的数字之和大于12是 不可能 事件;出 租车司机驾车通过3个交通路口都遇到绿灯是一个 随机 事 件.高中阶段继续学习这些概念,学习过程中要注意两个阶 段对这些概念表述上的不同,在这一阶段对它们的理解要进 入一个更深的层次.

第三章 3.1

3.1.1

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新课引入 十七世纪资本主义上升的初期,西欧赌博盛行,不但赌 注量大,而且赌法复杂.一些职业赌徒为求增加获胜的机 会,迫切需要计算取胜的思路.法国一个名叫德· 梅耳的江湖 赌博家向数学家帕斯卡提出了一个“点的问题”:掷一粒骰 子四次至少出现一次6点的机会要比掷两粒骰子四次至少出 现一对点的机会更大些,这是否成立?这就是著名的“梅耳 猜想”.帕斯卡看到这问题的潜在力,预示将有一个新的数 学分支出现,便将这个问题连同自己的解法写信告诉了费尔
第三章 3.1 3.1.1

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马,并向费尔马提出了另一个问题:某人用骰子一枚掷点, 说定掷八次中能有一次得6点,即可得全彩,现在,这人已 经掷三次还没有得6点,设此时不再继续掷骰子,那么,如 果给予相当的彩物,应该给多少呢?他们频繁的通信,开始 了概率论的研究.他们的通信被荷兰来的惠更斯获悉.回荷 兰后,他独立地研究这些问题,结果写成了《论掷骰子游戏 中的计算》,时间是1657年.这是迄今被认为概率论中最早 的论著.这节课我们来学习概率论中最基本的概念——随机 事件的概率.
第三章 3.1 3.1.1

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自主预习 阅读教材P108-112,回答下列问题: 1.事件 (1)确定事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫做相对 于条件S的必然事件,简称为必然事件;在条件S下,一定
不会发生的事件,叫做相对于条件S的不可能事件,简称为

不可能事件.必然 事件和 不可能 事件统称为相对于条件S的 确定事件,简称为确定事件.

第三章 3.1

3.1.1

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(2)随机事件:在条件S下可能 发生 也可能

不发生 的事

件,叫做相对于条件S的随机事件,简称为随机事件. (3)事件:确定 事件和 随机事件统称为事件,一般用大写 字母A,B,C?表示. (4)分类:
?不可能事件 ? ? ?确定事件? ?必然事件 事件? ? ? ?随机事件

第三章 3.1

3.1.1

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[破疑点]

随机事件和确定事件都是相对的,如果改变

条件,那么随机事件有可能变成确定事件,确定事件也有可 能变成随机事件.

第三章 3.1

3.1.1

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下列事件是确定事件是的(

)

A.2014年世界杯足球赛期间不下雨 B.没有水,种子发芽 C.对任意x∈R,有x+1>2x D.抛掷一枚硬币,正面朝上
[答案] B

第三章 3.1

3.1.1

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[解析]

选项A,C,D均是随机事件,选项B是不可能

事件,所以也是确定事件.

第三章 3.1

3.1.1

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2.频率 在相同的条件S下重复n次试验,观察事件A是否出现, 称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的 频数 ,称事 nA 件A出现的比例fn(A)= n 为事件A出现的频率,其取值范围 是 [0,1] .

第三章 3.1

3.1.1

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某射击运动员射击20次,恰有18次击中目标,则该运动 员击中目标的频率是________.

[答案]

0.9

第三章 3.1

3.1.1

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[解析]

设击中目标为事件A,则n=20,nA=18,则

18 f20(A)=20=0.9.

第三章 3.1

3.1.1

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3.概率 (1)定义:一般来说,随机事件A在每次试验中是否发生 是不可预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增 加,事件A发生的频率会逐渐稳定在区间 [0,1] 中某个常数 上.这个常数称为事件A的概率,记为 P(A) ,其取值范围是 [0,1].通常情况下,用概率度量随机事件发生的可能性 大小

第三章 3.1

3.1.1

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(2)求法:由于事件A发生的频率随着试验次数的增加稳 定于概率,因此可以用 频率来估计概率. (3)说明:任何事件发生的概率都是区间 [0,1] 上的一个确 定的数,用来度量该事件发生的可能性.小概率(接近于0)事 件不是不发生,而是 很少发生,大概率(接近于1)事件不是一 定发生,而是 经常发生.

第三章 3.1

3.1.1

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[破疑点]

对于一个随机事件而言,其频率是在[0,1]内

变化的一个数,并且随着试验次数的增加,随机事件发生的 频率逐渐稳定在某个常数附近,这个常数就是概率.因此可 以说,频率是变化的,而概率是不变的,是客观存在的.

第三章 3.1

3.1.1

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不可能事件发生的概率是________,必然事件发生的概 率是________,随机事件的概率的范围是________.
[答案] 0 1 (0,1)

第三章 3.1

3.1.1

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4.频率与概率的联系 对于随机事件而言,不同的结果出现的可能性一般是不 同的,既然事件发生的可能性有大小之分,我们如何进行定 量的描述呢?根据经验,可以用事件发生的频率来进行刻 画,频率在一定程度上可以反映事件发生可能性的大小,但 频率又不是一个完全确定的数,随着试验次数的不同,产生 的频率也可能不同,所以频率无法从根本上来刻画事件发生 的可能性的大小.频率虽然不能很准确地反映出事件发生的

第三章 3.1

3.1.1

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可能性的大小,但从大量的重复试验中发现,随着试验次数 的增多,频率就稳定于某一固定值.即频率具有稳定性,这 时就把这一固定值称为概率. 由此可见:(1)概率是频率的稳定值,随着试验次数的增 加,频率会越来越接近概率;(2)频率本身是随机的,在试验 前不能确定;(3)概率是一个确定的常数,是客观存在的,在 试验前已经确定,与试验的次数无关.

第三章 3.1

3.1.1

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对下面的描述:①频率是反映事件发生的频繁程度,概 率是反映事件发生的可能性的大小;②做n次随机试验,事件 A发生m次,则事件A发生的频率就是事件A发生的概率;③频 率是一个比值,但概率不是;④频率是不能脱离具体的n次试 验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理 论值;⑤频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中 正确的说法有( )

第三章 3.1

3.1.1

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A.①③⑤ C.①④⑤

B.①③④ D.②④⑤

[答案] C

第三章 3.1

3.1.1

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[解析]

频率是一个不确定的值,随试验次数的变化而变

化,但具有相对的稳定性.而概率是一个确定的值,不随试验次 数的变化而变化,但当试验次数无限增大时,频率趋向于概 率.因此①④⑤是正确的.

第三章 3.1

3.1.1

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[归纳总结] 理解掌握频率与概率的区别与联系是正确解答 本题的关键.

第三章 3.1

3.1.1

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思路方法技巧

第三章 3.1

3.1.1

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正确区分必然事件、不可能事件、随机事件
学法指导 判断事件类型的方法: 判定一个事件是哪类事件要看两点:一是看条件,二是 看结果发生与否,在条件S下,一定发生的是必然事件,一 定不发生的是不可能事件,可能发生也可能不发生的是随机 事件.

第三章 3.1

3.1.1

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指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随 机事件: (1)某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军; (2)同一门炮向同一目标发射多发炮弹,其中50%的炮弹 击中目标; (3)某人给其朋友打电话,却忘记了朋友电话号码的最 后一个数字,就随意在键盘上按了一个数字,恰巧是朋友的 电话号码;

第三章 3.1

3.1.1

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(4)技术充分发达后,不需要任何能量的“永动机”将会 出现. [分析] 根据必然事件、不可能事件及随机事件的定

义,在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫做随机 事件,可知(1)(2)(3)是随机事件;在一定的条件下不可能发 生的事件叫做不可能事件,知(4)是不可能事件.
[解析] (1)(2)(3)是随机事件;(4)是不可能事件.

第三章 3.1

3.1.1

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归纳总结:准确地掌握随机事件、必然事件及不可能 事件的概念是解题的关键.

第三章 3.1

3.1.1

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指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件: (1)某人购买福利彩票一注,中奖500万元; (2)三角形的内角和为180° ; (3)没有空气和水,人类可以生存下去; (4)同时抛掷两枚硬币一次,都出现正面向上; (5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张,抽到1号 签;

第三章 3.1

3.1.1

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[解析]

(1)购买一注彩票,可能中奖,也可能不中奖,

所以是随机事件. (2)所有三角形的内角和均为180° ,所以是必然事件. (3)空气和水是人类生存的必要条件,没有空气和水,人 类无法生存,所以是不可能事件. (4)同时抛掷两枚硬币一次,不一定都是正面向上,所以 是随机事件. (5)任意抽取,可能得到1,2,3,4号签中的任一张,所以是 随机事件.
第三章 3.1 3.1.1

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随机试验中条件和结果的判断
学法指导 如何分析试验结果: (1)首先要准确理解随机试验的条件、结果等有关定 义,并能使用它们判断一些事件,指出试验结果,这是后续 学习求事件的概率的前提和基础.

第三章 3.1

3.1.1

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(2)在写试验结果时,一般采用列举法写出,必须首先明 确事件发生的条件,根据日常生活的经验,按一定的次序 ——列举,才能保证没有重复,也没有遗漏. [特别提醒] 列举试验结果时,不同的事件需按照不同的 次序,不可生搬硬套.

第三章 3.1

3.1.1

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指出下列试验的条件和结果: (1)某人射击一次,命中的环数; (2)从装有大小相同但颜色不同的a,b,c,d这4个球的 袋中,任取1个球; (3)从装有大小相同但颜色不同的a,b,c,d这4个球的 袋中,任取2个球.

第三章 3.1

3.1.1

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[解析]

(1)条件为射击一次;结果为命中的环数:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,共11种. (2)条件为从袋中任取1个球;结果为:a,b,c,d,共4 种; (3)条件为从袋中任取2个球;若记(a,b)表示一次试验中 取出的球是a和b,则试验的全部结果为:(a,b),(a,c), (a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共6种.

第三章 3.1

3.1.1

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归纳总结:如何不重不漏地列举试验的所有可能结 果? (1)结果是相对于条件而言的,要弄清试验的结果,必须 首先明确试验中的条件; (2)根据日常生活经验,按照一定的顺序列举出所有可能 的结果,可应用画树形图、列表等方法解决.

第三章 3.1

3.1.1

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下列随机事件中,一次试验各指什么?它们各有几次试 验?试验的可能结果有哪几种? (1)一天中,从北京站开往合肥站的3列列车,全部正点 到达; (2)某人射击两次,一次中靶,一次未中靶.

第三章 3.1

3.1.1

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[解析]

(1)一列列车开出,就是一次试验,共有3次试

验.试验的结果有“只有1列列车正点”“只有2列列车正 点”“全部正点”“全部晚点”,共4种. (2)射击一次,就是一次试验,共有2次试验.试验的结 果有“两次中靶”“第一次中靶,第二次中靶”“第一次未 中靶,第二次中靶”“两次都未中靶”,共4种.

第三章 3.1

3.1.1

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规纳总结:一次试验就是将事件的条件实现一次.

第三章 3.1

3.1.1

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探索延拓创新

第三章 3.1

3.1.1

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概率与频率的关系
学法指导 概率与频率的关系及求法: (1)频率是试验中事件A出现的次数nA与试验总次数n的比 nA 值,利用公式fn(A)= n 可求事件A出现的频率.频率本身是随 机变量,与具体的试验有关,但是当试验次数n很大时,频 率总是在一个稳定值附近左右摆动,这个稳定值就是概率.

第三章 3.1

3.1.1

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(2)解此类题目的步骤是:先利用频率的计算公式依次计 算出各个频率值,然后根据概率的定义确定频率的稳定值即 为概率. 某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000 支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:时)进行了统计,统 计结果如下表所示:

第三章 3.1

3.1.1

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分 [0, 组 900)

[900, 1 100)

[1 100, [1 300, 1 300) 1 500)

[1 500, [1 700, [1 900, 1 700) 1 900) +∞)

频 数 频 率 48 121 208 223 193 165 42

第三章 3.1

3.1.1

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(1)将各组的频率填入表中; (2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1 500小时 的概率. [分析] 要估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率,需

nA 先求出灯管使用寿命在[0,1 500)的频数,再应用公式fn(A)= n 求解.

第三章 3.1

3.1.1

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[思路] ? 估计概率

计算寿命不足1 500 频数 ? 用1 000计算频率 小时的频数

第三章 3.1

3.1.1

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[解析]
分 组 频 数 频 率 0.048 48 [0, 900)

(1)
[900, 1 100) 121 [1 100, [1 300, [1 500, 1 300) 208 1 500) 223 1 700) 193 [1 700, 1 900) 165 [1 900, +∞) 42

0.121

0.208

0.203

0.193

0.165

0.042

(2)灯管寿命不足1500不时的概率P=0.048+0.121+ 0.208+0.223=0.6.

第三章 3.1

3.1.1

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某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示. 射击次数n 击中靶心次数m m 击中靶心频率 n (1)计算表中击中靶心的各个频率. (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少? 10 20 50 8 19 44 100 92 200 178 500 455

第三章 3.1

3.1.1

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[解析]

(1)0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.

(2)频率值大致在0.9附近摆动,因此可估计概率为0.9.

第三章 3.1

3.1.1

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名师辨误做答

第三章 3.1

3.1.1

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高一· 一班班委会成员共4人,其中有两名男同 学和两名女同学,班主任老师要安排其中的两名同学去完成 某项任务,列出所有的等可能的基本事件.

第三章 3.1

3.1.1

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[错解]

取出的两名同学包括两名男同学,两名女同学

和一名男同学与一名女同学三个基本事件. [辨析] 列举基本事件时,必须要注意基本事件的等可

能性.上述三个事件发生的可能性是不相等的.

第三章 3.1

3.1.1

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[正解]

将两名男同学记作A、B,两名女同学记作a、

b,则从中任取两名同学,所有不同的取法(即基本事件)有: (A,B),(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(a,b)共六个.

第三章 3.1

3.1.1

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把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1 000次,其中 有498次正面朝上,502次反面朝上,求掷一次硬币正面朝上 的概率. [错解] nA 498 由题意,根据公式fn(A)= n = 1 000 =0.498,故

掷一次硬币正面朝上的概率是0.498.

第三章 3.1

3.1.1

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[错因分析] 错解混淆了频率与概率的概念,0.498仅是 正面朝上的概率的估计值,不能把0.498看成概率.
[正解] 通过做大量的试验可以发现,正面朝上的频率

在常数0.5附近摆动,故掷一次硬币,正面朝上的概率为0.5

第三章 3.1

3.1.1

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基础巩固训练

第三章 3.1

3.1.1

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1.下面的事件:①掷一枚硬币,出现反面;②异性电 荷相互吸引;③3+5>10.是随机事件的有( A.② B.③ C.① ) D.②③

[答案] C
[解析] ①为随机事件,②为必然事件,③为不可能事件.

第三章 3.1

3.1.1

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2.下面的事件:①在标准大气压下,水加热90℃时会 沸腾;②从标有1,2,3的小球中任取一球,得2号球;③a>1, 则y=ax是增函数,是必然事件的有( A.③
[答案] [解析] A ①为不可能事件,②为随机事件,③为必然事件

) D.②③

B.①

C.①③

第三章 3.1

3.1.1

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3.事件A的概率P(A)满足( A.P(A)=0 C.0≤P(A)≤1

) B.P(A)=1 D.0<P(A)<1

[答案] C

第三章 3.1

3.1.1

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[解析]

必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,

随机事件的概率范围是(0,1).

第三章 3.1

3.1.1

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4.向区间(1,2)内投点,点落入区间(0,1)内是( A.必然事件 C.随机事件 B.不可能事件 D.无法确定

)

[答案] C

第三章 3.1

3.1.1

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5.下列事件: ①对任意实数x,有x2<0; ②三角形的内角和是180° ; ③骑车到十字路口遇到红灯; ④某人购买体育彩票中奖. 其中是随机事件的为________.
[答案] ③④

第三章 3.1

3.1.1

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[解析]

当x∈R时,x2≥0,则①是不可能事件;由三角

形内角和定理知,②是必然事件;路口遇红灯和买彩票中奖 都是随机的,则③④是随机事件.

第三章 3.1

3.1.1

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6.从某自动包装机包装的白糖中,随机抽取20袋,测 得各袋的质量分别为(单位:g): 492 497 496 503 494 506 495 508 498 507 497 492 501 496 502 500 504 501 496 499

根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装 的袋装白糖质量在497.5~501.5 g之间的概率约为________.

[答案]

0.25

第三章 3.1

3.1.1

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[解析]

样本中白糖质量在497.5~501.5 g之间的有5袋,

所以该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5~501.5 g之间 5 的频率为 =0.25,则概率约为0.25. 20

第三章 3.1

3.1.1

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7.在10个同类产品中,有8个正品,2个次品,从中任 意抽出3个检验,据此列出其中的不可能事件、必然事件、 随机事件. [分析] 从10个产品中任意抽出3个检验,共出现以下三

种可能结果:“抽出3个正品”,“抽出2个正品,1个次 品”,“抽出1个正品,两个次品”.

第三章 3.1

3.1.1

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[解析]

不可能事件是“抽到3个次品”;

必然事件是“至少抽到1个正品”; 随机事件是“抽到3个正品”,“抽到2个正品,1个次 品”,“抽到1个正品,2个次品”.

第三章 3.1

3.1.1

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8.2004年雅典奥运会上,中国射击运动员王义夫在决赛 中以0.2环的微弱优势战胜了俄罗斯运动员内斯特鲁耶夫,摘 得该项目的金牌.下表是两人在参赛前训练中击中10环以上 的次数统计:

第三章 3.1

3.1.1

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射击次数n 王义夫击中10 环以上 的次数 击中10环以 上的频率

10 20 50

100

200

500

9 17 44

92

179

450

第三章 3.1

3.1.1

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射击次数n 内斯特鲁耶 夫击中10 环以上的次数 击中10环 以上的频率

10

20

50

100

200

500

8

19

44

93

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第三章 3.1

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请根据以上两表格中的数据回答以下问题: (1)分别计算出两位运动员击中10环以上的频率; (2)根据(1)中计算的结果预测两位运动员在奥运会上每次 击中10环以上的概率. [分析] 概率. 先求每次试验的频率,然后根据频率的平均值求

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[解析]

(1)两位运动员击中10环以上的频率为王义夫:

0.9,0.85,0.88,0.92,0. 895,0.9; 内斯特鲁耶夫:0.8,0.95,0.88,0.93,0.885,0.906. (2)由(1)中的数据可知两位运动员击中10环以上的频率都 集中在0.9这个数的附近,所以估计两人击中10环以上的概率 为0.9,也就是说两人的实力相当.

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[点评]

频数 频率= ,第(2)问利用了概率的统计定 样本容量

义,注意观察频率在哪个常数附的左右摆动.

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