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高中数学必修5新教学案:等比数列自主练习


必修 5
一、选择题

等比数列自主练习 (学案)

1.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 lg ? Sn ? 1? ? n ,则这个数列是( (A)等差数列 (C)既是等差数列又是等比数列

).

(B)等比数列 (D)既不是等差数列又不是等比数列

2.设等差数列 ?an ? 的公差 d 不为 0, a1 ? 9d ,若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,则 k ? ( ). (A)2 (B)4 (C)6 (D)8
3

3. 等比数列 ?an ? 中 an >0,若 a5 ? 6 ? 9 ,则 log 3 a1 ?log 3 a ? a 2 log ( ). (A)12 (B)10 (C)8

a ? ?? log 3

3 10

a =

(D) 2 ? log3 5 ).

4.已知 ?an ? 是等比数列, a2 ? 2, a5 ? (A) 16? 1 ? ?

1 , 则 a1a2 ? a2a3 ? ? ? anan?1 ? ( 4
(C)

? ?

1? ? 4n ?

(B) 16? 1 ? ?

? ?

1? ? 2n ?

32 ? 1 ? ? 1? n ? ? 3 ? 4 ?

(D)

32 ? 1 ? ? 1? n ? ? 3 ? 2 ? an ,( 则 Sn
) .

5.等比数列 ?an ? 中, 公比为 q, q >0 且 q ? 1 , n 为 ?an ? 的前项和, Tn ? 记 S (A) T3 ? T6 (B) T3 < T6 (C) T3 ? T6

(D) T3 > T6

6.一个项数是偶数的等比数列,它的偶数项的和是奇数项和的 2 倍,又它的首项为 1, 且中间两项的和为 24,则此等比数列的项数为( ). (A)12 (B)10 (C)8 (D)6 二、填空题 7. 设 ?an ? 是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 , 公 比 q =2 且 a1 ? 2 ? 3 ? a30 ? 230 , 那 么 a a ??

a2 ? 5 ? 8 ? a29 = a a ??

.

8.设等比数列 ?an ? 的前项和为 Sn ,已知 S1 , 2S2 , 3S3成等差数列,则数列的公 比

q=

. 9.在等比数列 ?an ? 中, a9 ? a10 ? 2, a19 ? a20 ? 4 ,则 a99 ? a100 = 10.数列 ?an ? 的前项和为 Sn , S n ? 1 ? .

2 an ,则 an = 3

.

三、解答题(写出必要的文字说明或解答步骤) 11.已知数列 ?an ? 是各项均为正数的等差数列,且 lg a1 ,lg a2 ,lg a4 成等差数列,又 bn

=

1 , n ? 1, 2,3,?. a2n

求证:数列 ?bn ? 为等比数列.

12.已知等比数列 ?an ? ,若 a1 ? a2 ? a3 ? 7, a1a2a3 ? 8 ,求 an .

13.若数列 ?an ? 满足关系 a1 ? 2, an?1 ? 3an ? 2 ,求数列的通项公式.

14.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ?

2an 2 , an?1 ? , n ? 1, 2,?. 3 an ? 1

(1)证明:数列 ?

?1 ? ? 1? 是等比数列; ? an ?

(2)求数列 ?

?n? ? 的前 n 项和 Sn. ? an ?

必修 5
一、选择题

等比数列自主练习 (教案)

1.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 lg ? Sn ? 1? ? n ,则这个数列是( B ). (A)等差数列 (C)既是等差数列又是等比数列 (B)等比数列 (D)既不是等差数列又不是等比数列

2.设等差数列 ?an ? 的公差 d 不为 0, a1 ? 9d ,若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,则 k ? ( B ). (A)2 (B)4 (C)6 (D)8
3

3. 等比数列 ?an ? 中 an >0,若 a5 ? 6 ? 9 ,则 log 3 a1 ?log 3 a ? a 2 log ( B ). (A)12 (B)10 (C)8

a ? ?? log 3

3 10

a =

(D) 2 ? log3 5

4.已知 ?an ? 是等比数列, a2 ? 2, a5 ? (A) 16? 1 ? ?

1 , 则 a1a2 ? a2a3 ? ? ? anan?1 ? ( C ) . 4
(C)

? ?

1? ? 4n ?

(B) 16? 1 ? ?

? ?

1? ? 2n ?

32 ? 1 ? ? 1? n ? ? 3 ? 4 ?

(D)

32 ? 1 ? ? 1? n ? ? 3 ? 2 ? an ,( D ) 则 。 Sn

5.等比数列 ?an ? 中, 公比为 q, q >0 且 q ? 1 , n 为 ?an ? 的前项和, Tn ? 记 S (A) T3 ? T6 (B) T3 < T6 (C) T3 ? T6

(D) T3 > T6

6.一个项数是偶数的等比数列,它的偶数项的和是奇数项和的 2 倍,又它的首项为 1, 且中间两项的和为 24,则此等比数列的项数为( C ) (A)12 (B)10 (C)8 (D)6 二、填空题 7. 设 ?an ? 是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 , 公 比 q =2 且 a1 ? 2 ? 3 ? a30 ? 230 , 那 么 a a ??

a2 ? 5 ? 8 ? a29 = 210 . a a ??
8.设等比数列 ?an ? 的前项和为 Sn ,已知 S1 , 2S2 ,3S3 成等差数列,则数列的公比 q = 9.在等比数列 ?an ? 中, a9 ? a10 ? 2, a19 ? a20 ? 4 ,则 a99 ? a100 = 2 .
10

1 . 3

10.数列 ?an ? 的前项和为 Sn , S n ? 1 ?

3 ?2? 2 an ,则 an = ? ? ? 5 ?5? 3

n?1

.

三、解答题(写出必要的文字说明或解答步骤)

11.已知数列 ?an ? 是各项均为正数的等差数列,且 lg a1 ,lg a2 ,lg a4 成等差数列,又 bn =

1 , n ? 1, 2,3,?. a2n

求证:数列 ?bn ? 为等比数列. 证明:? lg a1 ,lg a2 ,lg a4 成等差数列,
2 ?2lg a2 ? lg a1 ? lg a4 ? lg ? a1 ? 4 ? ,?a2 ? a1 ? 4 . 设等差数列 ?an ? 的公差为 d , a a
2 d 则 ? a1 ? d ? ? a1 ? a1 ? 3d ? ,? d ? a ? ,? d ? a1 ? d ? ? 0. ? 2

①当 d ? 0 时, ?an ? 为常数数列, ?bn ? 也为常数数列,此时数列 ?bn ? 是首项为正数, 公比为 1 的等比数列.
n n ②当 d ? a1 ? 0 时, a2n ? a1 ? 2 ? 1 d ? 2 d ,

?

?

1 1 ? 1 bn ?1 d 2n ?1 1 1 1 1 ,公 ? bn ? ? ? n ,? ? ? ? n ? 1? . 此时数列 ?bn ? 是首项为 b1 ? 1 1 2d a2n d 2 bn 2 ? d 2n 1 比为 的等比数列. 2
综上知,数列 ?bn ? 为等比数列. 12.已知等比数列 ?an ? ,若 a1 ? a2 ? a3 ? 7, a1a2a3 ? 8 ,求 an .
2 3 解法 1:? a1a3 ? a2 ,?a1 ? 2 ? 3 ? a2 ? 8,?a2 ? 2. 从而 ? a a

? a1 ? a3 ? 5, ? a1a3 ? 4.

1 ? a1 ? 1, a3 ? 4, 或a1 ? 4, a3 ? 1.? a1 ? 1, q ? 2或a1 ? 4, q ? . 2

?an ? 2n?1, 或an ? 23?n.
?a1 ?1 ? q ? q 2 ? ? 7, ?a1 ? 1, ? 解法 2:将 a2 ? a1q, a3 ? a1q 带入已知,可得 ? 解得 ? ?q ? 2. ?a1q ? 2. ?
2

?a1 ? 4, ? n ?1 3?n 或? 1 故可得 an ? 2 ,或 an ? 2 . ?q ? 2 . ?
13.若数列 ?an ? 满足关系 a1 ? 2, an?1 ? 3an ? 2 ,求数列的通项公式.

解:? an?1 ? 3an ? 2 ,两边加 1,?an?1 ?1 ? 3an ? 3 ? 3?1 ? an ? .? 数列 ?1 ? an ? 是等 比数列,且以 a1 ? 1 为首项,3 为公比,?1 ? an ? ? a1 ? 1?? n?1 ? 3? n?1.?an ? 3n ?1 . 3 3 14.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ?

2an 2 , an?1 ? , n ? 1, 2,?. 3 an ? 1

(1)证明:数列 ?

?1 ? ? 1? 是等比数列; ? an ?

(2)求数列 ?

?n? ? 的前 n 项和 Sn. ? an ? ? 1 1? 1 2an a ?1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? 1? , 又 ,? ? n ? ? ? ,? an ?1 2 ? an an ? 1 an?1 2an 2 2 an ?

解 : 1 ) ? an ?1 ? (

a1 ?

? 1 ? 2 1 1 1 1 , ? ? 1 ? .? 数列 ? ? 1 是以 为首项, 为公比的等比数列. ? 3 2 2 a1 2 ? an ?
(2)由(1)知

1 1 1 1 1 1 n n ? 1 ? ? n?1 ? n ,即 ? n ? 1,? ? n ? n. an 2 2 2 an 2 an 2
则 Tn ?

设 Tn ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ?? ? n . ① 2 2 3 2

1 2

1 2 n ?1 n ? 3 ? ? ? n ? n ?1 . ② 2 2 2 2 2

1? 1? ?1 ? n ? 1 1 1 1 n n 1 n 2 2 ? Tn ? + 2 ? ? ? n ? n ?1 ? ? ①-②得 ? n ?1 ? 1 ? n ? n ?1 , 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2
?Tn ? 2 ? n ? n ? 1? 1 n ? n , 又1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? . 2n ?1 2 2

所以数列 ?

?n? 2 ? n n ? n ? 1? n2 ? n ? 4 n ? 2 ? ? n . ? 的前 n 项和 Sn ? 2 ? n ? 2 2 2 2 ? an ?


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