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江西省重点中学协作体2013届高三第一次联考文科数学试卷


江西省重点中学协作体 2013 届高三第一次联考 数学试卷(文)
命题: 赵卫生(抚州一中) 杨相春(九江一中) 审题: 王文彬(抚州一中) 黄志明(九 江一中) 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分.满分 150 分.考试用时 120 分钟.

第 I 卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.

(1 ? i) 3 1.设 i 是虚数单位,则 ?( (1 ? i) 2
A. 1 ? i

) C. ? 1 ? i D. 1 ? i )

x ( x ?3) ?1 ,B ? x y ? 2.设全集 U ? R , A ? x 3

?

B. ? 1 ? i

?

?

log2 ( x ? 1) ,则 A ? B ? (

?

A. x 1 ? x ? 9?

?

B. x1 ? x ? 3

?

?

C. x 2 ? x ? 3? )

?

D. x 2 ? x ? 9?
1

?

3.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( A.

1 3

B. 1 D. 2 )

2 正视图 2 俯视图

2 侧视图

C. 2

4.已知程序框如下图,则输出的 i 的值是( A. 10 B. 11 C. 12 D. 9

(第 3 题图)

开始

S ?1

i ?3

S ? 100?



S ? S *i

i ?i?2


输出i

结束

(第 4 题图)

5.已知直线 l 的方程 y ? k ( x ? 1) ? 1 ,圆 C 的方程为 x ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则直线 l与C 的
2 2

位置关系是 ( A.相切

) B.相交 C.相离 D.不能确定

6.已知 a, b, c 分别为方程 x ? log3 x ? 3, x ? log4 x ? 3, x ? log3 x ? 1的解,则 a, b, c 的大 小关系为( ) A. c ? a ? b B. b ? a ? c
1

C. a ? b ? c

D. c ? b ? a

7. 设双曲线 C : x ? y ? 1 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线上, PF ? PF2 ? 0 , 且 1 2 2

2

2

???? ???? ?

a

b

tan ?PF1 F2 ?
A.

1 ,则该双曲线的离心率为( 3
B. 5



10 2

C. 10

D. 2 2

8.如图甲所示,三棱锥 P ? ABC 的高 PO ? 8, AC ? BC ? 3, ?ACB ? 30?, M 、N 分别在 BC 和 PO 上, CM ? x, PN ? 2 x( x ? (0,3]) , 且 图乙中的四个图像大致描绘了三棱锥 N ? AMC 的体积 V 与 x 的变化关系,其中正确的是( )

(第 8 题图)

?a x ?5 ( x ? 6), ? 9.已知函数 f ( x) ? ? 数列 ?an ? 满足 an ? f ( n)(n ? N* ) ,且 ?an ? 是单调递 a ?(4 ? ) x ? 4 ( x ? 6), ? 2 增数列,则实数 a 的取值范围是( )
A. ? 7,8? B. ?1,8? C. ? 4,8? D. ? 4,7 ?

10. 各 项 互 不 相 等 的 有 限 正 项 数 列 ?an ? , 集 合 A ? a1, a2, ..., an,

B ? (ai , a j ) ai ? A, a j ? A, ai ? a j ? A,1 ? i, j ? n? ,则集合 B 中的元素至多有(
个. A.

?

?

?

,集合 )

n( n ? 1) 2

B.2

n ?1

?1

C.

(n ? 2)( n ? 1) 2

D.n ? 1

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上.
11.右边茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中 一个数字被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为_____. 12. 已知 a , b 都是正实数, 函数 y ? 2ae x ? b 的图象过 (0,1) 点,则 甲 4 3 8 9 2 1 0 乙 3 2 6 5

1 1 ? 的最小值是 a b

.

(第 11 题图)

13 . 已 知 ?ABC 中 , A B ? 7 , A C? 5, B C? 8 点 D 在 BC 上 , 且 BD ? 3 DC, 则 ,

????

????

2

???? ??? ? AD ? AB ?
14 . 已 知 数

. 列

?an ?





n
.





S n ? n 2 ? 2n ? 1





Tn ?

1 1 1 ? ? ?? ? ? a1 ? a 2 a 2 ? a3 a n ? a n?1

15.给出以下五个命题: ①命题“对任意 x ? R , x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “存在 x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ” ; ②已知函数 f ( x) ? k cos x 的图象经过点 P(

?
3

,1) ,则函数图象在点 P 处切线的斜率等于

? 3;
③“ a ? 1 ”是“直线 y ? ax ? 1 与直线 y ? (a ? 2) x ? 1 垂直”的充要条件; ④设 ? , ? 为两个不同的平面,直线 l ? ? ,则 "l ? ? " 是 "? ? ? " 成立的充分不必要条 件; ⑤已知向量 a ? (1, ?2) 与向量 b ? (1, m) 的夹角为锐角, 那么实数 m 的取值范围是 (??, ) . 其中正确命题的序号是 .

?

?

1 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步
骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ( 2 sin(

x ? x x ? x ? ), 3 cos ) ,向量 b ? ( 2 sin( ? ), 2 sin ) ,函数 2 4 2 2 4 2

? ? f ( x) ? a ? b .
(1)求函数 f (x) 的对称轴方程及单调递增区间; (2)在锐角 ?ABC 中,若 f ( A) ?

2 ,求 cos A 的值. 3

17. (本小题满分 12 分)

3

y ? ?1 ? x ? 3 ? 已知点 P( x, y) 是满足约束条件 ?0 ? y ? 3 的有序实数对. ? x, y ? N ? ? ?
(1)求满足上述条件点 P( x, y) 个数,并列举出来; (2)若点 Q( x, y) 也满足上述条件( P, Q 不重合)求 PQ ?

3 的概率. 2

18. (本小题满分 12 分) 如图(1) ?ABC 是等腰直角三角形,其中 AC ? BC ? 4 , E , F 分别为 AC , BC 的 , 中点, ?AEF 沿 EF 折起, A 的位置变为点 A? , 将 点 已知点 A? 在平面 BCEF 上的射影 O 为 BC 的中点,如图(2)所示. (1)求证: EF ? A?C ; (2)求三棱锥 F ? A?BC 的体积.

C

B

A?

C
E

B

F
E

O
F
(2)
(第 18 题图)

A

(1)

19. (本小题满分 12 分) 设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 an?1 ? 2Sn ? 2(n ? N ? ) . (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

4

(2)在 an 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成公差为 d n 的等差数列,求数列

?1? ? ? ? 的前 n 项和 Tn . ? dn ? ?

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? x ? ax e . 1? x

? ax 提示: (e? ax )? ? ?ae .

(1)设 a ? 0 ,讨论函数 y ? f ( x) 的单调性; (2)若对任意的 x ? (0,1) ,恒有 f ( x) ? 1 ,求 a 的取值范围.

5

21. (本小题满分 14 分)

x2 y2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的一个焦点是 F ( 3,0) ,且过点 ( a b
(1)求椭圆 C 的方程.

2,

2 ). 2

(2)设椭圆 C 与 x 轴的两个交点为 A1 , A2 ,点 P在直线x ? a 上,直线 PA1 , PA2 分别
2

与椭圆 C 交于 M , N 两点,试问当点 P在直线x ? a 上运动时,直线 MN 是否恒经过定点
2

Q ?若存在求出点 Q 坐标,若不存在,请说明理由.

江西省重点中学协作体 2013 届高三第一次联考

数学试题(文) 参考答案与评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 D 5 B 6 B 7 A 8 A 9 C 10 A

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上.
6

2 5 3 1 ? 14. 20 4n ? 6
11.

12. 3 ? 2 2 15. ②③④

13. 16

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步
骤. 16. (本小题满分 12 分) 【解】 (1) f ( x) ?

6 6 2 2? 2? , k ? Z ,故对称轴方程为: x ? k? ? ,k ? Z ??????4 分 ? x ? k? ? 3 3 ? ? ? ? 2? 2k? ? ? x ? ? 2k? ? ? 2k? ? ? x ? 2k? ? ,故单调递增区间为 2 6 2 3 3

3 sin x ? cos x ? 2 sin( x ?

?

)

,令 x ?

?

? k? ?

?

? 2? ? ? ?2k? ? 3 ,2k? ? 3 ? k ? Z ?????????6 分 ? ?
(2) f ( A) ?

2 ? 1 ? 2 ,则 2 sin( A ? ) = ? sin( A ? ) ? 6 3 6 3 3
?????????8 分

又0 ? A?

?

? 2 2 ,? cos(A ? ) ? 2 6 3
?
6 ?

cos A ? cos( A ?

?
6

) = cos( A ?

?
6

) cos

?
6

? sin( A ?

?
6

) sin

?
6

=

2 2 3 1 1 2 6 ?1 ? ? ? ? 3 2 3 2 6

? ????????12 分

17. (本小题满分 12 分)

(1) 依 题 意



y ? x ? 1, ? 1, 2,3 ? ? x ? 2,y ? 2,3 故 点 P 坐 标 有 ? x ? 3,y ? 3 ?

6

个 , 分 别 是

(1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3) .
?????????????5 分 (2)基本事件共有 15 个. (取 xP ? xQ ) 当 P(1,1)时, Q为(1,2)(1,3)(2,2)(2,3)(3,3) ;当 P(1,2)时, Q为(1,3)(2,2)(2,3)(3,3) ; 当 P(1,3)时, Q为(2,2)(2,3)(3,3) ;当 P(2,2)时, Q为(2,3)(3,3) ;当 P(2,3)时, Q为(3,3)

PQ ?

3 共有 5 对 2

(1,1) 与 (1,3) ,1,1) 与 (2,3) ,1,1) 与 (3,3) , 2) 与 (3,3) , ( ( (1, (1,3) 与 (3,3)

7

故 P( PQ ?

3 5 1 )? ? .?????????12 分 2 15 3

18. (本小题满分 12 分) 【解】 (1)证法一:在 ?ABC 中, EF 是等腰直角 ?ABC 的中位线,? EF ? AC 在四棱锥 A? ? BCEF 中, EF ? A?E , EF ? EC , ?EF ? 平面 A?EC , 又 A?C ? 平面 A?EC , ? EF ? A?C ???????????6 分 证法二:同证法一 EF ? EC

? A?O ? EF
? EF ? 平面 A?EC ,
又 A?C ? 平面 A?EC , ? EF ? A?C (2)在直角梯形 EFBC 中 , ???????????6 分

1 EC ? 2, BC ? 4 , ? S ?FBC = BC ? EC ? 4 2
又? A?O 垂直平分 EC ,? A?O ? A?E 2 ? EO2 ? 3 ????9 分

? 三棱锥 F ? A?BC 的体积为: F ? A?BC ? VA?? FBC ? S?FBC ? A?O ? ? 4 ? 3 ? V
19. (本小题满分 12 分)
* * 【解】 (1)由 an?1 ? 2Sn ? 2( n ?Z )得 an ? 2Sn?1 ? 2(n ?Z , n ? 2 ) ,

1 3

1 3

4 3 ??12 分 3

两式相减得: an?1 ? an ? 2an ,

* 即 an?1 ? 3an (n ? Z , n ? 2 ) ,

∵ {an } 是等比数列,所以 a2 ? 3a1 ,又 a2 ? 2a1 ? 2, 则 2a1 ? 2 ? 3a1 ,∴ a1 ? 2 , ∴ an ? 2? n?1 . ?????????????6 分 3 (2)由(1)知 an?1 ? 2? n , an ? 2? n?1 3 3

4 ? 3n ?1 ∵ an?1 ? an ? (n ? 1)d n ,∴ d n ? ,???8 分 n ?1
令 Tn ? 则 Tn ?

1 1 1 1 ? ? ??? , d1 d 2 d 3 dn

2 3 4 n ?1 ? ? +? ? ① 0 1 2 4?3n ?1 4?3 4?3 4?3 1 2 3 n n ?1 Tn ? ? ??? ? ② n ?1 1 2 4?3 4?3n 3 4?3 4?3 2 2 1 1 1 n ?1 ? ? ? ?? ? ①-②得 Tn ? 0 1 2 n ?1 3 4? 3 4? 3 4? 3 4?3 4?3n 1 1 (1 ? n ?1 ) 1 1 3 n ? 1 5 2n ? 5 3 ? ? ? ? ? ? 1 2 4 4?3n 8 8?3n 1? 3
8

?Tn ?

15 2n ? 5 ? . ??????12 分 16 16? n ?1 3

20. (本小题满分 13 分) 【解】(1) f ?( x) ?

ax 2 ? 2 ? a ? ax e ,???????2 分 (1 ? x)2

i ) 0 ? a ? 2 时,增区间为 ? ??,1? , ?1, ?? ? ,无减区间;?????4 分

? ? a?2 a?2 ? a?2 ? ? a?2 ? ,1? , ?1, ?? ? ,减区间为 ? ? , ii ) a ? 2 时,增区间为 ? ??, ? ? ,? ?. ? ? ? a ? ? a a ? a ? ? ? ? ? ?
????????6 分 (2) i ) 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 ? 0,1? 上单调递增, f ( x) ? f (0) ? 1 ;?????7 分

1? x ? ? 1? ii ) a ? 0 时, 1 ? x ? ? f ( x) ? 1 ;??????????9 分 ? ax e ?1 ? ?
iii ) a ? 2 时 , f ( x)
在 ? 0, ?

? ?

? a?2 ? a?2 ? ,1? 上 递 增 , ? 上 递 减 , 在 ? ? ? a ? a ? ? ?

? f ( x)min ? f (

a?2 a?2 ) ,而 f (0) ? 1 ,故 f ( ) ? 1 .???????12 分 a a

综上, a ? 2 时, 对任意的 x ? (0,1) ,恒有 f ( x) ? 1 .???????13 分 21. (本小题满分 14 分)

? a2 ? b2 ? 3 x2 y2 ? ? ? 1 ??4 分 1 【解】(1)依题意可得 ? 2 ? a ? 2, b ? 1 ,椭圆 C 的方程 ? 2 ?1 4 1 2 ?a 2b ?
(2)点 P在直线x ? 4 上运动, A1 (?2,0), A2 (2,0) ,

i)当P点在x轴上时,M , N分别为A1 , A2 ,若存在直线 MN 恒经过定点 Q ,则点 Q 必
在 x 轴上.????????????????6 分

ii)当P点不在x轴上时, P(4,y p ) , 则 l PA1 : y ? 设
x2 y2 ? ? 1 ……..① 4 1 y? yp 6 ( x ? 2) ……..②

yp 6

( x ? 2) , 设 M ( x1 , y1 ) , 由

9

由①② ? x1 =

18 ? 2 y 2 p 9 ? yp
2

, y1 =

6yp 9 ? yp
2

.?????????8 分

则 l PA2 : y ?

yp 2

( x ? 2) ,设 N ( x2 , y2 ) ,

x2 y2 ? ? 1 …………..③ 4 1 y? yp 2 ( x ? 2) ……. ④
由③④ ? x2 =

2y2 ? 2 p 1? yp
2

, y2 =

? 2yp 1? yp
2

.?????10 分

设 Q ( x0 ,0) , QM ? (

18 ? 2 y 2 p 9 ? yp
2

? x0 ,

6yp 9 ? yp
2

) , QN ? (

2y2 ? 2 p 1? yp
2

? x0 , ? 2yp

? 2yp 1? yp
2

)

? M , N , Q, 三点共线 ? MQ// NQ ? (
2y2 ? 2 p 1? yp
2

18 ? 2 y 2 p 9 ? yp
2

? x0 ) ?

1? yp

2

--(

6yp 9 ? yp
2

)?



? x0 )=0 ? 2yp 1? yp
2

?

18 ? 2 y 2 p 9 ? yp
3
2

?

? x0 ?

2yp 1? y p
2
2

--

6yp 9 ? yp
2

?

2y2 ? 2 p 1? yp
2

? x0 ?

6yp 9 ? yp
2

=0

? ? 8 y p ? 24y p ? x 0 (24 ? 8 y p ) y p =0 ? ( x0 ? 1) ? ( y p ? 3) ? 0
2

? x0 ? 1 ,故存在点 Q (1,0) ?????????14 分

10


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