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高一数学下学期期末测试卷


高一数学下学期期末考试试卷
命题人:童想丁 考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 考试范围:必修 2.必修 5
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 1.直线 3 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为 A.
?
6

( ) C.
2? 3

B.

?
3

D.

5? 6

2.已知直线 l1 : ( m ? 1) x ? y ? 2 ? m 和 l 2 : 4 x ? 2 my ? ? 16 ,若 l1 ∥ l 2 ,则 m 的值为( ) A.1 或 ? 2 B. ? 2
2

C. ?

2 3

D. 1 )

3. 正方体的全面积是 a ,它的外接球的表面积为(

?a
A.

2

?a
B.

2

3

2

C. 2 ? a 2
?
3

D. 3? a 2 ,a
? 3

4 在Δ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 A= A.1 B.2 C. 3 -1

, b ? 1 ,则 c ?

D.

3

5 由 1,3,5,…,2n-1,…构成数列 ?a n ? ,数列 ?b n ? 满足 b1 ? 2 , 当 n ? 2时 , b n ? a b 则 b5 等于 A.63 B.33

n ?1



C.17

D.15 ( )

6 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S6 : S3=1 : 2,则 S9 : S3= A.1 : 2 B.1 : 3 C.2 : 3 D.3 : 4 7 在 ? ABC 中, ? A ? 60 ?, b ? 1, ? ABC 的面积为 A 2
2

3 2

,则

a?b?c sin A ? sin B ? sin C

= ____

B
2

3

C 3

D 以上均不对

8. 圆 x ? 2 x ? y ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 3 2 的点共有( ) A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1个 9.已知空间两个动点 A ( m ,1 ? m , 2 ? m ) , B (1 ? m , 3 ? 2 m , 3 m ) ,则 | A B | 的最小值是( ) A.
9 17
2

B.

3 17 17

C.

3 17

D.

9 17 17
2

10.设函数

f ( x ) ? ( x ? 1) ? n , x ? [ ? 1, 3 ]( n ? N *)

的最小值为 an,最大值为 bn 设 cn=bn -anbn ,则数

列 ?c ?
n

( C、是公差不为零的等差数列



A、是常数列 B、是公比不为 1 的数列 差数列也不是等比数列

D、既不是等

二、填空题(共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.经过两圆 x ? y ? 9 和 ( x ? 4 ) ? ( y ? 3 ) ? 8 的交点的直线方程
2 2 2 2

12.已知圆 C : x 2 ? 4 x ? y 2 ? 3 ? 0 ,过点 (4, 5) 的直线被圆 C 截得的弦长为 2 3 ,则直线的 方程为 .

13.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的 体积是 .
1 2 2 1 2 2 1 l

主视图

左视图
n

俯视图

14 数列 ?a ? 满足 a
n

1

?1

,a

? a n ?1 ? n ? n ? 2 , n ? N ? ?

,则 a

n

?

15.已知两条不同直线 m 、 l ,两个不同平面 ? 、 ? ,给出下列命题: ①若 l 垂直于 ? 内的两条相交直线,则 l ⊥ ? ; ②若 l ∥ ? ,则 l 平行于 ? 内的所有直线; ③若 m ? ? , l ? ? 且 l ⊥ m ,则 ? ⊥ ? ; ④若 l ? ? , l ? ? ,则 ? ⊥ ? ; ⑤若 m ? ? , l ? ? 且 ? ∥ ? ,则 m ∥ l ; 其中正确命题的序号是 . (把你认为正确命题的序号都填上)

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算 步骤.) 16.(本小题满分 12 分) 在 ? A B C 中,A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 A、B、C 成等差数列. ? A B C 的面积 为
3 2



(1)求 ac 的值;

(2)若 b= 3 ,求 a,c 的值.

17. (本小题满分 12 分) 已知圆 C 同时满足下列三个条件:①与 y 轴相切;②在直线 y=x 上截 得弦长为 2 7 ;③圆心在直线 x-3y=0 上. 求圆 C 的方程.

18. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? A B C D 中 , P A ? 底 面 A B C D, A B ? A D, A C ? C D, A B C ? 60 ° , P A ? A B ? B C , E 是 P C 的中点. ? (Ⅰ)证明 A E ? 平面 P C D ; (Ⅱ)求二面角 A ? P D ? C 的正弦值
P

E

A
C

D

B

19.(本小题满分 12 分) 某房地产开发商投资 81 万元建一座写字楼, 第一年装修费为 1 万元, 以后每年增加 2 万元, 把写字楼出租,每年收入租金 30 万元. (Ⅰ)若扣除投资和各种装修费,则从第几年开始获取纯利润? (Ⅱ)若干年后开发商为了投资其他项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时以 46 万 元出售该楼; ②纯利润总和最大时,以 10 万元出售该楼,问哪种方案盈利更多?

20.(本小题满分 13 分) 已知各项均为正数的数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n , 且对任意正整数 n , ? a n , S n ? 都在 点 直线 2 x ? y ?
1 2 ? 0 上.

(1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)若 a n ? 2
2 ? bn

设Cn ?

bn an

求数列 ? C n ? 前 n 项和 T n .

21.(本小题满分 14 分) 已知圆 C : x ? y ? 6 x ? 8 y ? 2 1 ? 0 和直线 l : kx ? y ? 4 k ? 3 ? 0 .
2 2

⑴ ⑵

证明:不论 k 取何值,直线 l 和圆 C 总相交; 当 k 取何值时,圆 C 被直线 l 截得的弦长最短?并求最短的弦的长度.

参考答案
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分)
题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 B 5 C 6 D 7 A 8 B 9 B 10 C

二.填空题 11 4 x+3y+13=0 12、 y ? 13、2 14.
n ( n ? 1) 2
3 4 x ? 1或 x ? 4

15. ①④ 三.解答题 16.解: . B ? (1)
2

?
3

ac ? 2
2

c c o c s (2) b ?a ? ? a 2 B .
2

a ? ? , ?2 b1

或 a ? 2, b ? 1

17.解:设所求的圆 C 与 y 轴相切,又与直线交于 AB, ∵圆心 C 在直线 x ? 3 y ? 0 上,∴圆心 C(3a,a) ,又圆 与 y 轴相切,∴R=3|a|. 又圆心 C 到直线 y-x=0 的距离
| CD |? | 3a ? a | 2 ? 2 | a | . ?| AB |? 2 7 , | BD | ? 7

在 Rt△CBD 中, R 2 ? | CD | 2 ? ( 7 ) 2 ,? 9 a 2 ? 2 a 2 ? 7 .a 2 ? 1, a ? ? 1,3 a ? ? 3 . ∴圆心的坐标 C 分别为(3,1)和(-3,-1) ,故所求圆的方程为 ( x ? 3 ) 2 或 ( x ? 3) 2
? ( y ? 1)
2

? ( y ? 1) ? 9
2

? 9.

18. (1) 证明:在四棱锥 P ? A B C D 中, 因 P A ? 底面 A B C D , C D ? 平面 A B C D , 故 C D ? P A .由条件 C D ? A C , P A ? A C ? A ,
? C D ? 面 P A C .又 A E ? 面 P A C ,? A E ? C D .
? 由 P A ? A B ? B C ,∠ A B C ? 6 0 ,可得 A C ? P A .? E 是 P C 的中点,? A E ? P C ,

? P C ? C D ? C .综上得 A E ? 平面 P C D .

(2)解:过点 E 作 E M ? P D ,垂足为 M ,连结 A M .由(Ⅱ)知, A E ? 平面 P C D , A M 在平面 P C D 内的射影是 E M ,则 A M ? P D .
? 因此∠ A M E 是二面角 A ? P D ? C 的平面角.由已知,得∠ C A D ? 3 0 .设 A C ? a ,得

PA ? a , AD ?

2 3 3

a , PD ?

21 3

a , AE ?

2 2

a.

在 R t △ A D P 中,? A M ? P D ,? AM ? PD ? PA ? AD ,则
a? ? 3 2 3a 3 21 a ? 2 7 7 a .在 R t △ A E M 中, sin A M E ?
AE AM ? 14 4

AM ?

PA ? AD PD



19.解:(Ⅰ)设第 n 年获取利润为 y 万元 n 年共收入租金 30n 万元,付出装修费构成一个以 1 为首项,2 为公差的等差数列, 共n ?
n ( n ? 1) 2 ?2 ? n
2

因此利润 y ? 30 n ? ( 81 ? n ) ,令 y ? 0
2

解得: 3 ? n ? 27 所以从第 4 年开始获取纯利润.………………… 5 分 (Ⅱ)年平均利润 W ?
30 n ? ( 81 ? n )
2

? 30 ?

81 n

?n
81 n

n

? 30 ? 2 81 ? 12 (当且仅当

? n ,即 n=9 时取等号)

所以 9 年后共获利润:12 ? 9 ? 46 =154(万元) 利润 y ? 30 n ? ( 81 ? n ) ? ? ( n ? 15 ) ? 144
2 2

所以 15 年后共获利润:144+10=154(万元) 两种方案获利一样多,而方案①时间比较短,所以选择方案①.………………… 20. (1)解:由题意知 2 a n ? S n ? 2 , a n ? 0 ;当 n ? 1 时 2 a 1 ? a 1 ? 2 ? a 1 ? 2 当 n ? 2 时, S n ? 2 a n ? 整理得:
an a n ?1

1

1

1

1 2

, S n ?1 ? 2 a n ?1 ?

1 2 1 2

两式相减得 a n ? 2 a n ? 2 a n ? 1 ? n ? 2 ? 为首项,2 为公比的等比数列.

? 2 ? n ? 2 ? ? 数列 ? a n ? 是

a n ? a1 ? 2

n ?1

?

1 2

?2

n ?1

? 2

n?2

………………………………………… 5 分
Cn ? ba aa ? 4 ? 2n 2
n?2

(2) a n ? 2
2

? bn

? 2

2n?4

? bn ? 4 ? 2 n
24 ? 8n 2 2
n n ?1

?

1 6 n8 ? 2
n

Tn ? 1 2

8 2

? 8 2
2

0 2
2

? 0 2
3

?8 2
3

? ... ?

?

16 ? 8n 2n



Tn ?

?

? ... ?

24 ? 8n

?

16 ? 8n 2
n ?1



① ? ②得 T n ? 4 ? 8 ?
2

1

? 1 ?2
2

?

1 2
3

? ... ?

1 ? 16 ? 8n ? n ? n ?1 2 ? 2

1 ? 1 ? 1 ? n ?1 ? 2 ? 1 ? 16 ? 8n 4n 8n 2 ? 2 ? ? 16 ? 8n =4 ? 8? ? ? 4 ? 4 ? 1 ? n ?1 ? ? ? n ? T n ? n …12 分 n ?1 n ?1 1 2 2 2 2 2 ? ? 1? 2

21.⑴. 【证明】 方法一:圆 C 的方程可化为: ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 2 ,圆心为 C (3, 4 ) ,半径 r ? 2 .
2 2 2

直线 l 的方程可化为: y ? k ( x ? 4 ) ? 3 ,直线过定点 P ( 4, 3) ,斜率为 k . 定点 P ( 4, 3) 到圆心 C (3, 4 ) 的距离 d ?
( 4 ? 3) ? (3 ? 4 ) ?
2 2

2 ? r,

∴定点 P ( 4, 3) 在圆 C 内部,∴不论 k 取何值,直线 l 和圆 C 总相交. 方法二:圆 C 的方程可化为: ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 2 ,圆心为 C (3, 4 ) ,半径 r ? 2 .
2 2 2

圆心 C (3, 4 ) 到直线 l : kx ? y ? 4 k ? 3 ? 0 的距离 d ?

| ?k ?1| k ?1
2



d

2

?

k ? 1 ? 2k
2

k ?1
2

? 1?

2k k ?1
2

2 ,因 ? k ? 1 ? ? 2 k ? ? k ? 1 ? ≥ 0 , k ? 1≥ 2 k , 1≥

2

2

2k k ?1
2



2 故d ? 1?

2k k ?1
2

≤ 2 ? 4 ? r , d ? r ,∴不论 k 取何值,直线 l 和圆 C 总相交.
2

⑵. 圆心 C (3, 4 ) 到直线 l : kx ? y ? 4 k ? 3 ? 0 的距离 d ?

| ?k ?1| k ?1
2

C 被直线 l 截得的弦长= 2 r ? d
2

2

2k ? ? ? 2 4 ? ?1 ? 2 ?, k ?1? ?

当 k ? 0 时,弦长 ? 2 3 ;
2 k ? 1 k
1 k

当 k ? 0 时,弦长 ? 2 3 ?

,下面考虑先求函数 y ? k ?

的值域.

由函数知识可以证明:函数在 ( ? ? , 1) 上单调递增,在 ( ? 1,) 上单调递减,在 (0, 上单调 0 ? 1) 递减,在 (1, ? ) 上单调递增(证明略) , ? 故当 k ? 0 时,函数在 k ? ? 1 处取得最大值-2;当 k ? 0 时,函数在 k ? 1 处取得最小值 2.

即k ? 故0 ?

1 k

≥2 或k ?

1 k

≤?2,

1 k ? 1 k 2 k ?



1 2

或?

1 2



1 k ? 2 k ? 1 k 1 k

? 0 ,可得

? 1≤ ?

1 k

? 0 或0 ? -

≤ 1 ,即 ? 1≤ ?

2 k ? 1 k

≤1 且 ?

2 k ? 1 k

? 0,

2≤ 3 ?

2 k ? 1 k

≤4 且3 ?

2 k ? 1 k

? 3,

2 2≤ 2 3 ?

2 k ? 1 k

≤4 且2 3 ?

2 k ? 1 k

? 2 3 .

综上,当 k ? 1 时,弦长取得最小值 2 2 ;当 k ? ? 1 时,弦长取得最大值 4.


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