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上海市徐汇区2014届高三数学二模文科


上海 2014 二模速递

徐汇、松江、金山区高三年级二模试卷——数学(文科)
2014 年 4 月 (考试时间 120 分钟,满分 150 分)
一填空题:(本题满分 56 分,每小题 4 分) 1.已知集合 A ? ? x |

? ?

x?2 ? ? 0 ? , B ? ? x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, x ? R? ,则 A ? B ? ____________. x?5 ?

2.直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角的大小为____________. 3.函数 y ? cos ? 2 x ? 4.函数 y ? x ?

? ?

??

? 的单调递减区间是____________. 4?

2 ? x ? 0? 的值域为____________. x

5.设复数 z 满足 i ? z ? 1? ? ?3 ? 2i ,则 z =____________. 6.某学校高一、高二、高三共有 2400 名学生,为了调查学生的课余学习情况,拟采用分层抽样的方法抽 取一个容量为 120 的样本 . 已知高一有 820 名学生,高二有 780 名学生,则在该学校的高三应抽取 ____________名学生. 7.函数 f ? x ? ?

sin x ? cos x cos ?? ? x ? 2sin x cos x ? sin x
?1

的最小正周期 T =____________.

8.已知函数 f ( x) ? arcsin (2x ? 1) ,则 f

( ) ? ____________. 6
0

?

9.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?ACB ? 90 , AA1 ? 2, AC ? BC ? 1 ,则 异面直线 A1 B 与 AC 所成角的余弦值是____________.

?x ? y ? 5 ?2 x ? y ? 6 ? 10. 已 知 实 数 x 、 y 满 足 不 等 式 组 ? , 则 z ? 3x ? 4 y 的 最 大 值 是 x ? 0 ? ? ?y ? 0
____________.

1 ? ? ? ?4 11.若 ? 1 ? 2 ? ? n ? N , n ? 1? 的展开式中 x 的系数为 an , ? x ?
则 lim ?

n

? 1 1 1 ? ?? ? n ?? a an ? 2 a3

? ? =____________. ?

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? a11 a12 a13 ? ? ? 2, 3;j ? 1, 2, 3) ,从中任取三个数, ? a21 a22 a23 ? 12.如图,三行三列的方阵中有 9 个数 aij (i ? 1, ?a ? ? 31 a32 a33 ?
则这三个数位于不同行不同列的概率是____________. (结果用分数表示) 13.对于集合 A ? {a1 , a2 , ???, a10 } ,定义集合 S ? {x x ? ai ? a j ,1 ? i ? j ? 10} ,记集合 S 中的元素个数为

S ( A) .若 a1 , a2 , ???, a10 是公差大于零的等差数列,则 S ( A) =____________.
14.如图所示,在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中,动圆 Q 的半径为 1,圆心 在 线 段 CD ( 含 端 点 ) 上 运 动 , P 是 圆 Q 上 及 内 部 的 动 点 , 设 向 量

??? ? ??? ? ??? ? AP ? mAB ? n AF (m, n 为实数) ,则 m ? n 的最大值为____________.
二.选择题: (本题满分 20 分,每小题 5 分) 15.命题 p : a ? 1 ;命题 q :关于 x 的实系数方程 x ? 2 2 x ? a ? 0 有虚数解,则 p 是 q 的 ( )
2

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 )

16.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,给出下列命题,其中正确的是-----------( ① ? // ? ? l ? m ③ l // m ? ? ? ? A.②④ B. ②③④ ② ? ? ? ? l // m ④ l ? m ? ? // ? C. ①③ D. ①②③

17.在 ?ABC 中,角 A 、 b、 c ,且 ?A ? 2?B ,则 B、 C 的对边分别是 a 、 A.

sin B 等于----( sin 3B



a c

B.

c b
2

C.

b a

D.

b c

18.函数 y ? 1 ? ( x ? 2) 图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能 成为公比的数 ... 是------------------------------------------------------------------------------------------------( A. )

3 2

B.

1 2

C.

3 3

D. 3

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三. 解答题: (本大题共 5 题,满分 74 分) 19. (本题满分 12 分) 如图所示,给出的是某几何体的三视图,其中正视图与侧视图都是边长为 2 的正三角形,俯视图为半径 等于 1 的圆.试求这个几何体的体积与侧面积.

正视图

侧视图

·

俯视图 20. (本题满分 14 分) 如图所示,某旅游景点有一座风景秀丽的山峰,山上有一条笔直的山路 BC 和一条索道 AC,小王和小李 打算不坐索道,而是花 2 个小时的时间进行徒步攀登.已知 ?ABC ? 120 , ?ADC ? 150 , BD ? 1(千
0 0

米) , AC ? 3(千米) .假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时 1200 米,请问:两位登山爱好者能否在 2 个小时内徒步登上山峰. (即从 B 点出发到达 C 点) C

D A B

21. (本题满分 14 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 已知椭圆 x ? 2 y ? a (a ? 0) 的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为 4.
2 2 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,若点 M ?

???? ???? ? 11 ? , 0 ? ,求证 MA ? MB 为定值. ?4 ?

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22. (本题满分 16 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 8 分) 定 义 : 对 于 函 数 f ? x ? , 若 存 在 非 零 常 数 M ,T , 使 函 数 f ? x ? 对 于 定 义 域 内 的 任 意 实 数 x , 都 有

f ? x ? T? ? f ? x ? ? M,则称函数 f ? x ? 是广义周期函数,其中称 T 为函数 f ? x ? 的广义周期, M 称为周
距. (1) 证明函数 f ? x ? ? x ? ? ?1?
x

? x ? Z ? 是以 2 为广义周期的广义周期函数,并求出它的相应周距 M 的值;

(2)试判断函数 f ? x ? ? kx ? b ? A sin ?? x ? ? ? ( k、A、?、? 为常数, k ? 0, A ? 0, ? ? 0 )是否为广 义周期函数,若是,请求出它的一个广义周期 T 和周距 M ,若不是,请说明理由; (3)设函数 y ? g ? x ? 是周期 T ? 2 的周期函数,当函数 f ? x ? ? ?2 x ? g ? x ? 在 ?1, 3? 上的值域为 ? ?3,3? 时, 求 f ? x ? 在 ? ?9,9? 上的最大值和最小值.

23. (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题5分,第(3)小题 9 分) 一个三角形数表按如下方式构成(如图:其中项数 n ? 5 ) :第一行是以 4 为首项,4 为公差的等差数列,从 第二行起,每一个数是其肩上两个数的和,例如: f ? 2,1? ? f ?1,1? ? f ?1, 2 ? ; f ? i, j ? 为数表中第 i 行的 第 j 个数. (1) 求第 2 行和第 3 行的通项公式 f ? 2, j ? 和 f ? 3, j ? ; (2) 证明:数表中除最后 2 行以外每一行的数都依次成等差数列; (3) 求 f ? i,1? 关于 i ( i ? 1, 2,?, n )的表达式.

f ?1,1?

f ?1, 2 ? ? f ?1, n ? 1? f ? 3,1? ? f ? 3, n ? 2 ? ?? f ? n,1?

f ?1, n ?

f ? 2,1?

f ? 2, 2 ? ? f ? 2, n ? 1?

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参考答案及评分标准
一. 填空题:(本题满分 56 分,每小题 4 分) 1. ? ?5, ?1? 2.

2014.4

5? 6

3. ? k? ?

? ?

?
8

, k? ?

3? ? ?k ? Z ? 8 ? ?

4. ? 2 2, ??

?

?

5. 1 ? 3i 10.20

6.40 11.2

7. ? 12.

8. ?

1 4

9.

6 6

1 14

13.17

14.5

二.选择题: (本题满分 20 分,每小题 5 分) 15.B 16.C 17.D 18.B

四. 解答题: (本大题共 5 题,满分 74 分) 19. (本题满分 12 分) 解:根据几何体的三视图知, 原几何体是以半径为 1 的圆为底面且高为 3 的圆锥. 由于该圆锥的母线长为 2,---------------(4 分) 则它的侧面积 S侧 ? ? rl ? 2? ,-----------(8 分)

1 3 体积 V ? ? r 2 h ? ? .------------------------(12 分) 3 3

20. (本题满分 14 分) 解:由 ?ADC ? 150 知 ?ADB ? 30 ,
0 0 0 0

解:由 ?ADC ? 150 知 ?ADB ? 30 , 由正弦定理得

1 AD ,所以, AD ? 3 .---------------------------------------(4 分) ? 0 sin 30 sin1200
2 2 2 0

在 ?ADC 中,由余弦定理得: AC ? AD ? DC ? 2 AD ? DC cos150 , 即 32 ?

? 3?

2

? DC 2 ? 2 ? 3 ? DC cos1500 ,即 DC 2 ? 3 ? DC ? 6 ? 0 ,

解得 DC ?

?3 ? 33 ? 1.372 (千米) , -----------------------------------------------(10 分) 2

? BC ? 2.372 (千米) ,--------------------------------------------------------------------(12 分)
由于 2.372 ? 2.4 ,所以两位登山爱好者能够在 2 个小时内徒步登上山峰.---(14 分) 21. (本题满分 14 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 解: (1)设椭圆的短半轴为 b ,半焦距为 c ,

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则b ?
2

a2 a2 a2 2 2 ,由 c 2 ? a 2 ? b2 得 c ? a ? , ? 2 2 2
解得 a ? 8, b ? 4 ,
2 2



1 ? b ? 2c ? 4 2

则椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 . --------------------------------------------(6 分) 8 4


(2)由 ?

? y ? k ( x ? 1)
2 2 ?x ? 2 y ? 8

(2k 2 ? 1) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 8 ? 0, ----------------------------------------------------------------(8 分)
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 由韦达定理得:

x1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 8 , x x ? , 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

???? ???? 11 11 ? MA ? MB ? ( x1 ? , y1 ) ? ( x2 ? , y2 ) 4 4 11 121 2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ? k ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 4 16 11 121 = (k 2 ? 1) x1 x2 ? ( ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? k 2 ? 4 16
= (k ? 1)
2

2k 2 ? 8 11 4k 2 121 2 ? ( ? k ) ? k2 ? 2 2 4 16 2k ? 1 2k ? 1

? 16 k 2 ? 8 121 7 ? ?? , 2 16 16 2k ? 1 ???? ???? 7 所以 MA ? MB 为定值 ? . ------------------------------------------(14 分) 16
=

22. (本题满分 16 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 8 分) 解: (1)? f ? x ? ? x ? ? ?1?
x

?x?Z ?,
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? f ? x ? 2? ? f ? x ? ? ?? x ? 2? ? ? ?1? ?
所以函数 f ? x ? ? x ? ? ?1?
x

x?2

? ? ? x ? ? ?1? x ? ? 2 (非零常数) ? ? ?

? x ? Z ? 是广义周期函数,它的周距为 2;-----(4 分)

(2)函数 f ? x ? ? kx ? b ? A sin ?? x ? ? ? ( k、A、?、? 为常数, k ? 0, A ? 0, ? ? 0 ) 是广义周期函数, 且 T ?

2?

?

,M ?

2k?

?

.证明如下:? f ? x ?

? ?

2? ? ? f ? x? ? ? ?

2? ? ?k?x? ? ?

? ? 2? ? ? ? b ? A sin ?? ? x ? ? ? ? ?

? 2 k? ? ? ??? ? ? ? kx ? b ? A sin ?? x ? ? ? ? ?? ? ? ?

(非零常数). -------------------------------------------------------------------------------------( 8 分) (3)? f ? x ? 2 ? ? f ? x ? ? ?2 ? x ? 2 ? ? g ? x ? 2 ? ? 2 x ? g ? x ? ? ?4 , 所以 f ? x ? 是广义周期函数,且 T ? 2, M ? ?4 . ------------------------------------------(10 分) 设 x1 , x2 ? ?1,3? 满足 f ? x1 ? ? ?3, f ? x2 ? ? 3 , 由 f ? x ? 2 ? ? f ? x ? ? 4 得:

f ? x1 ? 6 ? ? f ? x1 ? 4 ? ? 4 ? f ? x1 ? 2 ? ? 4 ? 4 ? f ? x1 ? ? 4 ? 4 ? 4 ? ?3 ? 12 ? ?15 ,
又 ? f ? x ? 2 ? ? f ? x ? ? 4 ? f ? x ? 知 道 f ? x ? 在 区 间 ? ?9 , 9 ? 上 的 最 小 值 是 x 在 ? 7, 9? 上 获 得 的 , 而

x1 ? 6 ? ? 7,9? ,所以 f ? x ? 在 ? ?9,9? 上的最小值为 ?15 .--------------------( 13 分)
由 f ? x ? 2 ? ? f ? x ? ? 4 得 f ? x ? 2 ? ? f ? x ? ? 4 得:

f ? x2 ? 10 ? ? f ? x2 ? 8? ? 4 ? f ? x2 ? 6 ? ? 4 ? 4 ? ? ? f ? x2 ? ? 20 ? 23 ,
又 ? f ? x ? 2 ? ? f ? x ? ? 4 ? f ? x ? 知 道 f ? x ? 在 区 间 ? ?9,9? 上 的 最 大 值 是 x 在 ? ?9, ?7 ? 上 获 得 的 , 而

x2 ? 10 ? ? ?9, ?7 ? ,所以 f ? x ? 在 ? ?9,9? 上的最大值为 23.-----------(16 分)

23. (本题满分 18 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 9 分) 解: (1) f ? 2, j ? ? f ?1, j ? ? f ?1, j ? 1? ? 2 f ?1, j ? ? 4 ? 8 j ? 4 ? j ? 1, 2,?, n ? 1? ,

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f ? 3, j ? ? f ? 2, j ? ? f ? 2, j ? 1? ? 2 f ? 2, j ? ? 8 ? 2 ?8 j ? 4 ? ? 8 ? 16 j ? 16 ? j ? 1, 2,?, n ? 2 ?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------(4 分) (2)由已知,第一行是等差数列, 假设第 i ?1 ? i ? n ? 3? 行是以 d i 为公差的等差数列,则由



f ? i ? 1, j ? 1? ? f ? i ? 1, j ? ? ? ? f ? i, j ? 1? ? f ? i, j ? 2 ? ? ??? ? f ? i, j ? ? f ? i, j ? 1? ? ?

? f ? i, j ? 2 ? ? f ? i, j ? ? 2di (常数)
知第 i ? 1?1 ? i ? n ? 3? 行的数也依次成等差数列,且其公差为 2di . 综上可得,数表中除最后 2 行以外每一行都成等差数列.---------------------------(9 分)
i ?1 i ?1 (3)由于 d1 ? 4, di ? 2di ?1 ? i ? 2 ? ,所以 di ? 4 ? 2 ? 2 ,---------------------(11 分)

所以 f (i,1) ? f (i ? 1,1) ? f (i ? 1, 2) ? 2 f (i ? 1,1) ? di ?1 ,
i i 由 d i ?1 ? 2 得 f ? i,1? ? 2 f (i ? 1,1) ? 2 ,----------------------------------------------(13 分)

于是

f ? i,1? 2i

?

f ? i ? 1,1? 2i ?1 ?

? 1 ,即

f ? i,1? 2i

?

f ? i ? 1,1? 2i ?1

? 1 ,----------------------------(15 分)

又因为

f ?1, 1 ? 2
1

? f ? i,1? ? 4 ? 2 ,所以,数列 ? i ? 是以 2 为首项,1 为公差的等差数列, 所以, 2 ? 2 ?

f ? i,1? 2i

? 2 ? ? i ? 1? ? i ? 1 ,所以 f ? i,1? ? ? i ? 1? ? 2i ( i ? 1, 2,?, n ) .----------(18 分)

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