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上海理工大学附属中学2016届高三上学期第一次月考数学(理)试题

一.

2015 学年第一学期上理附中高三月考一数学(理科) 填空题(每题 4 分,共 56 分)

1. 集合 A= ? x 1 ? x ? 3? ,B= ? x x ? a? ,若 A ? B =A,则 a 的取值范围为_________ 2. 所有棱长都相等的正三棱锥的侧棱和底面所成角的大小为_______________ 3. kx 2 ? kx ? 2 ? 0 恒成立,则 k 的取值范围是 __________ ________ .
4.已知函数 f ( x) ? log2 ( x2 ? 1)( x ? 0) , 则f ?1 (2) ? ___________ 。

1 1 2 1 ? ? 5.设 a ? ??2, ? , ? , ? , ,1, 2, 3? ,已知幂函数 y ? x a 为偶函数,且在 ?0,??? 上 2 3 3 2 ? ?

递减,则 a 的所有可能取值为____________. 6.函数 f ? x ? ? a x ?a ? 0, a ? 1? 在区间 ?1, 2? 上最大值比最小值大 7. 不等式
x ?1 ? 1 的解集为______________ 3x ? 2

a ,则 a 的值为__ 2

2 ? ?x ? 4x ? 3 ? 0 8. 已知不等式组 ? 2 的解集是关于 x 的不等式 2 x 2 ? ax ? 9 ? 0 解集的一 ? ?x ? 6x ? 8 ? 0

个子集,则实数 a 的取值范围为______________. 9. 方程 | lg x | ? x ? 3 ? 0 实数解的个数________________ 10. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 为___________. 11.设 f ? x ? 是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,已知 x ? (0,1) , f ? x ? ? log 1 ?1 ? x ? ,
2

4? ,半径为 6 cm 的扇形,则此圆锥的体积 3

则函数 f ? x ? 在 (1, 2) 上的解析式是____________ 12. 如图,在半径为 3 的球面上有 A、B、C 三点, ?ABC ? 90? ,
3 2 BA ? BC ,球心 O 到平面 ABC 的距离是 ,则 B、C 两点的 2
A B

· O
C

球面距离是

.
2

13. 已知 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? log1 x ,则不等式
f ( x) ? 2 的解集是____________.

? x ?1 ? 14. 试用列举法表示集合 M ? ? x x ? R, x ? ?1且 2 ? Z ? __________________ x ? 3x ? 3 ? ?
二.选择题(每题 4 分,共 16 分)

15. 对于定义在 R 上的函数 f ( x) ,“ f (0) ? 0 ” 是 “函数 f ( x) 是奇函数” 的 ( (A)仅充分条件(B)仅必要条件(C)充要条件(D)非充分非必要条件



16.从空间一点出发的三条射线 PA, PB, PC 均成 60? 角, 则二面角 B ? PA ? C 的大 小为 ? (A) 3 ( (B) )

?
2

(C) arcsin

1 3

(D) arccos

1 3

? 1 ( x ? 1) ? 17.设定义域为 R 的函数 f ( x) ? ?| x ? 1 | ,若关于 x 的方程 ? ? 1( x ? 1)
f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 5 个不同的实数解,则 b ? c 值为
(A) 0 (B) 1 (C) ?1 ( )

(D)不能确定

18.某同学在研究函数 f ( x) ?

x ( x ? R) 时,分别给出下面几个结论: 1? x

①等式 f (? x) ? f ( x) ? 0 在 x ? R 时恒成立;②函数 f ( x) 的值域为 (-1,1); ③若 x1 ? x2 ,则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;④函数 g ( x) ? f ( x) ? x 在 R 上有三个零点. 其中正确结论的个数为 (A).1 个 (B).2 个 (C).3 个 (D).4 个 三 .解答题(10 分+12 分+12 分+12 分+16 分+16 分,共 78 分) 19.已知 a, b ? R , 求证: a 2 ? ab ? b2 ? 0 ( )

20. 设 A= ? x ?1 ? x ? a? , ( a ? ?1), B ? ? y y ? x ? 1, x ? A? . C ? y y ? x 2 , x ? A , 若 B=C,求 a 的值

?

?

21. 如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面边长为 2,异面直线 A1B 与 B1C1 所成

角的大小为 arccos

5 . 10

(1)求侧棱 AA1 的长。 (2)求 A1B 与平面 A1 ACC1 所成角的大小(结果用反三角函数表示) 。

22.某单位用铁丝制作如图所示框架,框架的下部是边长分别为 x 、 y (单位:米) 的矩形,上部是一个半圆形,要求框架所围成的总面积为 8m 2 (1)将 y 表示成 x 的函数,并求定义域; (2)问 x 、 y 分别为多少时用料最省?(精确到 0.001m ).

y

x

23.设 f ( x) ? log 1

1 ? ax 为奇函数, a 为常数。 2 x ?1

(1)求 a 的值; (2)判断 f ( x) 在区间(1,+∞)内的单调性,并证明你的结论; 1 (3)若对于区间[3,4]上的每一个 x 的值,不等式 f ( x) > ( ) x ? m 恒成立,求实数 m 2 的取值范围。

24. 对于函数 f ? x ? ?x ? D? ,若同时满足以下条件:○ 1 f ? x ? 在 D 内单调递增或单调递减○ 2 存在区间 ?a, b? ? D ,使 f ? x ? 在 ?a, b? 上值域是 ?a, b? ,那么我们把函数 f ? x ? ?x ? D? 叫做闭 函数。 (1)求闭函数 y ? ? x 3 符合条件○ 2 的区间 ?a, b? (2)判断函数 y ? 2 x ? lg x 是不是闭函数?若是,说明理由,并找出区间 ?a, b? ,若不是, 说明理由 . (3)若 y ? k ?

x ? 2 是闭函数,求实数 k 取值范围.