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人教版高中数学选修1-2 复数代数形式的四则运算 课件4


复数的四则运算

一、复数的加、减法
1、加法: 设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R)

则Z1+Z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+di) 两个复数的和依然是一个复数,它的实部是原来的两个 复数实部的和,它的虚部是原来的两个复数虚部的和 交换律: 结合律: Z1+Z2=Z2+Z1

(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)

2、减法: 1=a+bi(a,b∈R) 设Z

Z2=c+di(c,d∈R)

则Z1-Z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-di) 两个复数的差依然是一个复数,它的实部是原来的两个 复数实部的差,它的虚部是原来的两个复数虚部的差

例1、计算(1) (1+3i)+(-4+2i) (2) (5-6i)+(-2-I)-(3+4i)

(3) 已知(3-ai)-(b+4i)=2a-bi,
求实数a、b的值。

说明: 称以下式子所表示的数为复数的模 (绝对值)

| z |?| a ? bi |? r ? a ? b
2

2

二、共轭复数:
定义: 实部相等而虚部互为相反数的两个复数,叫做 互为共轭复数,也称这两个复数互相共轭。

复数Z的共轭复数用 来表示 Z 即Z ? a ? bi 时, Z ? a ? bi
说明:

1? | Z |?| Z |

?Z ? ? Z
Z1 ? Z2 ? Z1 ? Z2

2 ? Z1 ? Z2 ? Z1 ? Z2

例2、(1)若Z1 ? ?3 ? i , Z 2 ? 4i ? 1, Z1 ? Z ? Z 2 , 求Z ( 2)设f ( Z ) ? Z, Z1 ? 3 ? 4i , Z 2 ? i ? 2, 则求f ( Z1 ? Z 2 ) ( 3)已知Z ? C, 且2Z ? 3Z1 ? 1 ? 3i , 求复数Z.

例3、下列命题中正确的是 (1)如果Z1 ? Z 2是实数,则Z1、Z 2互为共轭复数 ( 2)纯虚数Z的共轭复数是? Z。 ( 3)两个纯虚数的差还是纯 虚数 (4)两个虚数的差还是虚数 。

例4、下列命题中的真命题 为: ( A )若Z1 ? Z 2 ? 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 (B )若Z1 ? Z 2 ? 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 (C)若Z1 ? Z 2 ? 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 ( D)若Z1 ? Z 2 ? 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。

三、复数的乘法
已知两个复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 z1·2=(ac-bd)+(bc+ad)i z

复数的乘法满足交换律, 结合律以及 分配律, 即有 : z1 z 2 ? z 2 z1 (z1 z 2 ) z 3 ? z1 (z 2 z 3 ) z1 (z 2 ? z 3 ) ? z1 z 2 ? z1 z 3

例1、 计算:
? (1)

(2-3i)(4+2i) ? (2) (1+2i)(3+4i)(-2+i) ? (3) (a+bi)(a-bi)
z z ?| z |2 ?| z |2 特别地 ,当 | z |? 1 时, z z ? 1

例2 、 计算:(1+2i)2
例3、 n ? N 时 , 计算i ? (?i ) 当
* n n

所有可能的取值.
练习:
(A) 1

1+i1+i2+i3+…+i 2004的值为( A )
(B) -1 (C) 0 (D) i

a ? bi 记做 (a ? bi ) ? (c ? di )或 . c ? di

四、复数的除法 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,

a ? bi (a ? bi)(c ? di) (a ? bi) ? (c ? di) ? ? c ? di (c ? di)(c ? di) ac ? bd ? (bc ? ad )i ac ? bd bc ? ad ? ? 2 ? 2 i 2 2 2 2 c ?d c ?d c ?d

(a ? bi ) ? (c ? di ) ? a ? bi ac ? bd bc ? ad ? 2 ? 2 i 2 2 c ? di c ? d c ?d

例1、计算
1? i (1) 1? i
2 2

13 ? 9i (2) 2 (2 ? i )

(1 ? 2i ) (2 ? i ) ?2 3 ?i 2 1000 (3) ? ? ?( ) 1? i 1? i 1? i 1 ? 2 3i




1 4 4 4? 1 4

1. 注意 : (i ) ? (i ) 2. 常用的结果 : i ?i
n n n ?1

因为在复数集中未定义分数指数幂 ?i
n?2

?i
n ?3

n?3

?

i ?i

n ?1

?i

n?2

?i

?

(1 ? i ) 2 ?

1? i i 1 ? i -i 3? ? ____; ? ____; 1? i 1? i 1 ? i 2007 ( ) ? ______ . 1? i


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