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2015年高考数学试题分类汇编及答案解析-专题14-立体几何


专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何
1.(15 北京理科)设 ? , ? 是两个不同的平面, m 是直线且 m? ? .“ m ∥ ? ”是“ ? ∥ ? ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】B 【解析】 试题分析:因为 ? , ? 是两个不同的平面,m 是直线且 m? ? .若“ m ∥ ? ”,则平面 ? 、? 可能相交也可能平行, 不能推出 ? //? ,反过来若 ? //? , m B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? ? ,则有 m ∥ ? ,则“ m ∥ ? ”是“ ? ∥ ? ”的必要而不充分条件.

考点:1.空间直线与平面的位置关系;2.充要条件. 2.(15 北京理科)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是
1 2 正(主)视图 1 1 侧(左)视图

俯视图

A. 2 ? 5 【答案】C 【解析】

B. 4 ? 5

C. 2 ? 2 5

D.5

试题分析:根据三视图恢复成三棱锥 P-ABC ,其中 PC ? 平面 ABC,取 AB 棱的中点 D,连接 CD、PD,有

PD ? AB ,CD ? AB ,底面 ABC 为等腰三角形底边 AB 上的高 CD 为 2,AD=BD=1,PC=1,

1

PD ?

5,S ?ABC ?

1 1 ? 2 ? 2 ? 2,, S ?PAB ? ? 2 ? 5 ? 2 2

5 , AC ? BC ?

5,

S ?PAC ? S ?PBC ?

1 5 ? 5 ?1? ,三棱锥表面积 S 表 ? 2 5 ? 2 . 2 2

考点:1.三视图;2.三棱锥的表面积.
BC ? 4 , EF ∥ BC , 3. (15 北京理科) 如图, 在四棱锥 A ? EFCB 中, 平面 AEF ? 平面 EFCB , △AEF 为等边三角形, EF ? 2a , ?EBC ? ?FCB ? 60? , O 为 EF 的中点.

(Ⅰ) 求证: AO ? BE ; (Ⅱ) 求二面角 F ? AE ? B 的余弦值; (Ⅲ) 若 BE ? 平面 AOC ,求 a 的值.

A

F

C

O E B

【答案】(1)证明见解析, (2) ? 【解析】

4 5 , (3) a ? 3 5

试题分析:证明线线垂直可寻求线面垂直,利用题目提供的面面垂直平面 AEF ? 平面 EFCB ,借助性质定理证明

AO ? 平面 EFCB,进而得出线线垂直,第二步建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,平面 AEF 的法向量易
得,只需求平面 AEB 的法向量,设平面 AEB 的法向量,利用线线垂直,数量积为零,列方程求出法向量,再根据 二面角公式求出法向量的余弦值; 第三步由于 AO ? BE , 要想 BE ? 平面 AOC , 只需 BE ? OC , 利用向量 BE、 OC 的坐标,借助数量积为零,求出 a 的值,根据实际问题予以取舍. 试题解析:(Ⅰ)由于平面 AEF ? 平面 EFCB , △AEF 为等边三角形, O 为 EF 的中点,则 AO ? EF ,根据面面 垂直性质定理,所以 AO ? 平面 EFCB,又 BE ? 平面 EFCB ,则 AO ? BE . (Ⅱ)取 CB 的中点 D, 连接 OD,以 O 为原点, 分别以 OE、OD、OA 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系, A(0,0 3a),

??? ???

E(a,0,0),B(2,2 3 ? 3a,0),AE ? (a,0,? 3a), EB ? (2 ? a,2 3 ? 3a,0),由于平面 AEF 与 y 轴 ?? ? ?? ? 垂直,则设平面 AEF 的法向量为 n1 ? (0,1,0),设平面 AEB 的法向量 n2 ? (x ,y ,1), ?? ? ??? ?? ? ??? ?? ? n2 ? AE ,ax - 3a ? 0,x ? 3 , n2 ? EB ,(2 ? a)x ? (2 3 ? 3a)y ? 0,y ? ?1 ,则 n2 ?
2

???

???

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? n1 ? n2 ?1 5 ,由二面角 F ? AE ? B 为钝 ? ? ( 3,?1,1),二面角 F ? AE ? B 的余弦值 cos?n1 ,n2 ? ? ?? ? ?? ? ? 5 5 n1 ? n2
二面角,所以二面角 F ? AE ? B 的余弦值为 ?

5 . 5

(Ⅲ)有(1)知 AO ? 平面 EFCB,则 AO ? BE ,若 BE ? 平面 AOC ,只需 BE ? OC ,

EB ? (2 ? a,2 3 ? 3a,0),又 OC ? (?2,2 3 ? 3a,0),
2 BE ? OC ? ?2 (2 ? a) ? (2 3 ? 3a) ? 0 ,解得

???

???

??? ???

a ? 2 或a ?

4 4 ,由于 a ? 2 ,则 a ? . 3 3

考点:1.线线垂直的证明;2.利用法向量求二面角;3.利用数量积解决垂直问题.

4.(15 北京文科)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 2



【答案】C 【解析】 试题分析:四棱锥的直观图如图所示:

由三视图可知, SC ? 平面 ABCD,SA 是四棱锥最长的棱, SA ?
3

SC 2 ? AC 2 ? SC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 3 .

考点:三视图. 5. ( 15 北京文科)如图,在三棱锥 V ? ??C 中,平面 V?? ? 平面 ??C , ?V?? 为等边三角形, ?C ? ?C 且

?C ? ?C ? 2 , ? , ? 分别为 ?? , V? 的中点.
(Ⅰ)求证: V? // 平面 ??C ; (Ⅱ)求证:平面 ??C ? 平面 V?? ; (Ⅲ)求三棱锥 V ? ??C 的体积.

【答案】 (1)证明详见解析; (2)证明详见解析; (3) 【解析】

3 . 3

试题分析:本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式等基 础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、转化能力、计算能力.第一问,在三 角形 ABV 中,利用中位线的性质得 OM / /VB ,最后直接利用线面平行的判定得到结论;第二问,先在三角形 ABC 中得到 OC ? AB ,再利用面面垂直的性质得 OC ? 平面 VAB,最后利用面面垂直的判定得出结论;第三问,将三棱 锥进行等体积转化,利用 VC ?VAB ? VV ? ABC ,先求出三角形 VAB 的面积,由于 OC ? 平面 VAB,所以 OC 为锥体的高, 利用锥体的体积公式计算出体积即可. 试题解析: (Ⅰ)因为 O, M 分别为 AB,VA 的中点, 所以 OM / /VB . 又因为 VB ? 平面 MOC, 所以 VB / / 平面 MOC. (Ⅱ)因为 AC ? BC , O 为 AB 的中点, 所以 OC ? AB . 又因为平面 VAB ? 平面 ABC,且 OC ? 平面 ABC, 所以 OC ? 平面 VAB. 所以平面 MOC ? 平面 VAB. (Ⅲ)在等腰直角三角形 ACB 中, AC ? BC ? 所以 AB ? 2, OC ? 1 .
4

2,

所以等边三角形 VAB 的面积 S ?VAB ? 3 . 又因为 OC ? 平面 VAB, 所以三棱锥 C-VAB 的体积等于 ? OC ? S ?VAB ?

1 3

3 . 3

又因为三棱锥 V-ABC 的体积与三棱锥 C-VAB 的体积相等, 所以三棱锥 V-ABC 的体积为

3 . 3

考点:线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式. 6.(15 年广东理科)若空间中 n 个不同的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值 A.大于 5 【答案】 C . B. 等于 5 C. 至多等于 4 D. 至多等于 3

【考点定 位】本题考查空间想象能力、推理能力,属于中高档题. 7.(15 年广东理科)如图 2,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直, PD = PC = 4 , AB = 6 ,
BC = 3 .点 E 是 CD 边的中点,点 F 、 G 分别在线段 AB 、 BC 上,且 AF = 2FB , CG = 2GB .
H

D

E

C G

A

图2

F

B

(1)证明: PE ? FG ; (2)求二面角 P - AD - C 的正切值; (3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值. 【答案】 (1)见解析; (2)

7 9 5 ; (3) . 3 25

【解析】 (1)证明:∵ PD ? PC 且点 E 为 CD 的中点, ∴ PE ? DC ,又平面 PDC ? 平面 ABCD ,且平面 PDC ? 平面 ABCD ? CD , P PE ? 平面 PDC , ∴ PE ? 平面 ABCD ,又 FG ? 平面 ABCD , ∴ PE ? FG ; D E C G

(2)∵ ABCD 是矩形,

A B F ∴ AD ? DC ,又平面 PDC ? 平面 ABCD ,且平面 PDC ? 平面 ABCD ? CD , AD ? 平面 ABCD ,
5

∴ AD ? 平面 PCD ,又 CD 、 PD ? 平面 PDC , ∴ AD ? DC , AD ? PD , ∴ ? PDC 即为二面角 P ? AD ? C 的平面角, 在 Rt ?PDE 中, PD ? 4 , DE ? ∴ tan ?PDC ?

1 AB ? 3 , PE ? PD2 ? DE 2 ? 7 , 2

PE 7 7 ? 即二面角 P ? AD ? C 的正切值为 ; DE 3 3

(3)如下图所示,连接 AC , ∵ AF ? 2FB , CG ? 2GB 即 ∴ AC / / FG , ∴ ?PAC 为直线 PA 与直线 FG 所成角或其补角, 在 ?PAC 中, PA ? PD2 ? AD2 ? 5 , AC ?

AF CG ? ? 2, FB GB

AD2 ? CD2 ? 3 5 ,
P

2 2 PA2 ? AC 2 ? PC 2 5 ? 3 5 ? 4 9 5 ? ? 由余弦定理可得 cos ?PAC ? , D 2 PA ? AC 25 2?5?3 5

?

?

2

E

C G

∴ 直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值为

B F 【考点定位】本题考查直线与直线垂直、二面角、异面直线所成角等知识,属于中档题. 8.(15 年广东文科)若直线 l1 和 l2 是异面直线, l1 在平面 ? 内, l2 在平面 ? 内, l 是平面 ? 与平面 ? 的交线,则下列 命题正确的是( ) B. l 与 l1 , l2 都相交 D. l 与 l1 , l2 都不相交

9 5 . 25

A

A. l 至少与 l1 , l2 中的一条相交 C. l 至多与 l1 , l2 中的一条相交 【答案】A

考点:空 间点、线、面的位置关系. 9.(15 年广东文科)如图 3 ,三角形 ?DC 所在的平面与长方形 ??CD 所在的平面垂直, ?D ? ?C ? 4 , ?? ? 6 , ?C ? 3 .

?1? 证明: ?C// 平面 ?D? ; ? 2 ? 证明: ?C ? ?D ; ? 3? 求点 C 到平面 ?D? 的距离.
6

【答案】 (1)证明见解析; (2)证明见解析; (3) 【解析】

3 7 . 2

试题解析: (1)因为四边形 ??CD 是长方形,所以 ?C//?D ,因为 ?C ? 平面 ?D? , ?D ? 平面 ?D? ,所以 ?C// 平面 ?D? (2) 因为四边形 ??CD 是长方形, 所以 ?C ? CD , 因为平面 ?DC ? 平面 ??CD , 平面 ?DC ? 平面 ??CD ? CD ,

?C ? 平面 ??CD ,所以 ?C ? 平面 ?DC ,因为 ?D ? 平面 ?DC ,所以 ?C ? ?D
(3)取 CD 的中点 ? ,连结 ?? 和 ?? ,因为 ?D ? ?C ,所以 ?? ? CD ,在 Rt???D 中, ?? ?

?D 2 ? D? 2

? 42 ? 32 ? 7 ,因为平面 ?DC ? 平面 ??CD ,平面 ?DC ? 平面 ??CD ? CD ,?? ? 平面 ?DC ,所以 ?? ? 平
面 ??CD ,由(2)知: ?C ? 平面 ?DC ,由(1)知: ?C//?D ,所以 ?D ? 平面 ?DC ,因为 ?D ? 平面 ?DC , 所以 ?D ? ?D ,设点 C 到平面 ?D? 的距离为 h ,因为 V三棱锥C ??D? ? V三棱锥???CD ,所以 S ??D? ? h ?

1 3

1 S ??CD ? ?? , 3

1 S ? ?? 2 ? 3 ? 6 ? 7 3 7 3 7 即 h ? ??CD ,所以点 C 到平面 ?D? 的距离是 ? ? 1 S ??D? 2 2 ? 3? 4 2
考点:1、线面平行;2、线线垂直;3、点到平面的距离.

E 10.(15 年安徽理科)如图所示,在多面体 A 1B 1D 1DCBA ,四边形 AA 1B 1B , ADD 1 1A 1 , ABCD 均为正方形, 为 B1 D
的中点,过 A 1 , D, E 的平面交 CD 1于 F (1)证明: EF / / B1C1 (2)求二面角 E ? A1D ? B1 余弦值.

7

9.11.(15 年安徽文科)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是(

)

(A) 1 ? 3 【答案】C

(B) 1 ? 2 2

(C) 2 ? 3

(D) 2 2

8

考点:1.几何体的三视图;2.锥体的体积公式. 12.(15 年安徽文科) 如图,三棱锥 P-ABC 中,PA ? 平面 ABC, PA ? 1, AB ? 1, AC ? 2, ?BAC ? 60 .
o

(1)求三棱锥 P-ABC 的体积; (2)证明:在线段 PC 上存在点 M,使得 AC ? BM,并求

PM 的值。 MC

【答案】 (1) 【解析】

PM 1 3 ? (2) MC 3 6

试题分析: (Ⅰ)在 ?ABC 中 ? S?ABC =

3 .又∵PA⊥面 ABC ∴PA 是三棱锥 P-ABC 的高,根据锥体的体积公式即可 2
9

求出结果;(Ⅱ)过点 B 作 BN 垂直 AC 于点 N,过 N 作 NM∥PA 交 PC 于 M,根据线面垂直的判定定理和性质定理,可知 此 M 点即为所求,根据相似三角形的性质即可求出结果. 试题解析: (Ⅰ)在 ?ABC 中, AB =1, AC ? 2, ∠ BAC ? 60
?

1 1 3 . ? S?ABC = AB ? AC ? sin ?BAC = ? 1 ? 2 ? sin 60? ? 2 2 2
又∵PA⊥面 ABC ∴PA 是三棱锥 P-ABC 的高 ∴ V三棱锥P - ABC= PA ? S?ABC ?

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1 3

1 3 3 ? 1? ? 3 2 6

(Ⅱ)过点 B 作 BN 垂直 AC 于点 N,过 N 作 NM∥PA 交 PC 于 M,则

MN ? 面ABC? ? ? AC ? 面BMN ? ? AC ? BM ? ? MN ? AC ? ? AC ? 面ABC ? MN ? BN=N ? BM ? 面BMN ?

3 PM 1 1 CM CN 3 = ? 2= ? = . 此时 M 即为所找点,在 ?ABN 中,易知 AN = ? 2 PC AC MC 3 2 4

考点:1.锥体的体积公式;2.线面垂直的判定定理及性质定理. 13.(15 年福建理科)若 l , m 是两条不同的直线, m 垂直于平面 ? ,则“ l ? m ”是“ l / /? 的 ( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 【答案】B D.既不充分也不必要条件 )

考点: 空 间直线和平面、直线和直线的位置关系. 14.(15 年福建理科)如图,在几何体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是矩形,AB ^ 平面 BEC,BE ^ EC,AB=BE=EC=2,G,F 分别是线段 BE,DC 的中点. (Ⅰ)求证: GF / / 平面 ADE ; (Ⅱ)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值.

10

A D B F C
2 . 3

G E

【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)

试题解 析:解法一: (Ⅰ)如图,取 AE 的中点 H ,连接 HG , HD ,又 G 是 BE 的中点,

1 所以GH ? AB,且GH= AB , 2 1 又 F 是 CD 中点, 所以DF= CD ,由四边形 ABCD 是矩形得, AB ? CD,AB=CD ,所以 2

GH ? DF,且GH=DF .从而四边形 HGFD 是平行四边形,所以 GF / / DH ,,又
DH 趟 平面ADE,GF 平面ADE ,所以 GF ? 平面ADE .

A D H B G E C F

A D H B G E C F Q

11

所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为

2 . 3

解法二:(Ⅰ)如图,取 AB 中点 M ,连接 MG , MF ,又 G 是 BE 的中点,可知 GM / / AE , 又 AE ? 面 ADE , GM ? 面 ADE ,所以 GM / / 平面 ADE . 在矩形 ABCD 中,由M,F分别是AB,CD的中点得 MF / / AD . 又 AD ? 面 ADE , MF ? 面 ADE ,所以 MF / / 面 ADE . 又因为 GM ? MF ? M , GM ? 面 GMF , MF ? 面 GMF , 所以面 GMF / / 平面 ADE ,因为 GF ? 面 GMF ,所以 GM / / 平面 ADE .

A M B G E
(Ⅱ)同解法一. 考点:1、直线和平面平行的判断;2、面面平行的判断和性质;3、二面角. 15.(15 年福建文科)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( A. 8 ? 2 2 B. 11 ? 2 2 C. 14 ? 2 2 D. 15 )

D F C

12

2

1

1

1

【答案】B 【解析】 试题分析:由三视图还原几何体,该几何体是底面为直角梯形,高为 2 的直四棱柱,且底面直角梯形的两底分别

2 ,直角腰长为 1 ,斜腰为 2 .底面积为 2 ? 为 1,

1 ? 3 ? 3 ,侧面积为则其表面积为 2

2+2+4+2 2=8+2 2 ,所以该几何体的表面积为 11 ? 2 2 ,故选 B.
考点:三视图和表面积. 16.(15 年福建文科)如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A, B 的点, ?? 垂直于圆 ? 所在的平面,且

?? ? ?? ? 1.

(Ⅰ)若 D 为线段 AC 的中点,求证 ?C ? 平面 ? D? ; (Ⅱ)求三棱锥 P ? ABC 体积的最大值; (Ⅲ)若 BC ? 2 ,点 E 在线段 PB 上,求 CE ? OE 的最小值.

【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 【解析】

1 2? 6 ; (Ⅲ) . 3 2

试题分析: (Ⅰ) 要证明 ?C ? 平面 ? D? , 只需证明 AC 垂直于面 ? D? 内的两条相交直线. 首先由 ?? 垂直于圆 ? 所 在的平面,可证明 ?? ? ?C ;又 ?? ? ?C , D 为 ? C 的中点,可证明 ?C ? ?D ,进而证明结论; (Ⅱ)三棱锥

P ? ABC 中,高 PO ? 1 ,要使得 P ? ABC 体积最大,则底面 ABC 面积最大,又 AB ? 2 是定值,故当 AB 边上的
高最大,此时高为半径,进而求三棱锥 P ? ABC 体积; (Ⅲ)将侧面 ? C ? 绕 ?? 旋转至平面 ? C?? ,使之与平面 ???

13

共面,此时线段 OC 的长度即为 CE ? OE 的最小值.
'

试题解析:解法一: (I)在 ??? C 中,因为 ?? ? ?C , D 为 ? C 的中点, 所以 ?C ? ?D . 又 ?? 垂直于圆 ? 所在的平面, 所以 ?? ? ?C . 因为 D? ? ?? ? ? , 所以 ?C ? 平面 ? D? . (II)因为点 C 在圆 ? 上, 所以当 C? ? ?? 时, C 到 ?? 的距离最大,且最大值为 1 . 又 ?? ? 2 ,所以 ??? C 面积的最大值为 又因为三棱锥 ? ? ?? C 的高 ?? ? 1 , 故三棱锥 ? ? ?? C 体积的最大值为 ?1?1 ?

1 ? 2 ?1 ? 1 . 2 1 . 3
?

1 3

(III)在 ???? 中, ?? ? ?? ? 1, ???? ? 90 , 所以 ?? ? 12 ? 12 ? 2 . 同理 ?C ?

2 ,所以 ?? ? ?C ? ?C .

在三棱锥 ? ? ?? C 中,将侧面 ? C ? 绕 ?? 旋转至平面 ? C?? ,使之与平面 ??? 共面,如图所示.

当 ? , ? , C? 共线时, C? ? ?? 取得最小值. 又因为 ?? ? ?? , C?? ? C?? , 所以 ?C? 垂直平分 ?? , 即 ? 为 ?? 中点. 从而 ?C? ? ?? ? ?C? ?

2 6 2? 6 ? ? , 2 2 2 2? 6 . 2

亦即 C? ? ?? 的最小值为

解法二: (I) 、 (II)同解法一. (III)在 ???? 中, ?? ? ?? ? 1, ???? ? 90 ,
?

14

所以 ???? ? 45 , ?? ? 12 ? 12 ? 2 .同理 ?C ?
?

2.

所以 ?? ? ?C ? ?C ,所以 ?C?? ? 60 .
?

在三棱锥 ? ? ?? C 中,将侧面 ? C ? 绕 ?? 旋转至平面 ? C?? ,使之与平面 ??? 共面,如图所示. 当 ? , ? , C? 共线时, C? ? ?? 取得最小值. 所以在 ??C?? 中,由余弦定理得:

?C?2 ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 ? cos ? 45? ? 60? ?

? 2 1 ? 1 ? 2? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2

2 ? 2

? 3 ? ? 2 ?

? 2? 3.
从而 ?C? ?

2? 3 ?

2? 6 . 2 2? 6 . 2

所以 C? ? ?? 的最小值为

考点:1、直线和平面垂直的判定;2、三棱锥体积. 17.(15 年新课标 1 理科) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委

米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为 一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米 堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的 米约有

A.14 斛 【答案】B 【解析】
设圆锥底面半径为 r,则

B.22 斛

C.36 斛

D.66 斛

1 16 1 1 16 320 320 ? 2? 3 r? 8 = r ? ,所以米堆的体积为 ? ? 3 ? ( ) 2 ? 5 = ,故堆放的米约为 4 3 4 3 3 9 9

÷1.62≈22,故选 B. (16)18.(15 年新课标 1 理科)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中 的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ? ,则 r=

15

(A)1(B)2(C)4(D)8

【答案】B 【解析】
由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为 r,圆柱的高为 2r,其表面 积为

1 ? 4? r 2 ? ? r ? 2r ? ? r 2 ? 2r ? 2r = 5? r 2 ? 4r 2 =16 + 20 ? ,解得 r=2,故选 B. 2

19.(15 年新课标 2 理科)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余 部分体积的比值为

(A) 【答案】D

1 8

(B)

1 7

(C)

1 6

(D)

1 5

【解析】由三视图得,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,截去四面体 A ? A1 B1 D1 ,如图所示, ,设正方体棱长为 a ,则

1 1 1 1 5 1 VA? A1B1D1 ? ? a 3 ? a 3 ,故剩余几何体体积为 a 3 ? a 3 ? a 3 ,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 . 3 2 6 6 6 5

D1

C1

A1 D

B1 C

A

B

20.(15 年新课标 2 理科) 已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体积的 最大值为 36,则球 O 的表面积为 A.36π B.64π C.144π D.256π
16

【答案】C 【解析】如图所示,当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 O ? ABC 的体积最大,设球 O 的半径为 R , 此时 VO ? ABC ? VC ? AOB ?

1 1 2 1 ? R ? R ? R 3 ? 36 ,故 R ? 6 ,则球 O 的表面积为 3 2 6

S ? 4? R 2 ? 144? ,故选 C.

C

O A B

21.(15 年新课标 2 理科)如图,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点 E,F 分别在 A1B1, D1C1 上,A1E = D1F = 4,过点 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) ; (2)求直线 AF 与平面 α 所成的角的正弦值。

17

22.(15 年新课标 2 文科)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分 体积的比值为( )

A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

【答案】D 【解析】 试题分析:截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的 选 D. 考点:三视图 23.(15 年新课标 2 文科)已知 A, B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 90? , C 为该球面上的动点.若三棱锥 O ? ABC 体 积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A. 36? 【答案】C B. 64? C. 144 ? )

1 1 ,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ,故 6 5

D. 256?

18

考点:球 与几何体的切接. 24. ( 15 年新课标 2 文科)如图 , 长方体 ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1 中 AB=16,BC=10, AA 1 ? 8 , 点 E,F 分别在 A 1B 1, D 1C1 上, A 1E ? D 1F ? 4. 过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由) ; (II)求平面 ? 把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】 (I)见试题解析(II)

9 7 或 7 9

考 点 : 1. 几何体中的截面问题;2.几何体的体积 25.(15 年陕西理科)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A. 3? B. 4? C. 2? ? 4
19

) D. 3? ? 4

【答案】D 【解析】 试题分析:由三视图知:该几何体是半个圆柱,其中底面圆的半径为 1 ,母线长为 2 ,所以该几何体的表面积是

1 ? 2? ?1? ?1 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 3? ? 4 ,故选 D. 2
考点:1、三视图;2、空间几何体的表面积. 26. (15 年陕西理科)如图 1 ,在直角梯形 ?? CD 中, ?D//?C , ???D ?

?
2

, ?? ? ?C ? 1 ,

?D ? 2 , ? 是 ?D 的中点, ? 是 ? C 与 ?? 的交点.将 ???? 沿 ?? 折起到 ??1?? 的位置,如图 2 .

(I)证明: CD ? 平面 ?1?C ; (II)若平面 ?1?? ? 平面 ? CD? ,求平面 ?1?C 与平面 ?1CD 夹角的余弦值. 【答案】 (I)证明见解析; (II)

6 . 3

试题解析: (I) 在图 1 中, 因为 AB=BC=1,AD=2,E 是 AD 的中点, ? BAD= 即在图 2 中,BE ? OA1 ,BE ? OC 从而 BE ? 平面 AOC 1 又 CD ? BE,所以 CD ? 平面 AOC . 1

? ,所以 BE ? AC 2

20

? OA1 ,BE ? OC (II)由已知,平面 A 1BE ? 平面 BCDE,又由(1)知,BE
所以 ?AOC 为二面角 A1 -BE -C 的平面角,所以 ?A1OC ? 1 如图,以 O 为原点,建立空间直角坐标系, 因为 A 1B=A 1E=BC=ED=1 , BC ? ED 所以 B(

?
2

.

2 2 2 2 ,0,0), E(,0,0), A1 (0,0, ),C(0, ,0), 2 2 2 2

???? ? ??? ? ??? ? 2 2 2 2 , , 0), A1C(0, ,) , CD = BE = (- 2,0,0) . 2 2 2 2 ?? ?? ? 设平面 A 的法向量 ,平面 的法向量 BC A CD n = ( x , y , z ) n 1 1BC 与平面 A 1 1CD 夹角为 ? , 1 1 1 1 2 = ( x2 , y2 , z2 ) ,平面 A
得 BC(-

??? ?

?? ??? ? ?? ? ?? x1 ? y1 ? 0 ? n1 ? BC ? 0 则 ? ?? ???? ,得 ? ,取 n1 = (1,1,1) , ? y1 ? z1 ? 0 ? ?n1 ? A1C ? 0 ?? ? ??? ? ?? ? ? n ? CD ?0 ? x2 ? 0 ? 2 ,得 ? ,取 n2 ? (0,1,1) , ? ???? ? ?? ? y2 ? z 2 ? 0 ? ? n2 ? A1C ? 0
从而 cos ? ?| cos? n1 , n2 ? |?

?? ?? ?

2 6 , ? 3 3? 2
6 . 3

即平面 A 1BC 与平面 A 1CD 夹角的余弦值为

考点:1、线面垂直;2、二面角;3、空间直角坐标系;4、空间向量在立体几何中的应用. 27.(15 年陕西文科)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A. 3? B. 4? C. 2? ? 4 D. 3? ? 4 )

21

【答案】 D 【解析】 试题分析:由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半, 所以该几何体的表面积为 ? ?1? 2 ?

1 ? ? ?12 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3? ? 4 ,故答案选 D 2

考点:1.空间几何体的三视图;2.空间几何体的表面积. 28.(15 年陕西文科)如图 1,在直角梯形 ABCD 中, AD // BC , ?BAD ?

?
2

, AB ? BC ?

1 AD ? a , E 是 AD 的 2

中点, O 是 OC 与 BE 的交点,将 ?ABE 沿 BE 折起到图 2 中 ?A1BE 的位置,得到四棱锥 A 1 ? BCDE . (I)证明: CD ? 平面 AOC ; 1 (II)当平面 A 1BE ? 平面 BCDE 时,四棱锥 A 1 ? BCDE 的体积为 36 2 ,求 a 的值.

【答案】(I) 证明略,详见解析;(II) a ? 6 .

(II) 由 已 知 , 平 面

A1BE ? 平面 BCDE ,且平面 A1BE ? 平面 BCDE ? BE ,又由(I)知, AO ? BE ,所 1
以 AO ? 平面 BCDE ,即 AO 1 1 是四棱锥 A 1 ? BCDE 的高,易求得平行四边形 BCDE 面积

22

1 2 3 2 3 S ? BC ? AB ? a 2 ,从而四棱锥 A1 ? BCDE 的为 V ? ? S ? A1O ? a ,由 a ? 36 2 ,得 a ? 6 . 6 3 6

(II)由已知,平面 A 1BE ? 平面 BCDE , 且平面 A 1BE ? 平面 BCDE ? BE 又由(I)知, AO ? BE ,所以 1

AO ? 平面 BCDE , 1
即 AO 1 是四棱锥 A 1 ? BCDE 的高,

? 由图 1 可知, AO 1

2 2 AB ? a ,平行四边形 BCDE 面积 S ? BC ? AB ? a 2 , 2 2

从而四棱锥 A 1 ? BCDE 的为

1 1 2 2 3 V ? ? S ? AO ? ? a2 ? a? a , 1 3 3 2 6


2 3 a ? 36 2 ,得 a ? 6 . 6

考点:1.线面垂直的判定;2.面面垂直的性质定理;3.空集几何体的体积. 29. ( 15 年天津理科)一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) ,则该几何体的体积为

m3 .

23

【答案】 ? 【解析】 试题分析:由三视图可知, 该几何体是中间为一个底面半径为 1 ,高为 2 的圆柱,两端是底面半径为 1 , 高为 1 的圆锥, 所以该几何体的体积 V ? 1 ? ? ? 2 ? 2 ?
2

8 3

1 2 8 ?1 ? ? ?1 ? ? . 3 3

考点:1.三视图;2.旋转体体积.

AB = 1 , 30.(15 年天津理科)如图,在四棱柱 ABCD - A 1B 1C1 D 1 中,侧棱 A 1 A ? 底面ABCD , AB ? AC ,

AC = AA1 = 2, AD = CD = 5 ,且点 M 和 N 分别为 B1C和D1D 的中点.
(I)求证: MN ? 平面ABCD ; (II)求二面角 D1 -AC - B1 的正弦值; (III)设 E 为棱 A1B1 上的点,若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为

1 ,求线段 A 1E 的长 3

【答案】(I)见解析; (II) 【解析】

3 10 ; (III) 10

7 ?2.

试题分析:以 A 为原点建立空间直角坐标系(I)求出直线 MN 的方向向量与平面 ABCD 的法向量,两个向量的乘积等 于 0 即可;(II)求出两个平面的法向量,可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小,再求正弦值即可;(III) 设

???? ???? ? A1E ? ? A1B1 ,代入线面角公式计算可解出 ? 的值,即可求出 A1E 的长.
试题解析:如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意可得 A(0,0,0), B(0,1,0), C(2,0,0), D(1, ?2,0) ,

24

? 1 ? A1 (0,0,2), B1 (0,1,2), C1 (2,0,2), D1 (1, ?2,2) ,又因为 M , N 分别为 B1C 和 D1D 的中点,得 M ?1, ,1? , N (1, ?2,1) . ? 2 ?

(I)证明:依题意,可得 n ? (0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量, MN ? ? 0, ? ,0 ? , 由此可得, MN ? n ? 0 ,又因为直线 MN ? 平面 ABCD ,所以 MN // 平面 ABCD (II) AD1 ? (1, ?2,2), AC ? (2,0,0) ,设 n1 ? ( x, y, z) 为平面 ACD1 的法向量,则

?

???? ?

? ?

5 2

? ?

???? ? ?

???? ?

??? ?

??

?? ???? ? ?? ? ? x ? 2 y ? 2z ? 0 ?n1 ? AD1 ? 0 ,即 ? ,不妨设 z ? 1 ,可得 n1 ? (0,1,1) , ? ? ?? ??? ?2 x ? 0 ? ?n1 ? AC ? 0 ?? ? ???? ?? ? ???? ? n ? 2 ? AB1 ? 0 设 n2 ? ( x, y, z ) 为平面 ACB1 的一个法向量,则 ? ?? ,又 AB1 ? (0,1,2) ,得 ? ??? ? ? ?n2 ? AC ? 0

?? ? ? y ? 2z ? 0 z ? 1 ,不妨设 ,可得 n ? 2 ? (0, ?2,1) ?2 x ? 0 ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 10 3 10 因此有 cos n1 , n2 ? ?? ?? ,于是 sin n1 , n2 ? , ? ?? 10 10 n1 ? n2
所以二面角 D1 ? AC ? B1 的正弦值为

3 10 . 10

(III)依题意,可设 A 1E ? ? A 1B1 ,其中 ? ? [0,1] ,则 E (0, ? ,2) ,从而 NE ? (?1, ? ? 2,1) ,又 n ? (0,0,1) 为平面

????

???? ?

??? ?

?

ABCD 的一个法向量,由已知得 ??? ? ? ??? ? ? NE ? n 1 1 cos NE , n ? ??? ? ,整理得 ? 2 ? 4? ? 3 ? 0 , ? ? ? NE ? n ( ?1)2 ? (? ? 2)2 ? 12 3
又因为 ? ? [0,1] ,解得 ? ?

7 ? 2,

所以线段 A 1E 的长为 7 ? 2 . 考点:1.直线和平面平行和垂直的判定与性质;2.二面角、直线与平面所成的角;3.空间向量的应用.
25

31.(15 年天津文科)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为

m3 .

【答案】

8π 3

【解析】 试题分析:该几何体是由两个高为 1 的圆锥与一个高为 2 圆柱组合而成,所以该几何体的体积为

1 8π 3 2 ? ? π ?1 ? π ? 2 ? (m ) . 3 3
考点:1.三视图;2.几何体的体积. 32.(15 年天津文科)如图,已知 AA1 ? 平面 ABC, BB1 ? AA1 , AB=AC=3, BC ? 2 5, AA 1 ? 7 ,, BB 1 ? 2 7, 点 E,F 分 别是 BC, AC 的中点. 1 (I)求证:EF ? 平面 A 1B 1BA ; (II)求证:平面 AEA 1 ? 平面 BCB1 . (III)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小.

【答案】 (I)见试题解析; (II)见试题解析; (III) 30 . 【解析】 试题分析: (I)要证明 EF ? 平面 A (II)要证明平面 AEA 1 且 EF ? 平面 A 1 ? 平面 1B 1BA , 只需证明 EF ? BA 1B 1BA ; (III)取 B1C 中点 N,连接 A1 N ,则 ?A1B1 N 就是直线 A1B1 与平面 BCB1 所成 BCB1 ,可证明 AE ? BC , BB1 ? AE ; 角,Rt△ A 1 B1 N ? 1 NB 1 中,由 sin ?A

?

A1 N 1 ? , 得直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角为 30? . A1B 2
26

试题解析: (I) 证明: 如图,连接 A 的中点,所以 EF ? BA1 ,又因为 EF ? 平 1B ,在△ A 1BC 中,因为 E 和 F 分别是 BC, AC 1 面A 1B 1BA , 所以 EF ? 平面 A 1B 1BA . (II) 因为 AB=AC,E 为 BC 中点,所以 AE ? BC ,因为 AA1 ? 平面 ABC, BB1 ? AA1 , 所以 BB1 ? 平面 ABC,从而 BB1 ? AE , 又 BC ? BB1 ? B ,所以 AE ? 平面 BCB1 ,又因为 AE ? 平面 AEA1 ,所以平面 AEA 1 ? 平面 BCB1 .

考点:1.空间中线面位置关系的证明;2.直线与平面所成的角 33.(15 年浙江文科)

27

34.(15 年湖南理科)某工件的三视图如图 3 所示,现将该工件通过切割,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件, 并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=

新工件的体积 ) ( 原工件的体积



A.

8 9?

B.

16 9?

C.

4( 2 ? 1)3

?

D.

12( 2 ? 1)3

?

【答案】A.

28

考点:1.圆锥的内接长方体;2.基本不等式求最值. 35.(15 年山东理科)在梯形 ABCD 中, ?ABC ?

?
2

, AD / / BC , BC ? 2 AD ? 2 AB ? 2 .将梯形 ABCD 绕 AD 所在

的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 (A)

2? 3
2

(B)

4? 3
2

(C)

解析: V ? ? ?1 ? 2 ? ? ?1 ?1 ?

1 3

5? ,答案选(C) 3
2

5? 3

(D) 2?

36.(15 年山东理科)设 f ( x) ? sin x cos x ? cos ( x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间;

?
4

)

A 2 1 1 ? 1 1 1 1 解: (Ⅰ)由 f ( x) ? sin 2 x ? [1 ? cos(2 x ? )] ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? sin 2 x ? 2 2 2 2 2 2 2
由 2 k? ?

(Ⅱ)在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 若 f ( ) ? 0, a ? 1, 求 ?ABC 面积的最大值.

?

2

? 2 x ? 2k? ?

?

2

, k ? Z 得 k? ?

?

则 f ( x ) 的递增区间为 [ k? ? 由 2 k? ?

?
4

, k? ?

?
4

4

? x ? k? ?

?

4

,k ?Z ,

], k ? Z ;

3? ? 3? , k ? Z 得 k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z , 2 2 4 4 ? 3? ], k ? Z . 则 f ( x ) 的递增区间为 [ k? ? , k? ? 4 4 A 1 1 ? (Ⅱ)在锐角 ?ABC 中, f ( ) ? sin A ? ? 0,sin A ? , A ? ,而 a ? 1, 2 2 2 6 ? 2 x ? 2 k? ?
由 余 弦 定 理 可 得 1 ? b ? c ? 2bc cos
2 2

?

?

6

? 2bc ? 3bc ? (2 ? 3)bc , 当 且 仅 当 b ? c 时 等 号 成 立 , 即

29

bc ?

1 1 1 ? 1 2? 3 , ? 2 ? 3 , S?ABC ? bc sin A ? bc sin ? bc ? 2 2 6 4 4 2? 3

故 ?ABC 面积的最大值为

2? 3 . 4

37.(15 年山东理科)如图,在三棱台 DEF ? ABC 中,

AB ? 2DE, G, H 分别为 AC , BC 的中点.
(Ⅰ)求证: BD / / 平面 FGH ; (Ⅱ)若 CF ? 平面 ABC , AB ? BC, CF ? DE, ?BAC ? 45? , 求平面 FGH 与平面 ACFD 所成角(锐角)的大小. 解: (Ⅰ)证明:连接 DG,DC,设 DC 与 GF 交于点 T. 在三棱台 DEF ? ABC 中, AB ? 2DE, 则 AC ? 2 DF , 而 G 是 AC 的中点,DF//AC,则 DF / /GC , 所以四边形 DGCF 是平行四边形,T 是 DC 的中点,DG//FC. 又在 ?BDC ,H 是 BC 的中点,则 TH//DB, 又 BD ? 平面 FGH , TH ? 平面 FGH ,故 BD / / 平面 FGH ;
? (Ⅱ)由 CF ? 平面 ABC ,可得 DG ? 平面 ABC 而 AB ? BC, ?BAC ? 45 ,

D E T

F

A

G H B

C

z D F E

则 GB ? AC ,于是 GB, GA, GC 两两垂直, 以点 G 为坐标原点, GA, GB, GC 所在的直线 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, 设 AB ? 2 ,则 DE ? CF ? 1, AC ? 2 2, AG ? 2 , x A

G H B y

B(0, 2, 0), C (? 2, 0, 0), F (? 2, 0,1), H (

2 2 ,? , 0) , 2 2

C

则平面 ACFD 的一个法向量为 n1 ? (0,1,0) ,

??

?? ? ???? ? 2 2 ?? ? ? n x2 ? y2 ? 0 ? 2 ? GH ? 0 ? 设平面 FGH 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则 ? ?? ,即 ? 2 , ? ???? 2 n ? GF ? 0 ? ? ? 2x ? z ? 0 ? 2 ? 2 2 ?? ? 取 x2 ? 1 ,则 y2 ? 1, z2 ? 2 , n2 ? (1,1, 2) ,

?? ?? ? cos ? n1 , n2 ??

1 1 ? ,故平面 FGH 与平面 ACFD 所成角(锐角)的大小为 60? . 1?1? 2 2

38.(15 年江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个。若将它们重 新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为 【答案】 7

30

【解析】

1 1 2 2 2 2 试题分析:由体积相等得: ? 4 ? ? ? 5 +? ? 2 ? 8= ? r ? ? ? 4 ? ? ? r ? 8 ? r ? 7 3 3
考点:圆柱及圆锥体积 39.(15 年江苏)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 AC ? BC , BC ? CC1 ,设 AB1 的中点为 D , (1) DE // 平面AA B1C ? BC1 ? E .求证: 1C1C ; (2) BC1 ? AB1 .
[来源:学科网]

【答案】 (1)详见解析(2)详见解析 【解析】 试题分析: (1)由三棱锥性质知侧面 BB1C1C 为平行四边形,因此点 E 为 B1C 的中点,从而由三角形中位线性质得
DE / / AC ,再由线面平行判定定理得 DE // 平面AA 1C1C (2)因为直三棱柱 ABC ? A 1 B1C1 中 BC ? CC1 ,所以侧面

BB1C1C 为正方形,因此 BC1 ? B1C ,又 AC ? BC , AC ? CC1 (可由直三棱柱推导) ,因此由线面垂直判定定理得 AC ? 平面BB1C1C ,从而 AC ? BC1 ,再由线面垂直判定定理得 BC1 ? 平面AB1C ,进而可得 BC1 ? AB1

31

考点:线面平行判定定理,线面垂直判定 定理 40.(15 年江苏)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,已知 PA ? 平面 ABCD ,且四边形 ABCD 为直角梯 形, ?ABC ? ?BAD ?

?
2

, PA ? AD ? 2, AB ? BC ? 1

(1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值; (2)点 Q 是线段 BP 上的动点,当直线 CQ 与 DP 所成角最小时,求线段 BQ 的长 P

Q A B C D

【答案】 (1)

3 2 5 (2) 3 5

32

考点:空间向量、二面角、异面直线所成角
33

专题十五 点、线、面的位置关系

1.(15 年安徽文科)直线 3x+4y=b 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 相切,则 b=( (A)-2 或 12 【答案】D 【解析】 试题分析:∵直线 3x ? 4 y ? b 与圆心为(1,1),半径为 1 的圆相切,∴ (B)2 或-12 (C)-2 或-12 (D)2 或 12

)

3? 4?b 32 ? 42

=1 ? b ? 2 或 12,

故选 D. 考点:1.直线与圆的位置关系;2.点到直线的距离公式.

34


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