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高二年级第一学期期中考试数学试卷


高二年级第一学期期中考试数学试卷
(考试时间:120 分钟 试卷分值:150 分)

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.) 1.给出以下四个命题 ①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行; ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行; ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 2 2. 直线 l 经过 A(2,1) 、B(1,m )(m∈R)两点,那么直线 l 的倾斜角的取值范围是 A. [0, ? ) B. [0,

?

3.设有不同的直线 a 、 b 和不同的平面 ? 、 ? 、 ? ,给出下列三个命题: ①若 a // ? , b // ? ,则 a // b ②若 a // ? , a // ? ,则 ? // ? ③若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? 其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3

3 ] ? [ ? ,? ) 4 4

C. [0,

?

4

]

D. [0,

?

] ? ( ,? ) 4 2

?

4. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将 正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“△”的面的方位是 A.南 B.北 C.西 D.下 5、若点(5,b)在两条平行直线 6x-8y+1=0 与 3x-4y+5=0 之间,则整数 b 的值为 A.5 B.-5 C.4 D.-4 c 6、两圆相交于两点(1,3)和(m,1) ,两圆的圆心在直线 x ? y ? ? 0 上,则 m+c 的值是 2 A. ?1 B.0 C.2 D.3 7、 已知集合 P ? {? x , y ? | y ? 2 ? x2 } , Q ? {? x , y ? | y ? ? x ? m} ,若 P∩Q≠ ? ,则实数 m 的取值范围是 A. [ ?2 2 , 2 2 ] B.[?2,2] C. [ ? 2 , 2] 8.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与 侧(左)视图分别如右图所示,则该几何体的俯视图为: D. [ ?2, 2 ]

y → → 9、设 O 为坐标原点,C 为圆(x-2)2+y2=3 的圆心,且圆上有一点 M(x,y)满足OM· CM=0,则 =( x 3 3 3 A. B. 或- C. 3 D. 3或- 3 3 3 3 2 2 10、与直线 x-y-4=0 和圆 x +y +2x-2y=0 都相切的半径最小的圆的方程是( ) 2 2 2 2 A.(x-1) +(y+1) =2 B.(x-1) +(y+1) =4 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=4
第 1 页 共 4页

)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

第 II 卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11、若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为 2 3,则 a=________. 12.若直线 l 沿 x 轴正方向平移 2 个单位,再沿 y 轴负方向平移 1 个单位,又回到原来的位置,则直线 l 的 斜率 k =_________ . 13、 已知圆 C 的圆心与点 P(-2,1)关于直线 y=x+1 对称, 直线 3x+4y-11=0 与圆 C 相交于 A、 B 两点, 且|AB|=6,则圆 C 的方程为________. 14、 利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直 观图是正方形④菱形的直观图是菱形.以上结论,正确的是 15、下面棱柱是正四棱柱的条件有 (1). 底面是正方形,有两个侧面是矩形 (2). 底面是正方形,有两个侧面垂直于底面 (3). 底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直 (4). 每个侧面都是全等矩形的四棱柱 三、解答题: (本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 16. (本小题满分 12 分)已知两直线 l1 : x ? m y ? 6 ? 0, l 2 : (m ? 2) x ? 3my ? 2m ? 0 .
2

当 m 为何值时, l1 与 l 2 (1)相交; (2)平行; (3)重合?

2 17.(本小题满分 12 分)已知圆 C: ? x ? 1? ? y ? 9 内有一点 P(2,2) ,过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点. 2

(1) 当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (2) 当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 l 的方程;

第 2 页 共 4页

18、(本小题满分 12 分)如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,M、N 分别是 AB、PC 的中点,PA=AD=a. (1)求证:MN∥平面 PAD; (2)求证:平面 PMC⊥平面 PCD.

19、(本小题满分 13 分)已知△BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD,∠ADB=60°,E、F 分别是 AC、AD 上的动点,且

AE AF ? ? ? (0 ? ? ? 1). AC AD

A

(Ⅰ)求证:不论λ 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC; (Ⅱ)当λ 为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD? (14 分)

E C B F D

第 3 页 共 4页

20、(本小题满分 13 分)已知方程 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 . (Ⅰ)若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (Ⅱ)若(Ⅰ)中的圆与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M,N 两点,且 OM ? ON,求 m 的值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程.

21、 (本小题满分 13 分)已知正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面互相垂直, M 为 AC 上一点, N 为 BF 上一点,且 AM ? FN ? x 有,设 AB ? a (1) 求证: MN // 平面CBE ; (2) 求证: MN ? AB ; (3) 当 x 为何值时, MN 取最小值?并求出这个最小值.

第 4 页 共 4页

高二年级第一学期期中考试参考答案

1 B 11、1

2 D 12、-

3 A

4 B

5 C

6 D 14、①②

7 C 15、 (3)

8 C

9 D

10 A

1 2

13、x2+(y+1)2=18

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 解:当 m ? 0 时, l1 : x ? 6 ? 0, l 2 : x ? 0 ,∴ l1 与 l 2 平行; 当 m ? 2 时, l1 : x ? 4 y ? 6 ? 0, l 2 : 3 y ? 2 ? 0 ,∴ l1 与 l 2 相交.当 m ? 0 且 m ? 2 时,

? 1 m2 ? ? ? m ? 2 3m ? m ? 3 ,故(1)当 m ? ?1 , m ? 3 且 m ? 0 时, l1 与 l 2 相交; 由? 1 6 ? ? ? m ? 2 2m ? (2)当 m ? ?1 或 m ? 0 时, l1 与 l 2 平行; (3)当 m ? 3 时, l1 与 l 2 重合。
17. (本题满分 12 分)
2 .(1)已知圆 C: ? x ? 1? ? y ? 9 的圆心为 C(1,0) ,因直线过点 P、C,所以直线 l 的斜率为 2, 2

直线 l 的方程为 y=2(x-1),即 2x-y-2=0. (2)当弦 AB 被点 P 平分时,l⊥PC, 直线 l 的方程为 y ? 2 ? ? 18.证明:如答图所示,⑴设 PD 的中点为 E,连结 AE、NE,

1 ( x ? 2) , 即 x+2y-6=0 2
P E D N C

1 1 // DC,又 ABCD 是矩形,∴DC ? // AB,∴EN ? // AB 由 N 为 PD 的中点知 EN ? 2 2

// AN,∴AMNE 是平行四边形 又 M 是 AB 的中点,∴EN ?

∴MN∥AE,而 AE ? 平面 PAD,NM ? 平面 PAD∴MN∥平面 PAD 证明:⑵∵PA=AD,∴AE⊥PD,又∵PA⊥平面 ABCD,CD ? 平面 ABCD, B A M ∴CD⊥PA,而 CD⊥AD,∴CD⊥平面 PAD∴CD⊥AE, ∵PD∩CD=D,∴AE⊥平面 PCD,∵MN∥AE,∴MN⊥平面 PCD, 又 MN ? 平面 PMC,∴平面 PMC⊥平面 PCD. 19 证明: (Ⅰ)∵AB⊥平面 BCD, ∴AB⊥CD, ∵CD⊥BC 且 AB∩BC=B, ∴CD⊥平面 ABC. 又? AE ? AF ? ? (0 ? ? ? 1), ∴不论λ 为何值,恒有 EF∥CD,∴EF⊥平面 ABC,EF ? 平面 BEF, AC AD ∴不论λ 为何值恒有平面 BEF⊥平面 ABC. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE⊥EF,又平面 BEF⊥平面 ACD,∴BE⊥平面 ACD,∴BE⊥AC. ∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,∴ BD ?

2, AB ? 2 tan60? ? 6,
7 AC 7

2 ? AC ? AB2 ? BC 2 ? 7 , 由 AB =AE·AC 得 AE ? 6 ,? ? ? AE ? 6 ,

第 5 页 共 4页

故当 ? ?

6 时,平面 BEF⊥平面 ACD. 7
D=-2,E=-4,F= m

20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 (Ⅱ) ?

D 2 ? E 2 ? 4 F =20- 4 m ? 0 , m ? 5

?x ? 2 y ? 4 ? 0
2 2

?x ? y ? 2x ? 4 y ? m ? 0 16 8?m y1 ? y 2 ? , y1 y 2 ? ∵OM ? ON 5 5

x ? 4 ? 2 y 代入得 5 y 2 ? 16y ? 8 ? m ? 0

得出: x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 (Ⅲ)设圆心为 ( a, b) a ?

∴ 5 y1 y2 ? 8( y1 ? y2 ) ? 16 ? 0

x1 ? x 2 4 y ? y1 8 ? ,b ? 1 ? 2 5 2 5 4 2 8 2 16 圆的方程 ( x ? ) ? ( y ? ) ? 5 5 5

8 5 4 5 半径 r ? 5
∴m ?

21.(本小题满分 13 分) 证明: (1) 在平面 ABC 中,作 MG // AB ,在平面 BFE 中,作 NH // EF ,连结 GH

? AM ? FN

? MC ? NB
?

?

MG MC NB ? ? AB NC EF

? MG//NH

? MNHG 为平行四边形;

? MN // GH
面 BEC? MN//面 BEC

又? GH ? 面 BEC,MN ? (2) ? AB ? BC

AB ? BE

? AB ? 面 BEC ? MN ? AB ? BE ? BC

? GH ? 面 GEC

? AB ? GH ? MN//GH

(3)? 面 ABCD ? 面 ABEF ? BE ? 面 ABCD

? BG=

x 2



BH=

2a ? x 2
x 2 ? x 2 ? 2 2ax ? 2a 2 2

? MN=GH= BG2 ? BH 2 =

= x 2 ? 2ax ? a 2 ( 0 ? a ? 2a )
2 = ( x ? 2 a) 2 ? a ? 2 a

2

2

2

当且仅当 x ?

2 a 时,等号成立 2

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