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2013-2014学年度南昌市高三第一轮复习训练题数学(4)(导数及其应用)1


2013-2014 学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题

数学(四) (导数及其应用)
命题人:赵子锋 学校:南昌一中 审题人:喻瑞明 学校:南昌一中 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. f ( x) ? x , f ?( x0 ) ? 6 ,则 x0 ?
3

B.- 2 C. ? 2 D. ?1 2 2.设点 P 是曲线 y ? x3 ? 3x ? 上的任意一点, P 点处切线倾斜角为 ? ,则角 ? 的取值范 3 围是 A. 2 A. [ 0, ) ? [
2

?

2? ,?) 3

B. [ 0, ) ? [
2

?

5? ,?) 6

C. [

2? ,?) 3

D. ( ,
2

?

5? ] 6

3.已知 e 为自然对数的底数,函数 y ? x e x 的单调递增区间是 A . ??1, ?? ?

?

B. ??, ?1? ?

?

C. ?1, ?? ?

?

D. ??,1? ?

?

4.定义域 R 的奇函数 f ( x) ,当 x ? ( ? ? , 0 ) 时 f ( x) ? xf '( x) ? 0 恒成立,若 a ? 3 f ( 3) , b ? f ( ) , c ? ?2 f ( ? 2 ) ,则 1 C. c ? a ? b D. a ? b ? c ? 2 5.将函数 y ? f ?( x) sin x 的图象向左平移 个单位,得到函数 y ? 1? 2 sin x 的图象,则 4 A. a ? c ? b B. c ? b ? a

f (x) 是 A. 2cos x B. 2 sin x C. sin x D. cos x 2 6.函数 f ( x) ? x ? bx ? a 的图象如图所示,则函数 g ( x) ? ln x ? f ?( x) 的零点所在的区间是 1 1 1 A. ( , ) B. ( ,1) C. (1,2) D. (2,3) 4 2 2 7.已知函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (1) ? 1 ,且 f (x) 的导函 1 x 1 数 f ' ( x) ? ,则 f ( x) ? ? 的解集为 D 2 2 2 A. ?x ? 1 ? x ? 1? B. ?x x ? ?1? C. ?x x ? ?1或x ? 1? D. ?x x ? 1?
8. (理)若( ( x ? 2 3 x ) 的二项展开式中有 n 个有理项,则
11

? x dx
n 0

1

= D.

A. 2
2

B. 1

C.

1 2
2

1 3

(文)函数 y ? 2 x sin x 的导数为 A. y ' ? 2 x cos x
2

B. y ' ? 2 x sin x ? 4 x cos x
2

C. y ' ? 2 x cos x ? 4 x sin x
2

D. y ' ? 2 x cos x ? 4 x sin x
2

高三数学(四)第 1 页 共 6 页

9. 定义在 R 上的可导函数 f ( x) ,且 f ( x) 图像连续,当 x ? 0 时, f '( x) ? x f ( x) ? 0 ,则函 数 g ( x) ? f ( x) ? x 的零点的个数为 A.1 B.2 10. 已知 ? , ? 是三次函数 f ( x) ?
?1

?1

C.0

D.0 或 2

b?2 的取值范围是 a ?1 1 1 A. ( ,1) B. ( ,1) 4 2
则 题号 答案 1 2 3 4

1 3 1 2 且 x ? ax ? 2bx 的两个极值点, ? ? (0,1), ? ? (1,2) , 3 2

C. (? 5 6

1 1 , ) 2 4
7 8

D. (? 9

1 1 , ) 2 2
10

二、填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上。 11.函数 f ( x) ? ln x 的图像在点 x ? 1 处的切线方程是 12. (理)曲线 y ? x 与直线 x ? 1 及 x 轴所围成的图形的面积为
3

. .

(文)若函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 满足 f ?(1) ? 2 ,则 f ?(?1) ? _______
4 2

m ( m ? R )在区间 [1, e] 上取得最小值 4,则 m ? . x 2 14.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数 f ' ( x), f ' (0) ? 0 ,且 f (x) 的值域为 [0,??) , f (1) 则 的最小值为 f ' (0) 6 5 ' 15.(理)设 f ( x) ? (1 ? x) (1 ? x) ,则函数 f ( x) 中 x 3 的系数是 . xf ?( x) ? f ( x) ( (文) 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,f (1) ? 0 , , ? 0 x ? 0) x2 2 则不等式 x f ( x) ? 0 的解集是 .
13.已知函数 f ( x) ? ln x ? 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。
16.已知函数 f ? x ? ? ax ? bx 的图像经过点 M (1, 4) ,曲线在点 M 处的切线恰好与直线
3 2

x ? 9 y ? 0 垂直。 (1)求实数 a, b 的值; (2)若函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ? 1? 上单调递增,求 m 的取值范围。

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1 17.二次函数 f ( x) 满足 f ( 0) ? f (1) ? 0 ,且最小值是 ? . 4 (1)求 f ( x) 的解析式;
(2)实数 a ? 0 ,函数 g ( x) ? xf ( x) ? ( a ? 1) x ? a x ,若 g ( x) 在区间 ( ? 3 , 2 ) 上单调递减,求实数 a 的取值范围.
2 2

ex ?1 , x ? 0. x (1)判断函数 f ( x) 在 ? 0, ?? ? 上的单调性;
18.设函数 f ( x) ? (2)证明:对任意正数 a ,存在正数 x ,使不等式 f ( x) ? 1 ? a 成立.

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1 a ( x ? 1) 2 ? ln x ,其中 a ? R . 2 ⑴若 x ? 2 是 f (x) 的极值点,求 a 的值; ⑵若 ?x ? 0 , f ( x) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围.
19.已知函数 f ( x) ? x ?

高三数学(四)第 4 页 共 6 页

20.已知 f

? x ? 是二次函数,不等式 f ? x ? ? x ? 的解析式;

? 0 的解集是 ? 0,5 ? ,且 f ? x ? 在点 1, f ?1?

?

?

处的切线与直线 6 x ? y ? 1 ? 0 平行. (1)求 f

(2)是否存在 t ? N * ,使得方程 f

? x ? ? 37 x

? 0 在区间 ? t ,t ? 1? 内有两个不等的实数

根?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由.

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21.(理)已知函数 f ( x ) ? e

? kx

1 ( x 2 ? x ? ) (k ? 0) . k
?2

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)是否存在实数 k ,使得函数 f ( x ) 的极大值等于 3e ?若存在,求出 k 的值;若不存 在,请说明理由. (文)已知函数 f ( x) ?

点,其中一个是 x ? ?c . (1)求函数 f ( x) 的另一个极值点的横坐标;

kx ? 1 ( c ? 0 且 c ? 1 , k ?R )恰有一个极大值点和一个极小值 x2 ? c

(2)求函数 f ( x) 的极大值 M 和极小值 m ,并求 M ? m ≥1 时 k 的取值范围.

高三数学(四)第 6 页 共 6 页

2013-2014 学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题

数学(四)参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 A 5 B 6 B 7 D 8 D 9 C 10 A

6.解:由于函数 f(x)=x^2-bx+a 经过点(1,0),代入得 1-b+a=0;即 b=a+1; 并且由 f(x)的图像可以知道 1>f(0)>0,即有 1>a>0; 从而有 2>b=a+1>1;f'(x)=2x-b;所以 g(x)=lnx+f'(x)=lnx+2x-b 易知 g(x)在其定义域内是单调增加的,而 g(1)=ln1+2-b=2-b>0; 所以当 x>=1 时,g(x)>0,故 D 答案不对,g(1/2)=ln(1/2)+1-b<0; 所以答案为 C 或:看图 f ?(1) ? 0, f ?( ) ? 0 ,易知选 C

1 2

9.【解析】由 f '( x) ? x f ( x) ? 0 ,得

?1

xf '( x) ? f ( x) ? 0, x

当 x ? 0 时, xf '( x) ? f ( x) ? 0 ,即 ( xf ( x)) ' ? 0 ,函数 xf ( x) 此时单调递增,

xf ( x) ? 0 ? f (0) ? 0 ;
当 x ? 0 时, xf '( x) ? f ( x) ? 0 ,即 ( xf ( x)) ' ? 0 ,函数 xf ( x) 此时单调递减,

xf ( x) ? 0 ? f (0) ? 0 。
又 g ( x) ? f ( x) ? x 函数 g ( x) ?
?1

?

xf ( x) ? 1 的零点个数等价为函数 y ? xf ( x) ? 1 的零点个数。 x

xf ( x) ? 1 , x

当 x ? 0 时, y ? xf ( x) ? 1 ? 1 ,当 x ? 0 时, y ? xf ( x) ? 1 ? 1 ,
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所以函数 y ? xf ( x) ? 1 无零点,所以函数 g ( x) ? f ( x) ? x 的零点个数为 0 个。选 C. 二.填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分 11. y ? x ? 1 ; 13. ? 3e ; 12. (理)

?1

1 ;(文)-2; 4

14.2;

15.(理)40; (文) ( ?1,0) ? (1,??) .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 16.【答案】 1)? f ( x) ? ax3 ? bx 2的图象经过点M (1,4), (

?a ? b ? 4

①式

f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx, 则f ?(1) ? 3a ? 2b
由条件 f ?(1) ? (? ) ? ?1, 即3a ? 2b ? 9 由①②式解得 a ? 1, b ? 3 (2) f ( x) ? x ? 3x , f ?( x) ? 3x ? 6 x ,
3 2 2

1 9

②式

令 f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 0得x ? 0或x ? ?2,
2

[ 经检验知函数 f ( x)在区间 m, m ? 1]上单调递增, 则[m, m ? 1] ? ?? ?,?2 ? 0,???,

? ?

? m ? 0或m ? 1 ? ?2,即m ? 0或m ? ?3为所求m 的取值范围。
17.解: (1)由二次函数 f ( x) 满足 f ( 0) ? f (1) ? 0 .设 f ( x) ? ax( x ? 1) ( a ? 0) ,

1 a 1 ?a 1 ?? . 则 f ( x) ? ax 2 ? ax ? a ( x ? ) 2 ? . f ( x) 的最小值是 ? , 又 故 解得 a ? 1 . 2 4 4 4 4 ∴ f ( x) ? x 2 ? x ;
(2) g ( x) ? xf ( x) ? ( a ? 1) x ? a x ? x ? x ? ax ? x ? a x ? x ? ax ? a x .
2 2 3 2 2 2 2 3 2 2

∴ g '( x) ? 3 x ? 2ax ? a ? ( 3 x ? a )( x ? a ) .
2 2

a a ,或 x ? ? a ,又 a ? 0 ,故 ? ? a . 3 3 a a 当 ? ? a ,即 a ? 0 时,由 g '( x) ? 0 ,得 ? a ? x ? . 3 3 a ∴ g ( x) 的减区间是 ( ? a , ) ,又 g ( x) 在区间 ( ? 3 , 2 ) 上单调递减, 3
由 g '( x) ? 0 ,得 x ?
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??a ? ?3 ?a ? 3 ? ∴ ?a ,解得 ? ,故 a ? 6 (满足 a ? 0 ) ; ?a ? 6 ?3 ? 2 ? a a 当 ? ? a ,即 a ? 0 时,由 g '( x) ? 0 ,得 ? x ? ? a . 3 3 a ∴ g ( x) 的减区间是 ( , ? a ) ,又 g ( x) 在区间 ( ? 3 , 2 ) 上单调递减, 3 ?a ?a ? ?9 ? ? ?3 ∴?3 ,解得 ? ,故 a ? ?9 (满足 a ? 0 ) . ?a ? ?2 ??a ? 2 ? 综上所述得 a ? ?9 ,或 a ? 6 .∴实数 a 的取值范围为 ( ? ? , ? 9 ] ? [ 6 , ? ? ) .
18.解: (1) f ?( x) ?

xe x ? (e x ? 1) ( x ? 1)e x ? 1 ? , x2 x2 x x x x 令 h( x) ? ( x ? 1)e ? 1 ,则 h?( x) ? e ? e ( x ? 1) ? xe , x 当 x ? 0 时, h?( x) ? xe ? 0 ,∴ h( x ) 是 ? 0, ?? ? 上的增函数,
∴ h( x) ? h(0) ? 0 , f ?( x) ? 故

h( x) 即函数 f ( x) 是 ? 0, ?? ? 上的增函数. ?0, x2

(2) f ( x) ? 1 ?

ex ?1 ex ? x ?1 ?1 ? , x x
x
x

当 x ? 0 时,令 g ( x) ? e ? x ? 1 ,则 g ?( x) ? e ? 1 ? 0 , 故 g ( x) ? g (0) ? 0 ,∴ f ( x) ? 1 ? 原不等式化为

ex ? x ?1 , x

ex ? x ?1 ? a ,即 e x ? (1 ? a) x ? 1 ? 0 , x x x 令 ? ( x) ? e ? (1 ? a) x ? 1 ,则 ? ?( x) ? e ? (1 ? a) , x 由 ? ?( x) ? 0 得: e ? 1 ? a ,解得 x ? ln(1 ? a) , 当 0 ? x ? ln(1 ? a) 时, ? ?( x) ? 0 ;当 x ? ln(1 ? a) 时, ? ?( x) ? 0 . 故当 x ? ln(1 ? a) 时, ? ( x) 取最小值 ?[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a) , 1 1 a a 令 s(a) ? ? ?? ?0. ? ln(1 ? a), a ? 0 ,则 s?(a) ? 2 (1 ? a) 1 ? a (1 ? a) 2 1? a 故 s(a) ? s(0) ? 0 ,即 ?[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a) ? 0 . 因此,存在正数 x ? ln(1 ? a) ,使原不等式成立. 或:当 0 ? x ? ln(1 ? a) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 0,ln(a ? 1)) 递减, ( ∴ ? (ln(a ? 1)) ? ? (0) ? 0 ,因此,存在正数 x ? ln(1 ? a) ,使原不等式成立. 1 / / 19.解:⑴ f ( x) ? 1 ? a ( x ? 1) ? ,因为 x ? 2 是 f (x) 的极值点,所以 f (2) ? 0 , x
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解 1 ? a (2 ? 1) ? ⑵依题意 x ?

1 1 ? 0得a ? , 2 2

1 a ( x ? 1) 2 ? ln x ? 1 , a ( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1 ? ln x) , x ? 0 2 2 时, a ( x ? 1) ? 2( x ? 1 ? ln x) 恒成立 x ?1 2 ( x ? 1 ? ln x) x ? 0 且 x ? 1 时,由 a ( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1 ? ln x) 得 a ? ( x ? 1) 2 1 设 g ( x) ? x ? 1 ? ln x , x ? 0 , g / ( x) ? 1 ? , x / / 当 0 ? x ? 1 时 g ( x) ? 0 ,当 x ? 1时 g ( x) ? 0 ,所以 ?x ? 0 , g ( x) ? g (1) ? 0 2 所以,当 x ? 0 且 x ? 1 时, ( x ? 1 ? ln x) ? 0 ,从而 a ? 0 ( x ? 1) 2 综上所述, a 的取值范围为 (?? , 0] 。
解答如下: a ?

注:第(2)问解答有问题,无穷小量除以无穷小量不一定是无穷小量。

2 2 2 ln x ( x ? 1 ? ln x) ,即 a ? ? 2 x ? 1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2 2ln x 由幂函数,对数函数的变化特点知,当 x ?? 时, ? ?0, x ? 1 ( x ? 1) 2 所以, a ? 0 ,即 a 的取值范围为 (?? , 0] . 1 1 2 2 另解: (2)依题意 x ? a ( x ? 1) ? ln x ? 1 , x ? 1 ? a ( x ? 1) ? ln x ? 0 , x ? 0 2 2 1 2 令 h( x) ? x ? 1 ? a ( x ? 1) ? ln x , x ? 0 2 1 (x ? 1 ) ?1a x ) ( ,当 a ? 0 时, h?( x) ? 0 ,得 x ? 1 h?( x)? 1 a (? ? ) ? ? x 1 x x ∴ h( x ) 在 ? 0,1? 上递减,在 ?1, ?? ? 递增, h( x) ? h(1) ? 0 ,不等式恒成立;
当 a ? 0 时,取 x ?

2 ? 1 ,则 a 2 2 a 2 2 2 h( ? 1)=( ? 1) ? 1 ? [( ? 1) ? 1]2 ? ln( ? 1) ? ? ln( ? 1) ? 0 , a a 2 a a a

不等式不成立,不合题意 综上所述, a 的取值范围为 (?? , 0] . 20.解:∵ f

? x ? 是二次函数,不等式 f ? x ? ? 0 的解集是 ? 0,5 ? , ∴可设 f ? x ? ? ax ? x ? 5 ? , a ? 0 . ∴ f ( x) ? 2ax ? 5a . ∵ 函数 f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线与直线 6 x ? y ? 1 ? 0 平行,
/

高三数学(四)第 10 页 共 6 页

∴f

/

?1?

? ?6 .
∴f

∴ 2a ? 5a ? ?6 ,解得 a ? 2 . (2)由(1)知,方程 f 设h x

? x?

? 2 x ? x ? 5 ? ? 2 x 2 ? 10 x .

? ?
?

? 2 x3 ? 10 x 2 ? 37 ,则 h/ ? x ? ? 6 x 2 ? 20 x ? 2 x ? 3x ? 10 ? .

? x ? ? 37 x

? 0 等价于方程 2 x3 ? 10 x2 ? 37 ? 0 .

当 x ? ? 0,

? ? 10 ? ? 10 ? , ?? ? 时, h / ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ? , ?? ? 上单调递增. 当x ? ? ? 3 ? ? 3 ?
∵ h 3 ? 1 ? 0, h ? ∴方程 h x

? 10 ? 10 ? / ? 时, h ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减; 3? ? 3?

??

? 10 ? 1 ? 0,h ? 4 ? ? 5 ? 0 , ? ? ? 27 ? 3?

? ?

? 4,?? ? 内没有实数根.

? 10 ? ? 10 ? ? 0 在区间 ? 3, ? , ? , 4 ? 内分别有唯一实数根,在区间 ? 0,3? , ? 3? ? 3 ?

∴存在唯一的自然数 t ? 3 ,使得方程 f 两个不等的实数根. . 21.(理)(1) f ( x ) 的定义域为 R .

? x ? ? 37 x

? 0 在区间 ? t ,t ? 1? 内有且只有

1 f '( x) ? ?ke? kx ( x 2 ? x ? ) ? e? kx (2 x ? 1) ? e? kx [?kx 2 ? (2 ? k ) x ? 2] , k ? kx 即 f '( x) ? ?e (kx ? 2)( x ? 1) (k ? 0) . 2 令 f '( x) ? 0 ,解得: x ? ?1 或 x ? . k 2x 2 当 k ? ?2 时, f '( x) ? 2e ( x ? 1) ? 0 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是 (- ? , ). 当 ?2 ? k ? 0 时, f ( x ) , f '( x ) 随 x 的变化情况如下: 2 2 2 x ( ?1, ??) ( ??, ) ( , ?1) ?1 k k k ? f '( x ) ? ? 0 0 f ( x) 极大值 极小值 ? ? ? 2 2 所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ??, ) 和 ( ?1, ??) ,单调递减区间是 ( , ?1) . k k 当 k ? ?2 时, f ( x ) , f '( x ) 随 x 的变化情况如下:
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x

( ??, ?1)
?

?1
0
极大 值

2 ( ?1, ) k
?

2 k
0
极小 值

2 ( , ??) k
?

f '( x )
f ( x)

?

?
2 k

?
2 k

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ??, ?1) 和 ( , ?? ) ,单调递减区间是 ( ?1, ) . (2)当 k = - 1 时, f ( x ) 的极大值等于 3e . 理由如下: 当 k ? ?2 时, f ( x ) 无极大值. 当 ?2 ? k ? 0 时, f ( x ) 的极大值为 f ( ) ? e ( 令e (
?2

?2

2 k

?2

4 1 ? ), k2 k

4 1 4 1 4 ? ) ? 3e?2 ,即 2 ? ? 3, 解得 k ? ?1 或 k ? (舍). 2 k k 3 k k k e 当 k ? ?2 时, f ( x ) 的极大值为 f (?1) ? ? . k e k 1 ?2 1 1 ? e . 因为 e k ? e ?2 , 0 ? ? ? , 所以 ? k 2 k 2 1 ?2 e ? 3e ?2 ,所以 f ( x ) 的极大值不可能等于 3e?2 . 因为 2 ?2 综上所述,当 k ? ?1 时, f ( x ) 的极大值等于 3e .
21. 文) (Ⅰ) f ?( x) ? ( 解:

k ( x 2 ? c) ? 2 x(kx ? 1) ?kx 2 ? 2 x ? ck ? , 由题意知 f ?(?c) ? 0 , ( x 2 ? c) 2 ( x 2 ? c) 2
2

即得 c k ? 2c ? ck ? 0 , (*)?c ? 0 ,? k ? 0 .由 f ?( x) ? 0 得 ?kx ? 2 x ? ck ? 0 ,
2

由韦达定理知另一个极值点为 x ? 1 (或 x ? c ? (Ⅱ)由(*)式得 k ?

2 ) . k

2 2 ,即 c ? 1 ? .当 c ? 1 时, k ? 0 ;当 0 ? c ? 1时, k ? ?2 . c ?1 k

(i)当 k ? 0 时, f ( x) 在 (??, c) 和 (1 ? ?) 内是减函数,在 (?c, 内是增函数. ? , 1)

? M ? f (1) ?

?kc ? 1 ?k 2 k ?1 k ? ?0, ? ? 0 , m ? f ( ?c ) ? 2 c ? c 2(k ? 2) c ?1 2

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由M ?m ?

k k2 ? ≥ 1 及 k ? 0 ,解得 k ≥ 2 . 2 2(k ? 2)

(ii)当 k ? ?2 时, f ( x) 在 (??, c) 和 (1 ? ?) 内是增函数,在 (?c, 内是减函数. ? , 1)

? M ? f ( ?c ) ?

?k 2 k ? 0 , m ? f (1) ? ? 0 2(k ? 2) 2

?k 2 k (k ? 1) 2 ? 1 M ?m ? ? ? 1? ≥ 1 恒成立. 2(k ? 2) 2 k ?2
? ? 综上可知,所求 k 的取值范围为 (??, 2) ? [ 2, ?) .

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