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【成才之路】2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1课件:第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质_图文

成才之路 ·数学
人教A版 ·选修1-1 1-2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
圆锥曲线与方程

第二章

圆锥曲线与方程

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第二章 2.3 抛物线

2.3.2 抛物线的简单几何性质

第二章

2.3

2.3.2

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

课 时 作 业

第二章

2.3

2.3.2

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自主预习学案

第二章

2.3

2.3.2

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1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何
性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.

第二章

2.3

2.3.2

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重点:抛物线的几何性质.

难点:抛物线几何性质的运用.

第二章

2.3

2.3.2

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抛物线的几何性质 思维导航

1 .类比椭圆、双曲线的性质,结合图形和方程,说出抛
物线y2=2px(p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.

第二章

2.3

2.3.2

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新知导学

1.抛物线y2=2px(p>0)的简单几何性质
(1) 对称性:以- y 代 y ,方程 y2 = 2px(p>0) 不变,因此这条 x 抛物线是以________ 轴为对称轴的轴对称图形.

轴 抛物线的对称轴叫做抛物线的________ ,抛物线只有一条
对称轴. 轴 的交点叫做抛物线的顶点. (2)顶点:抛物线和它的______

第二章

2.3

2.3.2

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焦点 的距离和它到 _______ 准线 (3) 离心率:抛物线上的点到 ______ 的距离的比,叫做抛物线的离心率,抛物线的离心率为1. (4)通径:过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径,其长为

2p _______.
(5) 范围:由 y2 = 2px≥0 , p>0 知 x≥0 ,所以抛物线在 y 轴的

右 增大 ,这说明抛物线向 ________ 侧;当x的值增大时,|y|也________ 越开阔 . 右上方和右下方无限延伸,p值越大,它开口__________

第二章

2.3

2.3.2

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牛刀小试 1.若抛物线 y2=x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的 距离,则点 P 的坐标为( 1 2 A.(4,± 4 ) 1 2 C.(4, 4 ) ) 1 2 B.(8,± 4 ) 1 2 D.(8, 4 )

[答案] B

第二章

2.3

2.3.2

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[解析] 设焦点为 F,原点为 O,P(x0,y0),由条件及抛物 1 1 线的定义知,|PF|=|PO|,又 F(4,0),∴x0=8, 1 2 ∴y0= ,∴y0=± 8 2 4 ,故选 B.

第二章

2.3

2.3.2

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2 .顶点在原点,对称轴是 y 轴,且通径为 2 的抛物线的标
准方程为( ) B.x2=±y D.y2=±2x A.x2=±2y C.y2=±x [答案] A [解析] 由题意,设标准方程为x2=±2py(p>0), ∵2p=2,∴x2=±2y.

第二章

2.3

2.3.2

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3.顶点在原点,对称轴是x轴,并且顶点到焦点的距离等
于6的抛物线方程是__________. [答案] y2=24x或y2=-24x

[解析] ∵顶点到焦点距离为 6, p 即2=6,∴2p=24, 又∵对称轴为 x 轴, ∴抛物线方程为 y2=24x 或 y2=-24x.

第二章

2.3

2.3.2

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直线与抛物线的位置关系及抛物线的焦点弦 思维导航
结合直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系,考虑怎样讨论 直线与抛物线的位置关系?

第二章

2.3

2.3.2

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新知导学 2 .将直线方程与抛物线方程联立,消元后得到一元二次 相切 ,若Δ>0,则直线与 方程,若Δ=0,则直线与抛物线 ________ 相交 没有公共点 抛物线 ______ ,若 Δ<0 ,则直线与抛物线 ____________ .特别 一 个公 地,当直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线有______

共点.
3 .在求解直线与抛物线的位置关系的问题时,要注意运 根 用函数与方程思想,将位置关系问题转化为方程 _______ 的问 题.

第二章

2.3

2.3.2

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4.焦半径 抛物线上一点与焦点 F连接的线段叫做焦半径,设抛物线 上任一点A(x0,y0),则四种标准方程形式下的焦半径公式为
标准 方程 焦半 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)

p p p p - y0 x0+2 - x0 y0+2 2 2 径|AF| |AF|=______ |AF|=______ |AF|=______ |AF|=_____

5.p 表示焦点到准线的距离, p>0.p 值越大,抛物线的开口 窄 . 宽 越________ ;p值越小,抛物线的开口越________

第二章

2.3

2.3.2

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6.焦点弦问题 如图所示:AB 是抛物线 y2=2px(p>0)过 焦点 F 的一条弦,设 A(x1,y1)、B(x2,y2), AB 的中点 M(x0,y0),抛物线的准线为 l.

相切 ; (1)以 AB 为直径的圆必与准线 l______ p 2(x0+2)=x1+x2+p ; (2)|AB|=___________________
(3)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积 p2 2 - p 为定值,即 x1· x2=__________ ,y1· y2=__________. 4

第二章

2.3

2.3.2

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牛刀小试

4.过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45°的直线,则被
抛物线截得的弦长为( A.8 C.32 [答案] B [解析] =x-2. 代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0. 由抛物线y2=8x的焦点为(2,0),得直线的方程为 y ) B.16 D.61

∴x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16.
第二章 2.3 2.3.2

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5.若 AB 为抛物线 y2=4x 的弦,且 A(x1,4),B(x2,2),则|AB| =( ) A.13 C.6 B. 13 D.4

[答案] B
[解析] 代入点 A,B 可得 x1=4,x2=1,由两点间距离公 式得|AB|= 13.

第二章

2.3

2.3.2

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典例探究学案

第二章

2.3

2.3.2

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待定系数法求抛物线的标准方程
已知抛物线关于 y 轴对称,它的顶点在坐标原 点,并且经过点 M( 3,-2 3),求它的方程.

[解析]

∵抛物线关于 y 轴对称,它的顶点在坐标原点,

并且经过点 M( 3,-2 3), ∴可设它的标准方程为 x2=-2py(p>0).

第二章

2.3

2.3.2

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又∵点 M 在抛物线上. 3 ∴( 3) =-2p(-2 3),即 p= 4 .
2

3 因此所求方程是 x =- 2 y.
2

[方法规律总结 ]

由抛物线的几何性质求抛物线的标准方

程时,应先确定其形式,再由条件确定待定系数.

第二章

2.3

2.3.2

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x2 已知抛物线的顶点在原点, 对称轴为坐标轴, 准线过椭圆16 y2 +52=1 的焦点,求抛物线的方程.
[分析] 由椭圆方程可求椭圆的焦点坐标,又抛物线的准

线过椭圆焦点,可求参数p.

第二章

2.3

2.3.2

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x2 y2 [解析] 椭圆16+52=1 的焦点在 y 轴上,焦点坐标为(0, -6),(0,6). 故抛物线的准线方程为 y=-6 或 y=6. 当准线方程为 y=-6 时,设抛物线方程为 x2=2py(p>0), 则 p=12,所求抛物线的方程为 x2=24y; 当准线方程为 y=6 时,设抛物线方程为 x2=-2py(p>0), 则 p=12,所求抛物线的方程为 x2=-24y. 故所求抛物线的方程为 x2=24y 或 x2=-24y.

第二章

2.3

2.3.2

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抛物线的焦点弦问题

求过抛物线 y2 = 2px(p>0) 的焦点 F 的弦长的最
小值.

[解析]

解法一:如图,设抛物线 y2=

2px(p>0)的焦点弦的两个端点为 A(x1,y1), B(x2,y2),并设焦点弦所在直线方程为 x= p p p my+2 ①, 于是有 x1=my1+2, x2=my2+2, 将①代入 y2=2px,得 y2-2pmy-p2=0.

第二章

2.3

2.3.2

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所以 y1+y2=2pm,y1y2=-p2. 因为(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=4p2(m2+1). 所以|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = m2?y1-y2?2+?y1-y2?2=2p(m2+1). 所以|AB|≥2p,故当 m=0,即过焦点的弦垂直于 x 轴时, 它的长度最小,其最小值为 2p.

第二章

2.3

2.3.2

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解法二: 如图所示, 设焦点弦 AB 的中 点为 E,分别过 A、E、B 作准线 l 的垂线, 垂足为 D、H、C,由抛物线定义知|AD|= |AF| , |BC| = |BF| ,所以 |AB| = |AF| + |BF| = |AD|+|BC|=2|EH|. 由图可知|HE|≥|GF|,当且仅当 AB 与 x 轴垂直时,|HE|=|GF|,即|AB| min=2|GF|=2p.

[方法规律总结 ]

解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛

物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的 坐标问题,从而可借助根与系数的关系进行求解.
第二章 2.3 2.3.2

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过抛物线y2=8x的焦点作直线l,交抛物线于A,B两点,若 线段AB中点的横坐标为3,求|AB|的值.

[解析] 由抛物线 y2=8x 知,p=4. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线定义知: p p |AF|=x2+2,|BF|=x2+2,

第二章

2.3

2.3.2

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p p ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=x1+x2+p, ∴x1+x2=|AB|-p. x1+x2 由条件知 2 =3,则 x1+x2=6, ∴|AB|-p=6,又∵p=4,∴|AB|=10.

第二章

2.3

2.3.2

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最值问题 设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线 焦点. (1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之 和的最小值;

(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.

第二章

2.3

2.3.2

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[解析]

(1)如图,易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线方程

是 x=-1,由抛物线的定义知:点 P 到直线 x=-1 的距离等 于点 P 到焦点 F 的距离.于是,问题转化为:在曲线上求一点 P,使点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最 小.显然,连 AF 交抛物线于 P 点,故最小值为 22+12,即 5.

第二章

2.3

2.3.2

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(2)如图把点 B 的横坐标代入 y2=4x 中,得 y=± 12,因为 12>2,所以 B 在抛物线内部,自 B 作 BQ 垂直准线于 Q,交 抛物线于 P1. 此时,由抛物线定义知: |P1Q|=|P1F|. 那么|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q| =|BQ|=3+1=4. 即最小值为 4.

第二章

2.3

2.3.2

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[方法规律总结 ]

与抛物线有关的最值问题,一是涉及到

焦点或准线的距离,可利用抛物线的定义(即抛物线上的点到准
线的距离等于该点到焦点的距离),构造出“两点间线段最短” 或“点到直线的垂线段最短”使问题获解;二是抛物线上的点 到某曲线或直线的距离最小,常转化为函数最值求解.

第二章

2.3

2.3.2

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(1)定点

? 10? M?3, 3 ?与抛物线 ? ?

y2=2x 上的点 P 之间的距离为

d1,P 到抛物线准线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 取最小值时,P 点 坐标为( ) B.(1, 2)
?1 1? D.?8,-2? ? ?

A.(0,0) C.(2,2)

(2)设 P 是抛物线 y2=2x 上任一点,则 P 到直线 x-y+3= 0 的距离的最小值为__________,点 P 的坐标为__________.

5 2 1 [答案] (1)C (2) 4 (2,1)
第二章 2.3 2.3.2

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[解析] (1)如图. 连结 PF,则 d1+d2=|PM|+ |PF|≥|MF| , 知 d1 + d2 最 小 值 是 |MF|,当且仅当点 P 在线段 MF 上 时,等号成立,而直线 MF 的方程 4? 1 ? 为 y=3?x-2?,与 y2=2x,联立求 ? ? 1 1 得 x=2,y=2 或 x=8,y=-2(舍 去),所以,P 点坐标为(2,2).

第二章

2.3

2.3.2

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(2)解法一:设 P(x0,y0)是 y2=2x 上任一点,则点 P 到直线 l 的距离 y2 0 |x0-y0+3| | 2 -y0+3| |?y0-1?2+5| d= = = , 2 2 2 2 5 2 1 当 y0=1 时,dmin= 4 ,点 P 坐标为(2,1). 解法二: 设与抛物线相切且与直线 x-y+3=0 平行的直线 方程为 x-y+m=0,
? ?x-y+m=0, 由? 2 ? ?y =2x,

得 y2-2y+2m=0,

第二章

2.3

2.3.2

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1 ∵Δ=(-2) -4×2m=0,∴m=2.
2

1 ∴平行直线的方程为 x-y+2=0,此时点到直线的最短距 1 |3-2| 5 2 离转化为两平行线之间的距离,则 dmin= = 4 ,点 P 坐 2 1 标为(2,1).

第二章

2.3

2.3.2

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抛物线中的定点定值问题 如图,过抛物线 y2 = x 上一点 A(4,2) 作倾斜角互

补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点,求证:直线BC的
斜率是定值.

第二章

2.3

2.3.2

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[解题思路探究]

第一步,审题.审结论明确解题目标,

欲证明直线 BC 的斜率为定值, 可写出直线 BC 的方程, 然后说 y2-y1 明其斜率为定值,或直接用 k0= ,写出斜率,然后说明 x2-x1 k0 的值与参数无关; 审条件,挖掘解题信息,已知直线 AB、AC 过定点,AB 与 AC 两直线倾斜角互补,故两直线方程可用同一参数(直线 AB 的斜率 k)来表示.

第二章

2.3

2.3.2

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第二步,建联系确定解题步骤.先设直线AB的斜率为k,

用k将AB、AC的方程表示出来,再由直线与抛物线交于两点,
利用根与系数的关系求得 B 、 C 点的坐标,然后验证 kBC 与 k 无 关. 第三步,规范解答

第二章

2.3

2.3.2

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[证明] 设 kAB=k(k≠0), ∵直线 AB,AC 的倾斜角互补,∴kAC=-k(k≠0), ∵AB 的方程是 y=k(x-4)+2.
? ?y=k?x-4?+2, 由方程组? 2 ? ?y =x,

消去 y 整理得,

k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0. ∵A(4,2),B(xB,yB)是上述方程组的解, 16k2-16k+4 ∴4· xB= , k2 4k2-4k+1 即 xB= , k2
第二章 2.3 2.3.2

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4k2+4k+1 以-k 代替 xB 中的 k,得 xC= , k2 yB-yC k?xB-4?+2-[-k?xC-4?+2] ∴kBC= = xB-xC xB-xC k?xB+xC-8? = = xB-xC 1 =-4. 所以直线 BC 的斜率为定值. 8k2+2 k? k2 -8? -8k k2

[点评]

自己试一下,将直线与抛物线的方程联立后消去x

解答,并比较两种解法,你有什么体会?
第二章 2.3 2.3.2

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[方法规律总结 ]

解析几何中,常遇到定点、定值问题,

解决这类问题常用方法是依据题设条件选取某个参数,将题中
定值 ( 或过定点的几何对象 ) 用参数表示,然后说明与参数无 关,常涉及方法有斜率法、方程法、向量法等.

第二章

2.3

2.3.2

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A 、 B 为 抛 物 线 y2 = 2px(p>0) 上 两 点 , O 为 原 点 , 若

OA⊥OB,求证:直线AB过定点.
[证明] 设 A(x1,y1),B(x2,y2), ∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,
2 2 ∵A,B 在抛物线上,∴y2 y = 4 p x1x2, 1 2 2 ? y · y =- 4 p ? 1 2 ∴? 2 ? x · x = 4 p ? 1 2

y2-y1 2p ,kAB= = , x2-x1 y2+y1

第二章

2.3

2.3.2

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2p lAB:y-y1= (x-x1), y1+y2
2 2p y1 ∴y-y1= (x-2p) y1+y2 2 2p y1 ∴y= · x- +y y 1 +y 2 y1+y2 1

2p 4p2 = · x- y1+y2 y1+y2 2p = (x-2p), y1+y2 ∴直线 AB 过定点(2p,0).
第二章 2.3 2.3.2

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考虑问题要全面

求过点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点
的直线方程.

[错解] 设直线方程为 y=kx+1,
? ?y=kx+1 由方程组? 2 ? ?y =2x

,消去 y,得 k2x2+2(k-1)x+1=0.

由直线与抛物线只有一个公共点, 则 Δ=4(k-1)2-4k2=0, 1 1 所以 k=2,所以所求直线的方程为 y=2x+1.
第二章 2.3 2.3.2

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[辨析]

本题造成错解的原因有两个:一是遗漏了直线不

存在斜率的情况,只考虑了斜率存在的直线;二是方程组消元
后的方程认定为二次方程,事实上,当二次项系数为零的一次 方程的解也符合题意.
[正解] 为 (1)若直线斜率不存在,则过点 P(0,1)的直线方程
? ?x=0 ,得? ? ?y=0

? ?x=0 x=0,由? 2 ? ?y =2x

.即直线 x=0 与抛物线只有一

个公共点.

第二章

2.3

2.3.2

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(2)若直线的斜率存在,设为 k,则过点 P(0,1)的直线方程 为
? ?y=kx+1 y=kx+1,由方程组? 2 ? ?y =2x

,消去 y,得 k2x2+2(k-1)x

+1=0. 1 ? ?x= 当 k=0 时,得? 2 ? ?y=1 .

第二章

2.3

2.3.2

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即直线 y=1 与抛物线只有一个公共点; 当 k≠0 时, 直线与抛物线只有一个公共点, 则 Δ=4(k-1)2 1 1 -4k =0,所以 k=2,直线方程为 y=2x+1.综上所述,所求直
2

1 线方程为 x=0 或 y=1 或 y=2x+1.

第二章

2.3

2.3.2

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课时作业
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第二章

2.3

2.3.2