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淮阴中学高三数学一轮复习学案:数列


第 06 课:数列
一、课前预习 1、 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? p ? 2 n ? 2 , ?an ? 是等比数列的充要条件是 2、 已知等差数列 {an } 的公差为 ?2 ,且 a2 , a4 , a5 成等比数列,则 a2 等于 3、 在等差数列 {an } 中, a3 ? a9 ? 27 ? a6 , Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和,则 S11 ? 4、 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S1 ? 1 , S 2 ? 4 ,则 an ? 5、在由正数组成的等比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 1, a3 ? a4 ? 4, 则 a5 ? a6 ? 6、等差数列 {an } 的公差不为零, a1 ? 2 若 a1 , a2 , a4 成等比数列,则 an = 7、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn . 若 S2 k ? 72 ,且 ak ?1 ? 18 ? ak ,则正整数 k ? 8、已知等差数列 {an }(n ? N * ) 的首项 a1 ? 0 ,设 Sn 为 {an } 的前 n 项和,且 S6 ? S11 ,则 当 Sn 取得最大值时, n ? 9 、已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2, ,且 a5 ? a2n? 5 ? 22n ( n ? 3) ,则当 n ? 1 时,

log2 a1 ? log2 a3 ?

? log2 a 2n? 1 ?

2 10、 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2m?1 ? 38 ,则 m ?

11、已知 S n是公差为 d的等差数列 {an }(n ? N * )的前n项和, 且S6 ? S7 ? S5 ,则下列四 个命题:① d ? 0 ;② S11 ? 0 ;③ S12 ? 0 ;④ S13 ? 0 中为真命题的序号为 12、 在实数数列 ?an ? 中, 已知 a1 ? 0 , …, | a2 |?| a1 ? 1 | ,| a3 |?| a2 ? 1 | , | an |?| an?1 ? 1 | , 则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 的最大值为 13、设 a1 , a2 ,…, an 是各项不为零的 n ( n ? 4 )项等差数列,且公差 d ? 0 .若将此 数列删去某一项后,得到的数列(按原来顺序)是等比数列,则所有数对 ? n,

? ?

a1 ? ? 所组 d ?

成的集合为 14、设 a1 ? 2 , an ?1 ?

a ?2 2 * , bn ? n , n ? N ,则数列 ?bn ? 的通项公式 bn = an ? 1 an ? 1
1

二、例题
2 例 1、已知数列 ?an ? 是公差大于 0 的等差数列, a2 , a5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根,

数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 1 ? (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;

1 b n? N? 2 n

?

?

(2)记 cn = an bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n .

x 例 2、已知点(1, )是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的

1 3

前 n 项 和 为 f (n) ? c , 数 列 {bn } (bn ? 0) 的 首 项 为 c , 且 前 n 项 和 Sn 满 足 Sn -

S n?1 = S n + S n?1 ( n ? 2 )
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1000 1 } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 的最小正整数 n 是多少? 2009 bn bn?1

2

例 3、已知数列 {an } 和 {bn } 满足: a1 ? ? , an ?1 ? 中 ? 为实数, n 为正整数.

2 an ? n ? 4, bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21), 其 3

(Ⅰ)对任意实数 ? ,证明数列 {an } 不是等比数列; (Ⅱ)对于给定的实数 ? ,试求数列 {bn } 的前 n 项和 S n ; (Ⅲ)设 0 ? a ? b ,是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有 a ? Sn ? b 成立? 若存 在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由.

例 4、在直角坐标平面上有一点列 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )

, Pn ( xn , yn )

,对一切正整数 n,点

Pn 位于函数 y ? 3x ?
差数列 {xn } . ⑴求点 Pn 的坐标;

13 5 的图象上,且 P n 的横坐标构成以 ? 为首项, ?1 为公差的等 4 2

⑵设抛物线列 c1 , c2 , c3 ,?, cn ,?中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,第 n 条抛物线 cn 的顶点为 Pn ,且过点 Dn (0, n2 ? 1) ,设与抛物线 cn 相切于 Dn 的直线斜率为 k n ,求:

1 1 ? ? k1k2 k2 k3

?

1 kn ?1kn



⑶设 S ? x | x ? 2 xn , n ? N* , T ? y | y ? 4 yn , n ? N * ,等差数列{ an 错误!未找到引用 源。}的任一项 an ? S ? T ,其中 a1 是 S ? T 中的最大数, ?265 ? a10 ? ?125 ,求{ an 错误!未找到引用源。}的通项公式。

?

?

?

?

3

第 06 课作业:数列
班级____________ 姓名_____________ 学号__________ 成绩________ 课后作业

a6 ? ?2 ,则 a3 ? a 4 ? ? ? a8 ? 1、 在等差数列 { a n } 中, a5 ? 3,
2、数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2, 则通项 an ? 3、已知数列 {an } 的通项公式为 an ? ▲ 4、在等比数列 {an } 中, a2 ? 8 , a1 ? 64 ,则公比 q 为 ▲ ▲



1 n ? 3( n ? N * ) ,设 Sn 为 {an } 的前 n 项和,则 S30 ? 2

5、等差数列 {an } 中,公差 d ? 1 , a3 ? a4 ? 1 ,则 a2 ? a4 ? ? ? a20 =



6、已知 ?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,以 Sn 表示 ?an ? 的前 n 项和, 则使得 Sn 达到最大值的 n 是 7、设等比数列 {an } 的公比 q ? ▲

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4



4

8、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? 5a3 则

S9 ? S5



9、设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 成等差数列.类 比以上结论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 ▲ 成等比数列.

10、正整数集合 Ak 的最小元素为 1,最大元素为 2007,并且各元素可以从小到大排成一个 公差为 k 的等差数列,则并集 A17 11、数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2 2

A59 中元素有



个. ▲

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn ,则 S30 为 3 3

12、已知数列 {an } 是以 ?2 为公差的等差数列, Sn 是其前 n 项和,若 S7 是数列 ?Sn ? 中的唯 一最大项,则数列 {an } 的首项 a1 的取值范围是 ▲ Read x If x ? 0 Then

13、右边是根据所输入的 x 值计算 y 值的一个算法程序, 若 x 依次 取数列 ? 小值为

? n ? ? 1? (n ? N? ) 中的前 200 项,则所得 y 值中的最 ?100 ?


y ?1? x
Else

14 、 若 函 数 式 f ( n) 表 示 n2 ? 1(n ? N * ) 的 各 位 上 的 数 字 之 和 , 如

y ?1? x
End If Print ( y) (第 13 题)

142 ? 1 ? 197,1 ? 9 ? 7 ? 17 , 所 以 f (14) ? 17 , 记 f1 (n ?) f n f( n ) f , f n ( 1 )fk ? n [ ? f1 f (k n ) k ? ] N ,* ,则, 2 ? f 2009 (17) ?
1. 5. 9. 13. ▲ __ ; 3. __ ; 7. __ ; 11. __ __ ; 4. __ ; 8. __ ;12.

[

(

) ] ,

__ ; 2. __ ; 6. __ ; 10. __ ; 14.

__ ; __ ; __ ;

15、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且对任意正整数 n ,点 ?an?1 , S n ? 在直线

2 x ? y ? 2 ? 0 上.
(Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)是否存在实数 ? ,使得数列 ?S n ? ? ? n ? 若不存在,则说明理由.
5

? ?

? 为等差数列?若存在,求出 ? 的值; 2n ?

??

16、设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。

17、已知数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且 3a n ?1 ? 2S n ? 3 ( n 为正整数). (1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)记 S ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? . 若对任意正整数 n , kS ? S n 恒成立,求实数 k 的最 大值.

6

18、设数 {an } 的前n项和为S n , 对一切n ? N * ,点(n, S n )在函数f ( x) ? x 2 ? x 的图象上。 (1)求 an 的表达式; ( 2 ) 设

An为数列 {

an ? 1 使 数 得 不 等 式 }的前n项积, 是 否 存 在 a, 实 an

An an ? 1 ? a对一切n ? N * 都成立?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,
请说明理由; ( 3 ) 将 数 列 { an } 依 次 按 1 项 , 2 项 循 环 地 分 为

(a1 ), (a2 , a3 ), (a4 ), (a5 , a6 ), (a7 ), (a8 , a9 ), (a10 ) ,…,分别计算各个括号内各数之和,设

由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为 {bn }, 求b100 的值; (4) (选做)如果将数列{ an }依次按 1 项,2 项,3 项,…, m(m ? 3) 项循环;分别计 算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为 {bn } , 提出同(3)类似的问题( (3)应当作为特例) ,并进行研究,你能得到什么样的结 论?

7

第 06 课:数列
课前预习 1. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? p ? 2 n ? 2 , ?an ? 是等比数列的充要条件是 p ? ?2 2. 已知等差数列 {an } 的公差为 ?2 ,且 a2 , a4 , a5 成等比数列,则 a2 等于 8

3. 在等差数列 {an } 中, a3 ? a9 ? 27 ? a6 , Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和,则 S11 ? 99 4. S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S1 ? 1 , S 2 ? 4 ,则 an ? 2n ? 1 5. 在由正数组成的等比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 1, a3 ? a4 ? 4, 则 a5 ? a6 ? ___16 6. 等差数列

? an ? 的公差不为零, a1 ? 2 .



a1、a2、a4 成等比数列,则 an ? 2n

7. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn . 若 S2 k ? 72 ,且 ak ?1 ? 18 ? ak ,则正整数 k ? 4 8. 已知等差数列 {an }(n ? N * ) 的首项 a1 ? 0 ,设 Sn 为 {an } 的前 n 项和,且 S6 ? S11 ,则 当 Sn 取得最大值时, n ? n ? 8或n ? 9 9. 已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2, ,且 a5 ? a2n? 5 ? 22n ( n ? 3),则当 n ? 1 时,

log2 a1 ? log2 a 3 ?

2 ? log 2a 2 n? 1 ? n

2 10. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2m?1 ? 38 ,则 m ? 10

11. 已知 S n是公差为 d的等差数列 {an }(n ? N * )的前n项和, 且S6 ? S7 ? S5 ,则下列四 个命题:① d ? 0 ;② S11 ? 0 ;③ S12 ? 0 ;④ S13 ? 0 中为真命题的序号为①② 12. 在实数数列 ?an ? 中, 已知 a1 ? 0 , …, | a2 |?| a1 ? 1 | ,| a3 |?| a2 ? 1 | , | an |?| an?1 ? 1 | , 则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 的最大值为 2 13. 设 a1 , a2 ,…, an 是各项不为零的 n ( n ? 4 )项等差数列,且公差 d ? 0 .若将此 数列删去某一项后,得到的数列(按原来顺序)是等比数列,则所有数对 ? n,

? ?

a1 ? ? 所组成的 d ?

集合为 {(4 , ?4) , (4 , 1)}

8

14. 设 a1 ? 2 , an ?1 ? 例题讲解

a ?2 2 * , bn ? n , n ? N ,则数列 ?bn ? 的通项公式 bn =2n+1 an ? 1 an ? 1
2

例 1. a2 , a5 是 方 程 x

? 12 x ? 27 ? 0 的 两 根 , 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 为 Tn , 且

Tn ? 1 ?

1 bn n ? N ? 2

?

?

(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)记 cn = an bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n . 解:(1)由 a2 ? a5 ? 12, a2 a5 ? 27.且 d ? 0 得 a2 ? 3, a5 ? 9 2分

?d ?

a5 ? a 2 ? 2 , a1 ? 1 ? an ? 2n ? 1 n ? N ? 3

?

?

4分

在 Tn ? 1 ?

1 2 1 1 bn 中,令 n ? 1, 得 b1 ? . 当 n ? 2 时,T n = 1 ? bn , Tn ?1 ? 1 ? bn ?1 , 3 2 2 2

两式相减得 bn ?

b 1 1 1 bn ?1 ? bn ,? n ? ?n ? 2? 2 2 bn ?1 3

6分

2?1? ? bn ? ? ? 3 ? 3?

n ?1

?

2 n? N? . n 3

?

?

8分

(2) c n ? ?2n ? 1? ?

2 4n ? 2 ? , 3n 3n

9分

5 2n ? 1 ? S 3 2n ? 3 2n ? 1 ? ?1 3 ?1 ? S n ? 2? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? , n ? 2? 2 ? 3 ? ? ? ? n?1 ? , 3 3 ? 3 3 3n 3 ?3 3 ?3 ?


10

? ? 1? 1 ? 2 ? ?1 ? n ?1 ? ? ?1 ? 1 2 1 1 ? 2n ? 1? 1 9 ? 3 ? 2n ? 1 ? ? S n ? 2? ? 2? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n?1 ? =2 ? ? ? n ?1 ? 1 3 3 3 3 ? 3 ? ?3 ? ?3 ? 3 1? ? ? 3 ? ?
= 2?

? 1 1 1 2n ? 1 ? 4 4 n ? 4 ? ? n ? n?1 ? ? ? n?1 , 3 3 ?3 3 3 ? 3
2n ? 2 3n
14 分

13 分

? Sn ? 2 ?

例 2. 已知点(1,

1 x )是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的 3
9

前 n 项 和 为 f (n) ? c , 数 列 {bn } (bn ? 0) 的 首 项 为 c , 且 前 n 项 和 Sn 满 足 Sn -

S n?1 = S n + S n?1 ( n ? 2 ).
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1000 1 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2009 bn bn?1
x

1 ?1? 【解析】 (1) Q f ?1? ? a ? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3?

2 1 f ? 2? ? c? ?? f ?1? ? c ? ?? , a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? ? ? ? ? 9 3 2 a3 ? ? ? f ? 3? ? c ? ??? ? f ? 2? ? c? ? ? ? 27 . 4 2 a 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? 2 ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; 2 a3 ? 3 3 27
又公比 q ?

a2 1 2?1? ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3?3?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n? N*



Q Sn ? Sn?1 ?

?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn ?1 ? Sn ? Sn ?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn ?1 ? 1; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? ? 2n ? 1?

1? 1? 1 1 ? 1 ?1 ?1 1 ? 1 ? 1 ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2? 3? 2 n?2 n 1? 2 1 ? 3 ?5 ?2 5 ? 7 ? 2 ? 1? 1 ? n ; ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1
由 Tn ?

n 1000 1000 1000 ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2n ? 1 2009 9 2009
10

例 3. 在直角坐标平面上有一点列 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 于函数 y ? 3x ?

, Pn ( xn , yn )

,对一切正整数 n,点 Pn 位

5 13 的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 ? 为首项, ?1为公差的等差数列 {xn } . 4 2 ⑴求点 Pn 的坐标;
⑵设抛物线列 c1 , c2 , c3 ,?, cn ,?中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴, 第 n 条抛物线 cn 的顶点 为 Pn , 且 过 点 Dn (0, n2 ? 1) , 设 与 抛 物 线 cn 相 切 于 Dn 的 直 线 斜 率 为 k n , 求 :

1 1 ? ? k1k2 k2 k3

?

1 kn ?1kn



⑶设 S ? x | x ? 2 xn , n ? N* ,T ? y | y ? 4 yn , n ? N * ,等差数列{ an 错误!未找到引用源。} 的任一项 an ? S ? T ,其中 a1 是 S ? T 中的最大数, ?265 ? a10 ? ?125 ,求{ an 错误!未 找到引用源。}的通项公式。 解:(1) xn ? ? ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n ?

?

?

?

?

2n ? 3 2 12n ? 5 ) ? , 2 4 把 Dn (0, n 2 ? 1) 代入上式,得 a ? 1 ,? cn 的方程为: y ? x2 ? (2n ? 3) x ? n2 ? 1 . 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) k n ? y ' | x?0 ? 2n ? 3 ,? kn ?1kn (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] k1k2 k2 k3 kn ?1kn 2 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 1 = ( ? . 10 分 )? ? 2 5 2n ? 3 10 4n ? 6
(2)? cn 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 Pn .? 设 cn 的方程为 y ? a( x ? (3) S ? {x | x ? ?(2n ? 3), n ? N, n ? 1} ,

5 3 2 2 13 5 3 5 ? yn ? 3 ? xn ? ? ?3n ? ,? Pn (?n ? , ?3n ? ) 4 4 2 4

5分

T ? { y | y ? ?(12n ? 5), n ? N, n ? 1} ? { y | y ? ?2(6n ? 1) ? 3, n ? N, n ? 1} ?S T ? T , T 中最大数 a1 ? ?17 .
设 {an } 公差为 d ,则 a10 ? ?17 ? 9d ? (?265, ?125) ,由此得:

?

248 ? d ? ?12, 又 an ?T ?d ? ?12m(m ? N* ) 9
16 分

?d ? ?24,?an ? 7 ? 24n(n ? N* )
例 4. 已知数列 {an } 和 {bn } 满足:

a1 ? ? , an ?1 ?

2 an ? n ? 4, bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21), 其中 ? 为实数, n 为正整数. 3

(Ⅰ)对任意实数 ? ,证明数列 {an } 不是等比数列; (Ⅱ)对于给定的实数 ? ,试求数列 {bn } 的前 n 项和 S n ; (Ⅲ)设 0 ? a ? b ,是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有 a ? Sn ? b 成立? 若存
11

在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由. 答案:解: (Ⅰ)证明:假设存在一个实数 ? ,使{ an }是等比数列,………………………..1 分
2 则有 a2 ? a1 ? a3 ,即 ( ? ? 3) ? ? ( ? ? 4) ?
2

2 3

4 9

4 2 4 ? ? 4? ? 9 ? ?2 ? 4? ? 9 ? 0, 矛盾. 9 9

4分 所以{ an }不是等比数列. ……………………………………………………………………..…1 分 (Ⅱ)解: 因为 bn ?1 ? (?1) 分 又 b1 ? ?(? ? 18) ,所以 当 ? ? ?18 ,bn ? 0(n ? N ? ) , 此时 S n ? 0 ……………………………………………………1 分 当 ? ? ?18 时, b1 ? ?(? ? 18) ? 0 ,
n ?1

[a n ?1 ? 3(n ? 1) ? 21] ?

2 bn …………………………………….…3 3

bn ?1 2 ? ? (n ? N ? ) , bn 3
2 为公比的等比数列. …………………………1 3

此时,数列{ bn }是以 ? (? ? 18) 为首项, ? 分 ∴

3 2 S n ? ? (? ? 18) ? [1 ? (? ) n ] …………………………………………………………………2 5 3
分 (Ⅲ)要使 a ? S n ? b 对任意正整数 n 成立, 即 a ? ? (? ? 18) ? [1 ? (? ) ] ? b(n ? N )
n ?

3 5

2 3



a 2 1 ? (? ) n 3

3 ? ? (? ? 18) ? 5

b 2 1 ? (? ) n 3

      (1)......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..2分

2 令f (n) ? 1 ? (? ) n ,则 3

12

当 n 为正奇数时, 1 ? f (n) ? ∴

f ( n)







5 5 ;当n为正偶数时, ? f (n) ? 1, 3 9 5 f (1) ? f ( n) 值 为 , 3











5 ,……………………………………3 分 9 9 3 3 于是,由(1)式得 a ? ? (? ? 18) ? b ? ?b ? 18 ? ? ? ?3a ? 18 . 5 5 5 f (2) ?
当 a ? b ? 3a 时, 由 ? b ? 18 ? ?3a ? 18 , 不存在实数满足题目要求; …………………1 分 当 b ? 3a 存 在 实 数 ? , 使 得 对 任 意 正 整 数 n , 都 有 a ? S n ? b , 且 ? 的 取 值 范 围 是

(?b ? 18,?3a ? 18) …………………………………………………………………..…1 分
课后作业

a6 ? ?2 ,则 a3 ? a 4 ? ? ? a8 ? 3 1. 在等差数列 { a n } 中, a5 ? 3,
2. 数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2, 则通项 an ? 2 ? 3 3. 已 知 数 列 {an } 的 通 项 公 式为 an ?
n?1

?1

1 n ? 3( n ? N * ) , 设 Sn 为 {an } 的 前 n 项 和 ,则 2

S30 ? ?

285 2 1 8

4. 在等比数列 {an } 中, a2 ? 8 , a1 ? 64 ,则公比 q 为

5. 等差数列 {an } 中,公差 d ? 1 , a3 ? a4 ? 1 ,则 a2 ? a4 ? ? ? a20 =80 6. 已知 ?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,以 Sn 表示 ?an ? 的前 n 项和, 则使得 Sn 达到最大值的 n 是 20 7. 设 等 比 数 列 {an } 的 公 比 q ?

1 2

, 前

n 项 和 为 Sn , 则

S4 a (1 ? q 4 ) s 1 ? q4 ? s4 ? 1 , a4 ? a1q3 ,? 4 ? 3 ? 15 a4 1? q a4 q (1 ? q)
8. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? 5a3 则

S9 ?9 S5

13

9. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 成等差数列.类 比以上结论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , 等比数列. 10. 正整数集合 Ak 的最小元素为 1 ,最大元素为 2007 ,并且各元素可以从小到大排成一个 公差为 k 的等差数列,则并集 A17 11. 数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2 2

T8 T12 , T4 T8



T16 成 T12

A59 中元素有_____ 151 ______个.
n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn ,则 S30 为 470 3 3

12. 已知数列 {an } 是以 ?2 为公差的等差数列, Sn 是其前 n 项和,若 S7 是数列 ?Sn ? 中的唯 一最大项,则数列 {an } 的首项 a1 的取值范围是 ?12, 14? 13. .右边是根据所输入的 x 值计算 y 值的一个算法程序, 若 x 依次 取数列 ? 小值为 Read x If x ? 0 Then

? n ? ? 1? (n ? N? ) 中的前 200 项,则所得 y 值中的最 ?100 ?
▲1

y ?1? x
Else

y ?1? x
14. 若 函 数 式 f ( n) 表 示 n2 ? 1(n ? N * ) 的 各 位 上 的 数 字 之 和 , 如

14 ? 1 ? 197,1 ? 9 ? 7 ? 17 , 所 以 f (14) ? 17 , 记 f1 (n ?) f n f( n ) f , f n ( 1 )fk ? n [ ? f1 f (k n ) k ? ] N ,* ,则, 2 ?
2

End If Print y (第 13 题) [ ( )

(

) ] ,

f 2009 (17) ?

▲5

15. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且对任意正整数 n ,点 ?an?1 , S n ? 在直线

2 x ? y ? 2 ? 0 上.
(Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)是否存在实数 ? ,使得数列 ?S n ? ? ? n ? 若不存在,则说明理由. 解:(Ⅰ)由题意可得:

? ?

? 为等差数列?若存在,求出 ? 的值; 2n ?

??

2an?1 ? S n ? 2 ? 0.
n ? 2 时, 2an ? S n?1 ? 2 ? 0.

① ② …………………… 1 分

14

①─②得 2an?1 ? 2an ? an ? 0 ?

an?1 1 ? ?n ? 2? , an 2
…………………… 3 分
n?1

? a1 ? 1, 2a2 ? a1 ? 2 ? a2 ?

1 2

1 ?1? ? ?an ? 是首项为1 ,公比为 的等比数列,? an ? ? ? . ……………… 4 分 2 ?2?

1 2n ? 2 ? 1 . (Ⅱ)解法一:? S n ? 1 2 n?1 1? 2 1?
若 ?S n ? 则 S1 ? ? ?

……………… 5 分

? ?

? 为等差数列, 2n ?
, S 2 ? 2? ?

??

?
2

?
2
2

, S 3 ? 3? ?

?
23

成等差数列,

……………… 6 分

9? ? 3? 25? 3? 7 25? ? ? 3 9? ? 2 ? S2 ? ? S3 ? ? 2? ? ? ? , ? ? S1 ? ? ? 1? 4 ? 2 8 2 4 8 ? ?2 4 ?
得 ? ? 2. 又 ? ? 2 时, S n ? 2n ? ……………… 8 分

2 ? 2n ? 2 ,显然 ?2n ? 2? 成等差数列, 2n

故存在实数 ? ? 2 ,使得数列 ?S n ? ?n ?

? ?

? 成等差数列. ……………… 9 分 2n ?

??

1 2n ? 2 ? 1 . 解法二: ? S n ? 1 2 n?1 1? 2 1?
? S n ? ?n ?

……………… 5 分

?
2
n

? 2?

1 2
n ?1

? ?n ?

?
2
n

? 2 ? ?n ? ?? ? 2?

1 . 2n

…………… 7 分

欲使 ?S n ? ? ? n ?

? ?

? 成等差数列,只须 ? ? 2 ? 0 即 ? ? 2 便可. 2n ? ? ? ? 成等差数列. 2n ?

??

……………8 分

故存在实数 ? ? 2 ,使得数列 ?S n ? ?n ?

??

……………… 9 分

16. 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列

15

(II)求数列 {an } 的通项公式。 解: (I) 由 a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 , 有 a1 ? a2 ? a 4 , 1? 2 由 Sn?1 ? 4an ? 2 , . . .①

a2 ? 3 a1 ? 2? 5 ,? b ? ? ? 1 a 2 2a 1 3

则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 . . . . .②

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又

bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列.
an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

(II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

a 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. ? 数列 { n n 2 4 2 a 1 3 3 1 ? ? (n ? 1 ) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 ? n n 2 2 4 4 4
17. 已知数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且 3a n ?1 ? 2S n ? 3 ( n 为正整数). (1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)记 S ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? . 若对任意正整数 n , kS ? S n 恒成立,求实数 k 的最大 值. 10.[解] (1)? 3a n ?1 ? 2S n ? 3 , ① ②

? 当 n ? 2 时, 3a n ? 2S n ?1 ? 3 .
由 ① - ②,得 3an?1 ? 3an ? 2an ? 0 .

?

a n ?1 1 ? an 3

(n ? 2).

…… 3 分

又 ? a1 ? 1 , 3a 2 ? 2a1 ? 3 ,解得 a 2 ?

1 . 3

…… 4 分

1 ? 数列 ? a n ? 是首项为 1,公比为 q ? 的等比数列. 3 n ?1 ?1? ? a n ? a1 q n?1 ? ? ? ( n 为正整数). ?3? a 1 3 (2)由(1)知, S ? 1 ? ? , 1 2 1? q 1? 3

…… 6 分 …… 8 分

16

Sn ?

a1 1 ? q n 1? q

?

?

?1? 1? ? ? n 3 ? ?1? ? 3? ? ? ? ?1? ? ? ? . 1 2? ? ? ? 3? ? 1? 3

n

…… 10 分

n n 3 3? ?1? ? ?1? 由题意可知,对于任意的正整数 n ,恒有 k ? ? 1 ? ? ? ? ,解得 k ? 1 ? ? ? . 2 2? ?3? ? ? 3? ? ? n ? 2 ? ?1? ? ? 1 ? 数列 ? ? ? ? ? 单调递增,? 当 n ? 1 时,数列中的最小项为 , 3 ? ? ?3? ? ? 2 2 ? 必有 k ? ,即实数 k 的最大值为 . 3 3

18. 设数 {an } 的前n项和为S n , 对一切n ? N * ,点(n, S n )在函数f ( x) ? x 2 ? x 的图象上。 (1)求 an 的表达式; (2)设 An为数列 {

an ? 1 }的前n项积, 是否存在实数 a, 使得不等式 an

An an ? 1 ? a对一切n ? N * 都成立?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,
请说明理由; (3) 将数列{ an }依次按 1 项, 2 项循环地分为 (a1 ), (a2 , a3 ), (a4 ), (a5 , a6 ), (a7 ), (a8 , a9 ), (a10 ) , …, 分别计算各个括号内各数之和, 设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列 为 {bn }, 求b100 的值; (4) (选做)如果将数列{ an }依次按 1 项,2 项,3 项,…, m(m ? 3) 项循环;分别计 算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为 {bn } , 提出同(3)类似的问题( (3)应当作为特例) ,并进行研究,你能得到什么样的结 论? 8. 解: (1)?点(n, S n )在函数f ( x) ? x 2 ? x的图象上 ,? S n ? n 2 ? n. …………1 分

a1 ? S1 ? 2, 当n ? 2时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2n(n ? 1时也成立 ). ? a n ? 2n(n ? N * ).???? 4分
(2) An ? (1 ?

1 1 1 )(1 ? ) ?(1 ? ) a1 a2 an 1 1 1 )(1 ? ) ?(1 ? ) 2n ? 1, a1 a2 an

设 g (n) ? An 2n ? 1 ? (1 ?

17

因为

g (n ? 1) 1 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 3 ? (1 ? )? ? ? ? g ( n) a n ?1 2n ? 1 2n ? 2 2n ? 1

4n 2 ? 8n ? 3 4n 2 ? 8n ? 4

? 1,

所以g (n) ? g (n ? 1).????8分
故 g (n)单调递减, 于是[ g (n)]max ? g (l ) ?

3 2 3 即可. 2
…………10 分

要使不等式 An a n ? 1 ? a对一切n ? N 都成立, 只需a ?
*

(3)数列 {an } 依次按 1 项, 2 项循环地分为(2) , (4,6) , (8) , (10,12) ; (14) , (16,18) ; (20) ,…,每一次循环记为一组。由于每一个循环含有 2 个括号, 故 b100 是第 50 组中第 2 个括号内各数之和。 由分组规律知, b2 , b4 , b6 ,?, b100 ,?组成一个首项 b2 ? 4 ? 6 ? 10, 公差d ? 12 的等差数列。 …………13 分 所以 b100 ? 10 ? (50 ? 1) ?12 ? 598. (4)当 n 是 m 的整数倍时,求 bn 的值。 数列 {an } 依次按 1 项、2 项、3 项,…,m 项循环地分为(2) , (4,6) , (8, 10 , 12 ) , … , …………14 分

(m2 ? m ? 2, m2 ? m ? 4, m2 ? m ? 6,?, m2 ? m);(m2 ? m ? 2),
(m2 ? m ? 4, m2 ? m ? 6),?, (2m 2 ? 2,2m 2 ? 4,?,2m2 ? 2m), (2m2 ? 2m ? 2),?.
第 m 组,第 2m 组,…,第 km(k ? N ) 组的第 1 个数,第 2 个数,…,第 m
*

个 数 分 别 组 成 一 个 等 差 数 列 , 其 首 项 分 别 为

m 2 ? m ? 2, m 2 ? m ? 4, m 2 ? m ? 6,?, m 2 ? m.公差均为m(m ? 1).……16 分
则第 m 组、第 2m 组,…,第 km 组,…的各数之和也组成一个等差数列,其公 差为 m (m ? 1). …………17 分
2

第 m 组的 m 个数之和为

m[(m 2 ? m ? 2) ? (m 2 ? m)] ? m 3 ? m. ………18 分 2

当 n ? km时, bn ? m3 ? m ? (k ? 1) ? m2 (m ? 1) ? m(m ? 1)n ? m(m ? 1). …………21 分

18

19


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