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2014届高三数学(人教理科A版)课时训练卷《第22讲 简单的三角恒等变换(精细解析) 下载地址


[第 22 讲 简单的三角恒等变换] (时间:45 分钟 分值:100 分) 基础热身 sin2α 1.[2013· 绥化一模] 若 tanα =3,则 2 的值为( cos α A.2 B.3 C.4 D.6 2. [2013· 金华十校期末] 设 α, β 均为锐角, 且 cos(α+β)=sin(α-β), 则 tanα 的值为( A.2 B. 3 C.1 D. 3 3 )
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)

)

4 3.已知等腰三角形顶角的余弦值等于 ,则这个三角形底角的正弦值为( 5 A. 10 10 B.- 10 10

3 10 3 10 C. D.- 10 10 A C A C 4.在△ABC 中,A,B,C 成等差数列,则 tan +tan + 3tan ?tan 的值是( 2 2 2 2 A.± 3 C. 3 D. B.- 3 3 3 )

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能力提升 C 5.在△ABC 中,若 sinAsinB=cos2 ,则△ABC 是( 2 A.等边三角形 B.等腰三角形
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)

C.直角三角形 D.既非等腰又非直角的三角形 π π π 4 6.[2013· 豫南六校联考] 若 α∈? ,π ?,且 sinα = ,则 sin?α + ?+cos?α + ?= 5 4? 4? ?2 ? ? ? ( ) 4 2 A. 5 3 2 C. 5 4 2 B.- 5 3 2 D.- 5 π π π 1 10 = ,α∈? , ?,则 sin?2α + ?的值为( 3 4 2 4? ? ? ? tanα 5 2 C. 10 7 2 D. 10 )

7.若 tanα + 2 10

A.-

B.

2 10

8.[2013· 吉林模拟] 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中 ω>0,-π <φ ≤π ,若 π f(x)的最小正周期为 6π ,且当 x= 时,f(x)取得最大值,则( 2 A.f(x)在区间[-2π ,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π ,-π ]上是增函数 C.f(x)在区间[3π ,5π ]上是减函数 D.f(x)在区间[4π ,6π ]上是减函数 9.[2013· 哈尔滨检测] 已知 θ 为△ABC 的一个内角,且 sinθ +cosθ =m,若 m∈(0, 1),则关于△ABC 的形状的判断,正确的是( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都有可能 π 4 5 10.已知 tan(α-β)= ,sinβ =- ,β∈?- ,0?,则 tanα =________. 3 13 ? 2 ? 1+tanα 1 11.若 =2 014,则 +tan2α =________. 1-tanα cos2α 12.计算: 3tan12°-3 =________. 4cos212°sin12°-2sin12°
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)

)

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13.[2013· 山西四校联考] 已知函数 f(x)=sin2ω x+ 3sinω x?cosω x,x∈R,又 f(α)= 3π 1 1 - ,f(β)= ,若|α-β|的最小值为 ,则正数 ω 的值为________. 2 2 4 14.(10 分)[2013· 银川检测] 设函数 f(x)=sinxcosx- 3cos(x+π )cosx(x∈R). (1)求 f(x)的最小正周期; π 3 π 3 (2)若函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位,向上平移 个单位后,按 b=? , ?平 4 2 ?4 2 ? π 移后得到函数 y=g(x)的图象,求 y=g(x)在?0, ?上的最大值. 4? ?

1 5 15.(13 分)已知 tanα =- ,cosβ = ,α,β∈(0,π ). 3 5 (1)求 tan(α+β)的值; (2)求函数 f(x)= 2sin(x-α)+cos(x+β)的最大值.

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难点突破 16.(12 分)如图 K22-1,点 P 在以 AB 为直径的半圆上移动,且 AB=1,过点 P 作圆 1 的切线 PC,使 PC=1.连接 BC,当点 P 在什么位置时,四边形 ABCP 的面积等于 ? 2

图 K22-1

课时作业(二十二) 【基础热身】 1.D [解析] sin2α =2tanα =6. cos2α

2.C [解析] 由已知得 cosα cosβ -sinα sinβ =sinα cosβ -cosα sinβ ,所以 cosα (cosβ +sinβ )=sinα (cosβ +sinβ ),因为 β 为锐角,所以 sinβ +cosβ ≠0,所以 sinα =

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cosα ,即 tanα =1,故选 C. π α 3.C [解析] 设该等腰三角形的顶角为 α,底角为 β,则有 α+2β=π ,β= - , 2 2 α π 0< < , 2 2 α α π α ∵2cos2 -1=cosα ,∴sinβ =sin? - ?=cos = 2 2 ? 2 2? 4.C [解析] ∵A,B,C 成等差数列,∴2B=A+C, π 2π 又 A+B+C=π ,∴B= ,A+C= , 3 3 A C A C ∴tan +tan + 3tan ?tan 2 2 2 2 A C?? A C? A C =tan? ? 2 + 2 ??1-tan 2 ?tan 2 ?+ 3tan 2 tan 2 = 3,故选 C. 【能力提升】 C 5.B [解析] ∵sinAsinB=cos2 , 2 1 1 ∴ [cos(A-B)-cos(A+B)]= (1+cosC), 2 2 ∴cos(A-B)-cos(π -C)=1+cosC, ∴cos(A-B)=1, ∵-π <A-B<π ,∴A-B=0, ∴△ABC 为等腰三角形. 6.D 4 π 3 [解析] ∵sinα = , <α <π ,∴cosα =- , 5 2 5 cosα +1 3 10 = ,故选 C. 2 10

π π ∴sin?α + ?+cos?α + ? 4? 4? ? ? 3 2 = 2cosα =- . 5 7. A 1 10 1 [解析] 由 tanα + = ?(tanα -3)(3tanα -1)=0 得 tanα =3 或 tanα = , 3 3 tanα
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π π π 1 2 sin2α +cos2α 2 由 α∈? , ?得 tanα >1,故 tanα = 舍去,而 sin?2α+ ?= ? = ? 3 2 1 2 4? ?4 2? ? 2sinα cosα +cos2α -sin2α π 2 ,将 分式分子与分 母同除 以 cos2 α 得 sin ?2α + ? = ? 2 2 2 4? ? cos α +sin α 2tanα +1-tan2α 2 =- . 10 1+tan2α 8.A π π 1 1 π [解析] 由题意可得 ω= ,由题知 f? ?=2sin? ? +φ?=2,解得 φ= ,所 3 3 ?2? ?3 2 ?

π 1 π π 5π π 1 π 以 f(x)=2sin x+ ,当- ≤ x+ ≤ ,即- ≤x≤ 时函数是增函数,故选 A. 3 3 2 3 3 2 2 2 9.B π π 2 [解析] m=sinθ +cosθ = 2sin?θ + ?∈(0,1),所以 0<sin?θ + ?< .因为 4? 4? 2 ? ?

3π π π 3π θ 为△ABC 的一个内角,所以 <θ + <π ,即 <θ < ,故选 B. 4 4 2 4 10. 33 56 [ 解 析 ] 根 据 已 知 cos β = 12 5 , tan β = - , tan α = tan[(α - β) + β] = 13 12

4 5 - 3 12 tan(α-β)+tanβ 33 = = . 4 5 56 1-tan(α-β)· tanβ 1+ ? 3 12 11.2 014 [解析] sin2α 1+sin2α 1 1 +tan2α = + = cos2α cos2α cos2α cos2α



(cosα +sinα )2 cosα +sinα 1+tanα = = =2 014. cos2α -sin2α cosα -sinα 1-tanα 3 [解析] 3tan12°-3 3sin12°-3cos12° = = 4cos 12°sin12°-2sin12° 2cos24°sin12°cos12°
2

12 . - 4

2 3sin(12°-60°) =-4 3. 1 sin48° 2 13. 1 + . 2 3π 1 1 1 又由 f(α)=- ,f(β)= ,且|α-β|的最小值为 ,可知 T=3π ,于是 ω= . 2 2 4 3
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1 3

[解析] f(x)=

1-cos2ω x π 3 3 1 1 + sin2ω x= sin2ω x- cos2ω x+ =sin?2ω x- ? 2 2 2 2 2 6? ?

1 14.解:(1)f(x)= sin2x+ 3cos2x 2 1 3 = sin2x+ (1+cos2x) 2 2 1 3 3 = sin2x+ cos2x+ 2 2 2 π 3 =sin?2x+ ?+ . 3? 2 ? 2π 故 f(x)的最小正周期为 T= =π . 2 π 3 (2)依题意 g(x)=f?x- ?+ ? 4? 2 π π 3 3 =sin?2?x- ?+ ?+ + 2 ? ? 4? 3? 2 π =sin?2x- ?+ 3. 6? ? π π π π 当 x∈?0, ?时,2x- ∈?- , ?,g(x)为增函数, 6 ? 6 3? 4? ? π π 3 3 所以 g(x)在?0, ?上的最大值为 g? ?= 4? ? ?4? 2 . 15.解:(1)由 cosβ = 5 ,β∈(0,π ), 5

tanα +tanβ 2 5 得 sinβ = ,tanβ =2,所以 tan(α+β)= =1. 5 1-tanα tanβ 1 (2)因为 tanα =- ,α∈(0,π ), 3 所以 sinα = 1 3 ,cosα =- . 10 10

3 5 5 5 2 5 又因为 f(x)=- sinx- cosx+ cosx- sinx 5 5 5 5 =- 5sinx, 所以 f(x)的最大值为 5. 【难点突破】
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16.解:设∠PAB=α,连结 PB.

∵AB 是直径,∴∠APB=90°. 又 AB=1,∴PA=cosα ,PB=sinα . ∵PC 是切线,∴∠BPC=α.又 PC=1, ∴S 四边形 ABCP=S△APB+S△BPC 1 1 = PA?PB+ PB· PC· sinα 2 2 1 1 = cosα sinα + sin2α 2 2 1 1 = sin2α + (1-cos2α ) 4 4 1 1 = (sin2α -cos2α )+ 4 4 = π 2 ? 1 sin 2α - ?+ . 4 4? 4 ?

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由已知,

π 2 ? 1 1 sin 2α - ?+ = , 4 4? 4 2 ?

π 2 ∴sin?2α - ?= . 4? 2 ? π π π 3π 又 α∈?0, ?,2α- ∈?- , ?. 4 ? 4 2? 4 ? ? π π π ∴2α - = ,∴α = . 4 4 4 1 故当点 P 位于 AB 的中垂线与半圆的交点时,四边形 ABCP 的面积等于 . 2

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