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辽宁省沈阳四校2013届高三上学期期中联考数学(理)试题


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辽宁省沈阳四校 2013 届高三上学期期中联考数学(理)试 题
一.选择题。(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. 设集合 M ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? {x | log1 x ? 0} ,则 M ? N 等于(
2



A. (?1,1)

B. (1,3)

C. (0,1)

D. (?1,0)

2、下列说法中错误的个数是( ) .. ①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真; ②命题“ ?x ? R, x2 ? x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? x ? 0 ”; ③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题; ④“ x ≠3”是“| x |≠3”成立的充分条件. A.1 B.2 C.3

D.4 )

? x ? y ? 0, ? 3、若实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 3 ? 0, 则 2x ? y 的最大值为( ?0 ? x ? 3, ?
(A) 9 (B) 3 (C) 0

(D) ?3

4、 设函数 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数, 0≤x≤1 时,f ( x) ? 2 x(1 ? x) , f ( ? ) ? 当 则 ( A -

5 2



1 2

B

-

1 4

C

1 4

D

1 2
?

5、已知两点 A(1,0), B(1, 3), O 为坐标原点,点 C 在第二象限,且 ?AOC ? 120 ,设

???? ??? ? ??? ? OC ? ?2 OA ? ? OB (? ?R ),则 ? 等于 ( ) ,

B.2 C.1 6、在等比数列{an}中,an>0,且 a2=1-a1,a4=9-a3,则 a4+a5= A.16 B.27 C36 7 、 函 数 f ( x) ? A sin( wx ? ? )(其中A ? 0,| ? |?

A. ? 1

D. ? 2 ( D.81 )

?

2

) 的图象如图所示,为了得到
)

g ( x) ? cos 2 x 的图象,则只需将 f ( x) 的图象(

? 个单位长度 6 ? B.向右平移 个单位长度 12 ? C.向左平移 个单位长度 6 ? D.向左平移 个单位长度 12
A.向右平移
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8、三棱柱三视图(主视图和俯视图是正方形,左视图是等腰直角 三角形)如图所示, 则这个三棱柱的全面积等于 ( ) A. 12 ? 4 2 B. 6 ? 2 2 C. 8 ? 4 2 D. 4

9、若函数 y ? 是( )

x3 ? x 2 ? 1(0 ? x ? 2) 的图象上任意点处切线的倾斜角为 ? ,则 ? 的最小值 3

? A. 4

B.

? 6

C.

5? 6
2

D.

3? 4

10、在各项均不为零的等差数列{a n }中,若 a n?1 - a n ( ) A -2 B 0 C 1

+ a n-1 =0(n≥2),则 S 2 n -1 -4n= D 2

11、已知 f(x)是定义在(0,+ ? )上的非负可导函数,且满足 xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 。对任 意正数 a、b,若 a<b,则必有( ) A.af(b)≤bf(a) B. bf(a)≤af(b) C. af(a)≤f(b) 12、已知函数 f ( x) ? ?

D. bf(b)≤f(a)

?kx ? 1, x ? 0, 则下列关于函数 y ? f ? f ( x)? ? 1 的零点个数的判断正 ln x, x ? 0 . ?

确的是 A.当 k ? 0 时,有 3 个零点;当 k ? 0 时,有 2 个零点 B.当 k ? 0 时,有 4 个零点;当 k ? 0 时,有 1 个零点 C.无论 k 为何值,均有 2 个零点 D.无论 k 为何值,均有 4 个零点 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分). 13.已知向量 a =(1,2), b =(x,4),且 a ? b ,则 x= 14 、 已 知 四 面 体 P ? A B C 的 外 接 球 的 球 心 O 在 AB 上 , 且 PO ? 平 面 ABC ,

?

?

?

?

2 AC ? 3 AB , 若四面体 P ? ABC 的体积为
15、如图,由曲线 y ? sin x ,直线 x ? _____________;

3 ,则该球的体积为_____________; 2
面 积 是

3 ? 与 x 轴围成的阴影部分 的 2

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16、已知数列{a n }满足 a n =n+

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c ? ,若对所有 n ? N 不等式 a n ≥a 3 恒成立, n

则实数 c 的取值范围是_____________; 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分) 17 、 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) ?ABC 中 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 向 量

?? ? ?? ? B m ? (2sin B, ? 3), n ? (cos 2 B, 2 cos 2 ? 1) ,且 m / / n 2 (1)求锐角 B 的大小,
(2)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 的最大值

18、(本小题满分 12 分) 已知数列{ an }是等差数列,且满足:a1+a2+a3=6,a5=5; 数列{ bn }满足: bn - bn-1 = an-1 (n≥2,n∈N﹡),b1=1. (Ⅰ)求 an 和 bn ; (Ⅱ)记数列 cn =

1 (n∈N﹡),若{ cn }的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . bn+2n

19、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

, ). 6 2 (Ⅰ)求 ? 的值;
(Ⅱ)将函数 y ? f (x) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的

点(

? 1

1 1 ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ? sin( ? ? )( 0 ? ? ? ? ) ,其图象过 2 2 2

y ? g (x) 的图象,求函数 g (x) 在 [0, ] 上的最大值和最小值。 4
20、(本小题满分 12 分)如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,

?

1 ,纵坐标不变,得到函数 2

AD ? CD , AB ∥ CD , AB ? AD ?

1 CD ? 2 ,点 M 在线段 EC 上. 2 (I)当点 M 为 EC 中点时,求证: BM ∥平面 ADEF ;
(II)当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为 的体积.

6 时, 求三棱锥 M ? BDE 6

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21、(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x(e x ?1) ? ax2 (Ⅰ)若 a=

1 ,求 f(x)的单调区间; 2

(Ⅱ)若当 x ≥0 时 f(x)≥0,求 a 的取值范围。

22、(本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3 . (1) 求函数 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (2) 对一切 x ? (0, ??) , 2 f ( x)≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3) 证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立. e x ex

考试题答案
一. 选择题。 BCAAC 二、填空题: 13、-8 三、解答题: 14、 4 3? 15、3 16、6≤c≤12 BDADA

AB

2 17、解:(1)? m // n ? 2 sin B(2 cos

?

?

B ? 1) ? ? 3 cos 2 B 2

? sin 2B ? ? 3 cos2B
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t a n B ? ? 3 ……………3 分 2

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又? B 为锐角 ? 2B ? ?0, ? ? ? 2 B ? (2)? B ?

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2? 3
?B ?

?
3

………6 分

?
3

, b ? 2,由余弦定理得 cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 2ac

即 a 2 ? c 2 ? ac ? 4 ? 0 ----------------------------------------------------9 又? a 2 ? c 2 ? 2ac 代入上式得 ac ? 4 (当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立)…10 分

S ?ABC ?

1 3 ac sin B ? ac ? 3 (当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立。)………12 分 2 4

18、解:(Ⅰ)∵ a1 ? a2 ? a3 ? 6 , a5 ? 5 ,∴ ? 分

?3a1 ? 3d ? 6 ?a1 ? 1 ?? , …………… 2 ?d ? 1 ?a1 ? 4d ? 5

∴ an ? n ;…………………………………………………………………… 3 分 又 bn ? bn?1 ? an?1 ? n ? 1 ,∴当 n ? 2 时,

bn =(bn ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ? (bn?2 ? bn?3 ) ? ? ? (b3 ? b2 ) ? (b2 ? b1 )+b1 ? (n ?1) ? (n ? 2) ? (n ? 3) ? ? ? 2 ? 1+1


bn ?

n(n ? 1) n2 ? n ? 2 ? b1 ? , ……………………………………………………4 分 2 2
又 b1 ? 1 适合上式, ……………………………………………………………5

分 ∴ bn ? (Ⅱ)∵ cn ?

n2 ? n ? 2 . ……………………………………………………………6 分 2

1 2 2 1 1 ,…………… 8 分 ? 2 ? ? 2?( ? ) bn ? 2n n ? 3n ? 2 (n ? 1) ? (n ? 2) n ?1 n ? 2
2 3 3 4 3 4 n n ?1 n ?1 n ? 2

∴ Tn ? 2( 1 ? 1 ) ? 2( 1 ? 1 ) ? 2( 1 ? 1 ) ? ? ? 2( 1 ? 1 ) ? 2( 1 ? 1 )

1 1 2 n ? 2( ? ) ? 1? = .………………………………… 12 分 2 n?2 n?2 n?2 1 1 ? 2 19、解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? sin 2 x sin ? ? cos x cos ? ? sin( ? ? )(0 ? ? ? ? ) 2 2 2 1 1 ? cos 2 x 1 cos ? ? cos ? 所以 f ( x) ? sin 2 x sin 2? ? 2 2 2

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1 1 sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? 2 2 1 ? (sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ) 2 1 ? cos(2 x ? ? ). 2 ? 1 又函数图象过点 ( , ) 6 2 1 1 ? 所以 ? cos(2 ? ? ? ) 2 2 6 ?
即 cos(

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?

3

? ? ) ? 1,

又0 ?? ? ? 所以 ? ?

? . 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 到原来的

1 ? cos(2 x ? ) ,将函数 y ? f ( x) 的图象上各点的横坐标缩短 2 2

1 ,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,可知 2 1 ? g ( x) ? f (2 x) ? cos(4 x ? ), 2 3
因为 x ? [0,

?

4

]

所以 4 x ? [0, ? ] 因此 4 x ? 故?

?
3

? [?

? 2?
3 , 3

]

1 ? ? cos(4 x ? ) ? 1 2 3

所以 y ? g ( x)在[0,

?

4

] 上的最大值和最小值分别为

1 1 和? . 2 4

20、设 EM ? ? EC(0 ? ? ? 1 ,则, x ? 0, y ? 4? , z ? 2 ? 2? 即 M (0,4? ,2 ? 2? ) .——6 分 设

n ? ( x1 , y1 , z1 )







BDM

















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OB ? n ? 2 x1 ? 2 y1 ? 0
取 x1 ? 1 得 y1 ? ?1, z1 ?

OM ? n ? 4?y1 ? (2 ? 2? )z1 ? 0
2? 1? ?


n ? (1,?1,

2? ) 1? ?

又由题设, OA ? (2,0,0) 是平面 ABF 的一个法向量,—————8 分 ∴

| c o s OA, n ?|? ?

OA ? n | OA | ? | n |

? 2 2?

2 4? 2 (1 ? ? ) 2

?

6 6

?? ?

1 ————10 分 2

即点 M 为 EC 中点,此时, S ?DEM ? 2 , AD 为三棱锥 B ? DEM 的高, ∴ 21、解: (I) a ?

VM ?BDE ? VB?DEM ?

1 4 ? 2 ? 2 ? ——————12 分 3 3

1 1 时, f ( x) ? x(e x ? 1) ? x 2 , 2 2

f ?( x) ? e x ? 1 ? xe x ? x ? (e x ? 1)( x ? 1).

当x ? (??,?1)时, f ?( x) ? 0;当x ? (?1,0)时, f ?( x) ? 0;当x ? (0,??)时, f ?( x) ? 0. 故f ( x)在(??,?1), (0,??)单调增加 在(?1,0)单调减少 , .
(II) f ( x) ? x(e ? 1 ? ax).
x

令 g ( x) ? e ? 1 ? ax, 则g ?( x) ? e ? a.
x x

, 若 a ? 1, 则当x ? (0,??)时, g ?( x) ? 0, g ( x)为增函数 而g (0) ? 0, 从而当x ? 0时 g ( x) ? 0,即f ( x) ? 0.
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若 a>1,则当 x ? (0, ln a)时, g ?( x) ? 0, g ( x) 为减函数,而 g (0) ? 0, 从而当 x ? (0, ln a)时g ( x) ? 0,即f ( x) ? 0. 综合得 a 的取值范围为 (??,1]. 22、[解析]:

1 1 f '( x) ? ln x ? 1 , x ? (, ) , f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, x ? ( , ??) , f '( x) ? 0 , 当 当 0 e e f ( x) 单调递增.
(1) ① 0 ? t ? t ? 2 ? ,t 无解;

1 e

1 1 1 1 ? t ? 2 ,即 0 ? t ? 时, f ( x)min ? f ( ) ? ? ; e e e e 1 1 ③ ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时, f ( x) 在 [t , t ? 2] 上单调递增, f ( x)min ? f (t ) ? t ln t ; e e 1 ? 1 ?? e , 0 ? t ? e ? 所以 f ( x) min ? ? . ?t ln t,t ? 1 ? e ? 3 (2) 2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3 ,则 a ? 2ln x ? x ? , x 3 ( x ? 3)(x ? 1) 设 h( x) ? 2ln x ? x ? ( x ? 0) ,则 h '( x ) ? , x ? (0,1) , h '( x) ? 0 , h( x) 单 x x2 调递减, x ? (1, ??) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增,所以 h( x)min ? h(1) ? 4 . 因为对一切 x ? (0, ??) , 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,所以 a ? h( x)min ? 4 . x 2 (3) 问题等价于证明 x ln x ? x ? ( x ? (0, ??)) ,由⑴可知 f ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的 e e 1 1 最小值是 ? ,当且仅当 x ? 时取到. e e x 2 1 1? x 设 m( x) ? x ? ( x ? (0, ??)) , m( ) ? x , 则 'x 易得 m( x)max ? m(1) ? ? , 当且仅当 x ? 1 时 e e e e 1 2 取到,从而对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? x ? 成立. e ex
② 0?t ?

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