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2014届高三数学(人教理科A版)课时训练卷《第23讲 正弦定理和余弦定理(精细解析)


第 23 讲
班级: 基础热身

正弦定理和余弦定理
姓名: 座号:

1.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,又 a,b,c 成等比数列, ) 3 4 C. 2 4 D. 2 3 )

且 c=2a,则 cosB=( 1 A. 4 B.

2. △ABC 的内角 A, B, C 的对边边长分别为 a, b, c.若 a= 5 3 5 4 5 5

5 b, A=2B, 则 cosB=( 2 5 6

A.

B.

C.

D.

3. 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别 a, b, c, 2c2=2a2+2b2+ab, △ABC 是( A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形

)

4. 在△ABC 中, A, B, C 所对的边为 a, b, c, 如果 c= 3a, B=30°, 那么 C 等于( A.120° 能力提升 B.105° C. 90° D.75°

)

5.△ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边,如果 a,b,c 成等 ) 3+ 3 3

1 差数列,∠B=30°,△ABC 的面积为 ,那么 b 为( 2 A.1+ 3 B.3+ 3 C.

D.2+ 3

6.[2013· 湖北卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若三边的长为连 续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acosA,则 sinA∶sinB∶sinC 为( A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 )

D.6∶5∶4 )

7. [2013· 大连检测] 在△ABC 中, AC= 7, BC=2, B=60°, 则 BC 边上的高等于( A. 3 2 B. 3 3 【 2 C. 3+ 6 2 D. 3+ 39 4

8.[2013· 哈师大检测] 在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是(

)

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.不能确定 )

3 5 9. 设△ABC 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 cosA= , cosB= , b=3, c=( 5 13 A. 14 5 B. 12 13 C. 5 13 D. 56 65

10.[2013· 安徽卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,则下列命题 正确的是________(写出所有正确命题的编号). π ①若 ab>c2,则 C< ; 3 ④若(a+b)c<2ab,则 C> π π ②若 a+b>2c,则 C< ;③若 a3+b3=c3,则 C< ; 3 2 π ; 2 π ⑤若(a2+b2)c2<2a2b2,则 C> . 3

11.在直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-1,0),C(1,0),顶点 B 在 sinA+sinC x2 y2 椭圆 + =1 上,则 的值为________. 4 3 sinB 1 12.[2013· 石家庄检测] 在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cosB=- ,则 b=________. 4 13. 设△ABC 内角 A, B, C 所对的边分别 a, b, c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab, C=________. 14.(10 分)△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(2sinB,- 3), ? ? 2B n=?cos2B,2cos 2 -1?且 m∥n. ? ? (1)求锐角 B 的大小;

(2)如果 b=2,求△ABC 的面积 S△ABC 的最大值.

5. 设△ABC 的内角 A, B, C 对边的长分别为 a, b, c, 且有 2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC. (1)求角 A 的大小;(2)若 b=2,c=1,D 为 BC 的中点,求 AD 的长.

难点突破 16.(12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 a=2,c= 2, cosA=- 2 . 4

(1)求 sinC 和 b 的值; π? ? (2)求 cos?2A+ ?的值. 3? ?

课时作业(二十三) 【基础热身】 1.B [解析] ∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac.

a2+c2-b2 又由 c=2a,∴cosB= 2ac a2+4a2-ac 5a2-2a2 3 = = = . 2ac 4a2 4 2.B sinA sinB 5 [解析] 由正弦定理 a = b ,又∵a= b,A=2B, 2



sin2B sinB = b ,又∵b≠0,sinB≠0, 5 b 2



2cosB 5 =1,∴cosB= .故选 B. 4 5 2 1 [解析] ∵2c2=2a2+2b2+ab,∴a2+b2-c2=- ab, 2

3.A

a2+b2-c2 1 ∴cosC= =- <0. 2ab 4 所以△ABC 是钝角三角形.故选 A. 4.A -C)= [解析] 依题意由正弦定理得 sinC= 3sinA,又 B=30°,∴sinC= 3sin(150°

3 3 1 3 cosC+ sinC, 即- sinC= cosC, ∴tanC=- 3.又 0° <C<180°, 因此 C=120°. 2 2 2 2

【来源:全,品…中&高*考*网】 【能力提升】 5.C 1 1 [解析] ∵ acsinB= ,∴ac=2, 2 2

又 2b=a+c,∴a2+c2=4b2-4, 由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 得,b= 6.D 3+ 3 . 3

[解析] 因为 a,b,c 为连续的三个正整数,且 A>B>C,可得 a=c+2,b=c+1①.

b2+c2-a2 b2+c2-a2 又因为 3b=20acosA, 由余弦定理可知 cosA= , 则 3b=20a· ②, 联立①②, 2bc 2bc 化简可得 7c2-13c-60=0,解得 c=4 或 c=- sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=6∶5∶4.故选 D. 7.B [解析] 先用余弦定理求出边 c 的长度,再直接解直角三角形.由余弦定理得 7= 15 (舍去),则 a=6,b=5.又由正弦定理可得, 7

c2+22-2×2c×cos60°,解得 c=3,再由 BC 边上的高构成的直角三角形中,得 h=c×sinB =3× 3 3 3 = ,故选 B. 2 2 [解析] 考查正弦定理和判断三角形的形状,考查考生的转化思想,关键是利用正

8.C

弦定理,把角转化成边,再利用边之间的关系,判断三角形的形状. a2+b2-c2 由正弦定理可把不等式转化为 a +b <c ,cosC= <0,所以△ABC 为钝角三角 2ab
2 2 2

形.故选 C. 9.A 3 5 4 12 [解析] 因为 cosA= ,cosB= ,所以 sinA= ,sinB= ,因为 sinC=sin[180° 5 13 5 13

4 5 3 12 56 c - (A + B)] = sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB = × + × = ,由正弦定理知 = 5 13 5 13 65 sinC b c 3 14 ,即 = ,解得 c= . sinB 56 12 5 65 13 10.①②③ 等式等. a2+b2 b a 1 对于①, 由 c2=a2+b2-2abcosC<ab 得 2cosC+1> ab =a+b≥2, 则 cosC> , 因为 0<C< 2 π π ,所以 C< ,故①正确; 3 对于②,由 4c2=4a2+4b2-8abcosC<a2+b2+2ab 得 ab(8cosC+2)>3(a2+b2),即 8cosC π 1 ?a b? +2>3?b+a?≥6,则 cosC> ,因为 0<C<π ,所以 C< ,故②正确; ? ? 2 3 a b ?a?3 ?b?3 ?a?3 ?b?3 ?a? 对于③,a3+b3=c3 可变为?c ? +?c? =1,可得 0<c <1,0< c<1,所以 1=?c ? +?c ? <?c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 π ?b?2 +?c ? ,所以 c2<a2+b2,故 C< ,故③正确; ? ? 2 1 1 1 2 对于④,(a+b)c<2ab 可变为 2× c>a+b≥ ,可得 ab>c,所以 ab>c2,因为 a2+b2≥ ab π 2ab>ab>c2,所以 C< ,④错误; 2 a2+b2 a2+b2 2 1 1 2 1 1 对于⑤, (a2+b2)c2<2a2b2 可变为 2+ 2< 2, 即 2>ab, 所以 c2<ab≤ , 所以 cosC> a b c c 2 2ab [解析] 本题考查命题真假的判断,正、余弦定理,不等式的性质,基本不

π 1 ≥ ,所以 C< ,故⑤错误.故答案为①②③. 2 3 11.2 [解析] 由题意知△ABC 中,AC=2,BA+BC=4, sinA+sinC BC+BA = AC =2. sinB

由正弦定理得

12 . 4

a2+c2-b2 4+(c-b)(c+b) 1 1 [ 解析 ] cosB = =- ,可得 cosB = =- , 2ac 4 4c 4

?a=2, 4+7(c-b) =-1,8c-7b+4=0,结合 b+c=7,可得?b=4,答案为 4. c ?c=3
13. 2π 3 [解析] 由已知条件(a+b-c)(a+b+c)=ab, 化简得 a2+b2-c2=-ab, 所以 cosC

a2+b2-c2 -ab 2π 1 = = =- .又 C 是三角形的内角,则 C∈(0,π ),所以 C= . 2ab 2ab 2 3 14.解:(1)∵m∥n, ? ? 2B ∴2sinB?2cos 2 -1?=- 3cos2B, ? ? ∴sin2B=- 3cos2B,即 tan2B=- 3. 又∵B 为锐角,∴2B∈(0,π ), ∴2B= 2π π ,∴B= . 3 3 π ,b=2, 3 a2+c2-b2 得, 2ac

(2)∵B=

∴由余弦定理 cosB= a2+c2-ac-4=0,

又∵a2+c2≥2ac,∴ac≤4(当且仅当 a=c=2 时等号成立). 1 3 S△ABC= acsinB= ac≤ 3(当且仅当 a=c=2 时等号成立),∴S△ABC 的最大值为 3. 2 4

15.解:(1)方法一:由题设知,2sinBcosA=sin(A+C)=sinB. 1 因为 sinB≠0,所以 cosA= . 2 由于 0<A<π ,故 A= π . 3

b2+c2-a2 a2+b2-c2 b2+c2-a2 方法二:由题设可知,2b· =a· +c· .于是 b2+c2-a2=bc.所 2bc 2ab 2bc b2+c2-a2 1 以 cosA= = . 2bc 2 由于 0<A<π ,故 A= π .【来源:全,品…中&高*考*网】 3

→ → ?2 1 → → 2=? → 2+2AB → ·AC →) 2 ?AB+AC? = (AB (2)方法一:因为AD +AC 4 2 ? ? π? 7 1? = ?1+4+2×1×2×cos ?= , 4? 3? 4 → |= 7.从而 AD= 7. 所以|AD 2 2 π 1 方法二:因为 a2=b2+c2-2bccosA=4+1-2×2×1× =3,所以 a2+c2=b2,B= . 2 2 因为 BD= 3 ,AB=1,所以 AD= 2 3 7 1+ = . 4 2

【难点突破】 16.解:(1)在△ABC 中,由 cosA=- 7 . 4 2 14 a c ,可得 sinA= ,又由 = 及 a=2,c 4 4 sinA sinC

= 2,可得 sinC=

由 a2=b2+c2-2bccosA,得 b2+b-2=0, 因为 b>0,故解得 b=1. 所以 sinC= 7 ,b=1. 4

(2)由 cosA=-

2 14 ,sinA= , 4 4

3 得 cos2A=2cos2A-1=- , 4 sin2A=2sinAcosA=- 7 . 4

π π -3+ 21 π? ? 所以,cos?2A+ ?=cos2Acos -sin2Asin = . 3 3 8 3? ?


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