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河北省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编13:圆锥曲线


河北省 2014 届高三理科数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编 13:圆锥曲线
一、选择题 1 . (河北省邯郸市 2014 届高三上学期摸底考试数学(理)试题)已知 F1 , F2 分别是双曲线 左右焦点,若 F2 关于渐近线的对称点为 M ,且有 | MF 1 |? c ,则此双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C. 2 2 D.2

x2 y 2 ? ? 1的 a 2 b2
( )

【答案】D 2 . (河北省高阳中学 2014 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上的点 P(m,-2)到焦点的距离为 4,则 m 的值为 ( ) A.4 B.-2 C.4 或-4 D.12 或-2 【答案】 C

x2 y 2 3 . (河北省 唐山市 2014 届高三摸底考试数学(理)试题)已知双曲线 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦 a b
点分别为 Fl,F2, 以 F1 F2 为直径的圆与 双曲线渐近线的一个交点为 (3,4), 则此双曲线的方程为 ( A. )

x2 y 2 ? ?1 16 9

B.

x2 y 2 ? ?1 3 4

C.

x2 y 2 ? ?1 9 16

D.

x2 y 2 ? ?1 4 3

【答案】C 4 . (河北省邯郸市武安三中 2014 届高三第一次摸底考试数学理试题)已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶 点在坐标原点 O,且经过点 M(2, y0 )若点 M 到焦点的距离为 3,则 OM = A. 2 2 【答案】B 二、填空题 5 . (河北省高阳中学 2014 届高三上学期第一次月考数学(理)试题) F 1 、 F2 是双曲线 B. 2 3 C .4 D. 2 5 ( )

x2 y 2 ? ? 1 的焦 16 20

点,点 P 在双曲线上,若点 P 到焦点 F 1 的距离等于 9,则点 P 到焦点 F2 的距离等于________. 【答案】17 2 2 2 6 . (河北省唐山市 2014 届高三摸底考试数学(理)试题)抛物线 y =2px (p>0)的准线截圆 x +y -2y-1=0 所得弦长为 2,则 p=_____________. 【答案】2 7 . (河北省张家口市蔚县一中 2014 届高三一轮测试数学试题)椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 a2 b2

为 F,直线 x ? m 与椭圆相交 于 A,B 两点,若 ?FAB 的周长最大时, ?FAB 的面积为 ab ,则椭圆的离心 率为________.

【答案】

2 2

8 . (河北省邯郸市 2014 届高三上学期摸底考试数学 (理) 试题) 已知 Q(2,1), F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, P 是抛物线上一个动点,则 | PF | ? | PQ | 的最小值为_______. 【答案】3 三、解答题 9 . ( 河 北 省 邯 郸 市 2014 届 高 三 上 学 期 摸 底 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 定 点 G(?3, 0) , S 是 圆

C : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 72 上的动点, SG 的垂直平分线与 SC 交于点 E ,设点 E 的轨迹为 M .
(1)求 M 的方程; (2)是否存在斜率为 1 的直线 l ,使得 l 与曲线 M 相交于 A、B 两点,且以 AB 为直径的圆恰好经过原点? 若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

【答案】解:(1)由题知 | EG |?| ES | ,所以 | EG | ? | EC |?| ES | ? | EC |? 6 2 又因为 | GC |? 6 ? 6 2 ,所以点 E 的轨迹是以 G, C 为焦点,长轴长为 6 2 的椭圆. 故动点 E 的轨迹方程为

x2 y 2 ? ? 1. 18 9

(2)假设存在符合题意的直线 l 与椭圆 C 相交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,其方程为 y ? x ? m

? y ? x ? m, ? 2 2 由 ? x2 y 2 消去 y ,化简得 3x ? 4mx ? 2m ? 18 ? 0 . ? 1, ? ? ?18 9
因为直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点, 所以 ? ? 16m ?12(2m ?18) ? 0 ,
2 2
2 化简得 m ? 27 ,解得 ?3 3 ? m ? 3 3

所以 x1 ? x2 ? ?

2(m 2 ? 9) 4m , x1 ? x2 ? . 3 3

因为以线段 AB 为直径的圆 恰好经过原点, 所以 OA ? OB ? 0 ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 又 y1 y2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? x1x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m ,
2

x1x2 ? y1 y2 ? 2x1x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m2 ?
解得 m ? ?2 3 由于 ?2 3 ? (?3 3,3 3) ,

4(m2 ? 9) 4m2 ? ? m2 ? 0 , 3 3

所以符合题意的直线 l 存在,所求的直线 l 的方程为

y ? x?2 3或 y ? x?2 3
10. (河北省容城中学 2014 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)已知点 A(-2,0),B(2,0),直线 PA 与 直线 PB 的斜率之积为 ? , 记点 P 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程. (2) 设 M,N 是曲线 C 上任意两点,且 OM ? ON ? OM ? ON , 问是否存在以原点为圆心且与 MN 总相切 的圆?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)设 P(x,y)

3 4

解得直线 MN 的方程为 x ? ?

12 . 7
12 . 7

∴原点 O 到直线 MN 的距离 d=

若直线 MN 斜率存在,设方程为 y=kx+m.

? y ? kx ? m, ? 由 ? x 2 y2 得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0. ? ? ?1 ?4 3
?8km 4m2 ? 12 , x1 x 2 ? . ?*? ∴ x1 ? x 2 ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

11. (河北省正定中学 2014 届高三上学期第一次月考数学试题)已知椭圆 C: 点是 F(1,0) ,且离心率为

x2 y 2 ? =1(a >b>0) 的一个焦 a 2 b2

1 . 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M ,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0,y0 ) ,求 y0 的取值范围.

【答案】(1)设椭圆 C 的半焦距是 c. 依题意,得 c ? 1. 因为椭圆 C 的离心率为

1 x2 y 2 2 2 2 ? =1. ,所以 a=2c=2,b =a -c =3. 故椭圆 C 的方程为 2 4 3

1)(k ? 0). (2)当 MN ? x 轴时,显然 y0=0. 当 MN 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y=k ( x-
y=k x- , ? ? 2 2 由?x y + =1, ? ?4 3

消去 y 并整理得

(3 +4 k2 x )2 - 8 k 2+ x 4- k (2 = 3) 0.

设 M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ), 线段 MN 的中点为 Q( x3,y3 ), 则 x1 ? x2 ?

8k 2 . 3 ? 4k 2

所以 x3 ?

?3k x1 ? x2 4k 2 . ? , y3 ? k ( x3 ? 1) ? 2 3 ? 4k 2 2 3 ? 4k

线段 MN 的垂直平 分线的方程为 y ?

3k 1 4k 2 ? ? ( x ? ). 3 ? 4k 2 k 3 ? 4k 2

在上述方程中,令 x=0,得 y0 ?

k2 1 ? . 2 3 3 ? 4k ? 4k k
所以 ?

当 k<0 时,

3 3 ? 4k ? ?4 3; 当 k>0 时, ? 4k ? 4 3. k k

3 3 ? y0 <0 或 0<y0 ? . 12 12

综上, y0 的取值范围是 [?

3 3 , ]. 12 12
x2 y 2 ? =1(a>b>0)上一点,F1、 a 2 b2

12. (河北省唐山市 2014 届高三摸底考试数学 (理) 试题) 已知点 M 是椭圆 C: F2 分别为 C 的左、右焦点,|F1F2|=4, ∠F1MF2 =60 ,∠F1 MF2 的面积为
o

4 3 3

(I)求椭圆 C 的方程; ( II)设 N(0,2),过点 p(-1,-2)作直线 l,交椭圆 C 异于 N 的 A、B 两点,直线 NA、NB 的斜率分别为 k1、 k2,证明:k1+k2 为定值.

【答案】

13. (河北省保定市八校联合体2014届高三上学期第一次月考数学 (理科) 试题) 已知椭圆C的中点在原点, 焦点在x轴上,离心率等于 (1)求椭圆C的方程; (2)点P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,A、B是椭圆上位 于直线PQ两侧的动点, (i)若直线AB的斜率为

1 ,它的一个顶点恰好是抛物线 x 2 ? 8 3y 的焦点. 2

1 ,求四边形APBQ面积的最大值; 2

(ii)当A、B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.

【答案】解:(1)设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则 b ? 2 3 . a2 b2



c 1 2 ? , a ? c 2 ? b 2 ,得 a ? 4 a 2

∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 16 12
1 x?t, 2

(2)(i)解:设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 y ? 代入

x2 y 2 ? ? 1 ,得 x 2 ? tx ? t 2 ? 12 ? 0 16 12

由 ? ? 0 ,解得 ? 4 ? t ? 4 由韦达定理得 x1 ? x 2 ? ?t , x1 x 2 ? t ? 12 .
2

四边形 APBQ 的面积 S ? ∴当 t ? 0 , S max ? 12 3

1 ? 6 ? x1 ? x 2 ? 3 48 ? 3t 2 2

(ii)解:当 ?APQ ? ?BPQ ,则 PA 、 PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k 则 PB 的斜率为 ? k , PA 的直线方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2)

? y ? 3 ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 y 2 ?1 (2) ? ? ?16 12
2

(1)

(1)代入(2)整理得 (3 ? 4k ) x ? 8(3 ? 2k ) kx ? 4(3 ? 2k ) ? 48 ? 0
2 2

x1 ? 2 ?

8(2k ? 3)k 3 ? 4k 2

同理 PB 的直线方程为 y ? 3 ? ? k ( x ? 2) ,可得 x 2 ? 2 ? ∴ x1 ? x2 ?

? 8k (?2k ? 3) 8k (2k ? 3) ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

16k 2 ? 12 ?48k , x1 ? x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

k AB ?

y1 ? y 2 k ( x1 ? 2) ? 3 ? k ( x 2 ? 2) ? 3 k ( x1 ? x 2 ) ? 4k 1 ? ? ? x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 2
1 2

所以 AB 的斜率为定值

? 3? 14. (河北省高阳中学 2014 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)已知,椭圆 C 过点 A?1, ?,两个焦 ? 2?
点为(-1,0),(1,0). (1)求椭圆 C 的方程; (2)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜率为定 值,并求出这个定值.

【答案】解:(1)由题意 c=1,由定义|F1A|+|F2A| = 9 4+ + 4 9 =4=2a, 4

∴a=2,∴b= 3,∴椭圆方程为 + =1 4 3 3 x y (2) 设直线 AE 方程为:y=k(x-1)+ ,代入 + =1 2 4 3
2 2

x2 y2

?3 ? 得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4? -k?2-12=0 ?2 ? ? 3? 设 E(xE,yE),F(xF,yF),因为点 A?1, ?在椭圆上, ? 2? ?3 ?2 4? -k? -12 3 ?2 ? 所以 xE= ,yE=kxE+ -k 2 3+4k 2
又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以-k 代 k,

?3 ?2 4? +k? -12 3 ?2 ? 可 得 xF= ,yF=-kxF+ +k 2 3+4k 2
所以直线 EF 的斜率 kEF=

yF-yE -k(xF+xE)+2k 1 = = , xF-xE xF-xE 2

1 即直线 EF 的斜率为定值,其值为 2

x2 ? y 2 ? 1,椭圆 C2 以 C1 15. (河北省邯郸市武安三中 20 14 届高三第一次摸底考试数学理试题) 已知椭圆 4
的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. (I)求椭圆 C2 的方程. (II)设 O 为坐标原点,点 A.B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程. 【答案】解:(1)椭圆 的长轴长为 4,离心率为

∵椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率 ∴椭圆 C2 的焦点在 y 轴上,2b=4,为 ∴b=2,a=4 ∴椭圆 C2 的方程为 ;

(2)设 A,B 的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB), ∵ ∴O,A,B 三点共线,且点 A,B 不在 y 轴上 ∴设 AB 的方程为 y=kx

将 y=kx 代入

,消元可得(1+4k )x =4,∴

2

2

将 y=kx 代入

,消元可得(4+k )x =16,∴

2

2

∵ ∴

,∴

=4

,

,解得 k=±1,

∴AB 的方程为 y=±x


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