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A卷2011-2012学年度下学期高一期中考试数学试题


2011—2012 学年度第二学期第一次模块考试

高一数学试题
第Ⅰ卷(选择题

(A 卷)
共 60 分)

一 选择题(共 12 个小题,每小题只有一个正确选项,从 A,B,C,D 四个选
项中选出一个你认为正确的选项,涂在答题卡的相应位置.每小题 5 分,共计 60 分) 1.
sin 390? 等于 (



A

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?

3 2

B

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3 2

C

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?

3 2

D

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1 2

2.一条直线经过点 P (?2,3) ,倾斜角为 ? ? 45? ,则这条直线的方程为 ( 1 B. x ? y ? 5 ? 0 C. x ? y ? 5 ? 0 D. x ? y ? 5 ? 0 3.圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 5 关于原点 P(0, 0) 对称的圆的方程为 ( ) A C
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)

A. x ? y ? 5 ? 0

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( x ? 2)2 ? y 2 ? 5 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 5

B D

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x2 ? ( y ? 2)2 ? 5 x2 ? ( y ? 2)2 ? 5


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4. 过点 P(4,-1)且与直线 3x-4y+6=0 垂直的直线方程是( A . 3x-4y-16=0 C . 4x+3y-13=0 B . 4x-3y-19=0 D . 3x+4y-8=0

5. 过点 (2,1) 的直线中被圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦长最大的直线方程 是 ( ) B. 3x ? y ? 7 ? 0 C. x ? 3 y ? 5 ? 0 D. x ? 3 y ? 5 ? 0

A. 3x ? y ? 5 ? 0

6.经过点 P(-3,-4),且在 x 轴、y 轴上的截距绝对值相等的直线的条数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D. 3 7.已知 sin 200? ? a ,则 tan160? 等于 A. ? ( C. ? )

a 1? a2

B.

a 1? a2

1? a 2 a

D.

1? a 2 a

?? ? 8. 要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ? ? 的图象 ( ?? ?
? 个单位 ? ? D.向左平移 个单位 ? y 9. 若实数 x、y 满足等式 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 ,那么 的最大值为 x ?1 ? 个单位 ? ? C.向右平移 个单位 ?



A.向左平移

B.向右平移

(

)

A. 2 2 ?

B. 2

C.

2 2

?

D.

2 4

10.圆 C 2 经过点 M (3,2) ,且与圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 5 ? 0 相切于点 N (1,2) , 则圆 C 2 的圆心坐标为
3 A.(2, ) 2




C.(2,1)
3 D.( ,2) 2

B.(1,2)

11. 若直线 y ? x ? m 与曲线 x ? 1 ? y 2 只有一个公共点,则实数 m 的取值范 围是 ( ) B. m ? 2 或 m ? ? 2 D. ? 1 ? m ? 1 或 m ? ? 2

A. m ? ? 2 C. ? 2 ? m ? 2

? 12.设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ,则下列结论正确的是 ( ) 6 ? A. f ( x) 的图象关于直线 x ? ? 对称 12 ? B. f ( x) 的图象关于点 ( , 0) 对称 6 ? C.把 f ( x) 的图象向左平移 个单位,得到一个偶函数的图象 6 ? D. f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 [0, ] 上为增函数 4

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二 填空题(共 4 个小题,每小题 4 分,共计 16 分)
13. 已知扇形的周长为 6cm,圆心角为 1 弧度,则该扇形的面积为
cm2 .

14. 设 f ( x) ? ax ? b sin3 x ? 1 ,( a , b 为常数),且 f (5) ? 7 ,则 f ( ?5) ?

.

15. 15 将一张坐标纸折叠一次, 使点 (0, 2) 与点 (4, 0) 重合, (0,4) 且点 与点 (m, n) 重合,则 m? n 的值是___________________
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16. 函数 f ( x) ? A sin(wx ? ? ), ( A, w, ? 是常数,A ? 0, w ? 0) 的部分图象如图所示, 则 f (0) ? ____.

第16题图

三 解答题(共 6 个小题,共计 74 分,写出必要的文字说明,推理,演算步骤)
17、 (本小题满分 12 分) 如图,已知三角形的顶点为 A(2, 4) , B(0, ?2) , C (?2,3) ,求: (Ⅰ)AB 边上的中线 CM 所在直线的方程; (Ⅱ)求△ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分)

已知圆 C 和 y 轴相切,圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,且过点 ? 0,-1? ,求圆 C 的方 程. 19. (本小题满分 12 分) 已知 f( ? )=
sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? ) ; ? tan(?? ? ? ) sin( ?? ? ? )

(Ⅰ)化简 f( ? ); (2)若 ? 是第三象限角,且 cos ?? ?
? ? 3? ? 1 ?? 2 ? 5

,求 f( ? )的值.

20. (本小题满分 12 分)
π? ?π 求函数 f ( x ) ? tan ? x ? ? 的定义域、周期和单调递增区间. 3? ?2

21、 (本小题满分 12 分) 已知圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 (a ? 0) 及直线 l : x ? y ? 3 ? 0 . 当直线 l 被圆
C 截得的弦长为 2 2 时, 求 (Ⅰ) a 的值; (Ⅱ)求过点 (3,5) 并与圆 C 相切的切线方程.

22. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (0 ? ? ? ? ), 且f ( x) 的图象关于直线 x ? (Ⅰ)求 ? ;

?
8

对称.

? ? 7? ? (Ⅱ)作出函数 f ? x ? , x ? ? ? , ? 的图象(不用写出解题步骤) ........ ? 8 8 ?

? 7? ? (III) 若方程 f ( x) ? m ? 0 在 ?0, ? 上有且仅有两解, 求实数 m 的取值范围. ? 8 ?

y

1



? 8

O

? 8

? 4

3? 8

? 2

5? 8

3? 4

7? 8

-1

参考答案: 一、DCACA DBCDA 二、13、 2 三、

DC 15、
6 5

14、-5

16、

6 2

17、 )解:∵AB 中点 M 的坐标是 M (1,1) , (Ⅰ
中线 CM 所在直线的方程是

……………………………………2 分

y ?1 x ?1 ? ,……………………………………5 分 3 ? 1 ?2 ? 1

即 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 …………………………………………………………………6 分

(Ⅱ)

AB ? (0 ? 2) 2 ? (?2 ? 4) 2 ? 2 10 ………………………………………………8 分

直线 AB 的方程是 3x ? y ? 2 ? 0 , 点 C 到直线 AB 的距离是 d ? 所以△ABC 的面积是 S ?

| 3 ? (?2) ? 3 ? 2 | 32 ? 12

?

11 10

……………………………10 分

1 AB ? d ? 11 .……………………………………………12 分 2

18、 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 9
19、解

(1)f( ? )= sin ? ? cos? ? (? tan? ) =-cos ? . ……………………………6 分
tan ? sin ?

(2) ∵ cos ?? ? 3? ? =-sin ? , ∴ sin ? =? ?
? 2 ?

1 5

,cos ? =-

5 2 ? 12 2 ?? 6 5 5

,∴

f( ? )= 2
5

6

.…12 分

20、解:由

π π π 1 x ? ? kπ ? ,得 x ? 2k ? ( k ? Z ). 2 3 2 3

∴函数 f ( x ) 的定义域是 ? x | x ? 2k ? , k ? Z ? ;………………………………………4 分

? ?

1 3

? ?

由于 f ? x ? ? tan ?

π? ?π π ? ?π π ? ?π x ? ? ? tan ? x ? ?π ? ? tan ? ? x ? 2 ? ? ? ? f ? x ? 2 ? , 3? 3 3? ?2 ?2 ? ?2

因此函数 f ( x ) 的最小正周期为2.…………………………………………………………8 分 由?

π π π π 5 1 ? kπ ? x ? ? ? kπ , k ? Z ,解得 ? ? 2k ? x ? ? 2k , k ? Z . 2 2 3 2 3 3

因此,函数的单调递增区间是 ? ?

1 ? 5 ? ? 2k , ? 2k ? , k ? Z .………………………………12 分 3 ? 3 ?

21、解: (Ⅰ)依题意可得圆心 C (a,2),半径r ? 2 , a?2?3 a ?1 ? 则圆心到直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的距离 d ? 2 12 ? (?1) 2

2 2 2 ) ? r 2 ,代入化简得 a ? 1 ? 2 2 解得 a ? 1或a ? ?3 ,又 a ? 0 ,所以 a ? 1 (Ⅱ)由(1)知圆 C : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 , 又 (3,5) 在圆外 ? ①当切线方程的斜率存在时,设方程为 y ? 5 ? k ( x ? 3) 5 由圆心到切线的距离 d ? r ? 2 可解得 k ? 12 ? 切线方程为 5x ? 12y ? 45 ? 0 ②当过 (3,5) 斜率不存在直线方程为 x ? 3 与圆相切 由①②可知切线方程为 5x ? 12y ? 45 ? 0 或 x ? 3 ? 22. 解: 解: (Ⅰ)? x ? 是函数 y ? f(x) 的图像的对称轴, 8
由勾股定理可知 d 2 ? (

? sin( 2 ?

?
8

? ? ) ? ?1

…………………………2 分

?

?
4

? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z ,即 ? ? k? ? ? , k ? Z
4

………………………4 分

?0 ? ? ? ? ,

?? ?

?
4

.

………………………6 分

(Ⅲ) 1 ? m ? 2,

? 2 ?m?0


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