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高中数学必修5新教学案:2.4等比数列(2)


必修 5

2.4 等比数列(学案)
(第 2 课时)

【知识要点】 1.等比中项概念; 2.等比数列的基本性质及判断一个数列是否为等比数列的方法; 【学习要求】 1. 灵活应用等比数列的定义及通项公式; 2. 深刻理解等比中项的概念 ; 3. 熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否成等比数列的方法

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 51 页~第 52 页) 1.若 a, G, b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的 2.等比数列的性质. ⑴若 ?a n ?为等比数列,则 a n ,且 G .

am q n?m .
. . 的等比数列.

⑵若 ?a n ?为等比数列,且 m ? n ? p ? q ,则 ⑶若 ?a n ?为等比数列,则 a 2 , a5 , a8 也成

⑷若 ?a n ?为等比数列,且公比为 q ,则 a1 a 2 , a 2 a3 , a3 a 4 也成公比 【基础练习】 1. 在等比数列 ?a n ?中,如果 a 6 ? 6, a9 ? 9 ,那么 a 3 等于( (A) 4 (B) ).

3 2

(C)

16 9

(D) 2 .

2.若已知 ?a n ?为等比数列,且 a3 a 4 a5 ? 8 ,则 a 2 a3 a 4 a5 a 6 ?
2

3.已知等比数列 ?a n ?中,an ? 0, a1 , a99 是方程 x ? 10 x ? 16 ? 0 的两根, a 40 a50 a60 则 的值为( (A) 32 【典型例题】 ). (B) 64 (C) 256 (D) ? 64

例 1 已知等比数列 ?a n ?的各项均为正数,且 a 2 a 4 ? 2a3 a5 ? a 4 a6 ? 25 ,那么 a3 ? a5

1

的值为( (A) 5

) (B) 10 (C) 15 (D) 20 ).

变式训练 1:在等比数列 ?a n ?中,已知 a7 ? a12 ? 5, 则a8 ? a9 ?a10 ?a11 等于(

(A) 10 (B) 25 (C) 50 (D)75 例 2 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第 四个数的和是 16 ,第二个数与第三个数的和是 12 .求这四个数.

变式训练 2:已知三个数成等比数列,它们的积为 27 ,它们的平方和为 91 ,求这三个 数.

1.已知 0 ? a ? b ? c , a, b, c 成等比数列,n 为大于1 的整数, log a n, log b n, log c n 成 且 则 ( ). (A)等差数列 (B)等比数列 (C)各项倒数成等差数列 (D)以上都不对 ).

2.若 ?a n ?, ?bn ?都是等比数列,则下列数列中仍是等比数列的是( (A) ?a n ? bn ? (B) ?a n ? bn ? 3.某种产品平均每三年降价 (C) ?a n bn ? (D) ?a n ? 5?

1 ,目前售价为 640 元,则 9 年后此产品的价格为( 4 (A) 210 元 (B) 240 元 (C) 360 元 (D) 270 元
2

).

4.已知 a, b, c 成等比数列,则二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图像与 x 轴交点的个数是 ( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 0或1 . 5.在正项等比数列 ?a n ?中, a5 ?a 6 ? 9 ,则 log 3 a1 ? log 3 a 2 ? ? ? log 3 a10 ? 6.已知等比数列 ?a n ?中, a1 ? a 2 ? 30, a3 ? a 4 ? 60, 则a7 ? a 8 ?
2

.

7.一个各项均为正数的等比数列, 每一项都等于它后面相邻两项之和, 则公比 q = 8.已知等比数列 ?a n ?中, a 3 ? 3 , a10 ? 384 ,则该数列的通项 a n ?
2

. .

9.设二次方程 a n x ? a n ?1 x ? 1 ? 0?n ? 1,2,3?? 有两根 ? , ? ,且满足 6? ? 2?? ? 6? ? 3 . ⑴试用 a n 表示a n ?1 ; ⑵当 a1 ?

7 时,求数列 ?a n ?的通项公式. 6

10.在等差数列 ?a n ?中,公差 d ? 0, a 2是a1与a 4 的等差中项,已知数列 a1 , a3 , a k1 , a k 2 ?,

a k n 成等比数列,求数列 ?k n ? 的通项 k n .

1.已知 a, b, c, d 成等比数列,且曲线 y ? x ? 2 x ? 3 的顶点是 ?b, c ?, 则ad 等于( ).
2

(A) 3

(B) 2

(C) 1

(D) ? 2

2.已知 ?a n ?为等比数列 a3 ? 2, a 2 ? a 4 ?

20 ,求 ?a n ?的通项公式. 3

3

必修 5

2.4

等比数列(教案)
(第 2 课时)

【教学目标】 1.明确等差中项的概念; 2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差 数列的性质,能用图像与通项公式的关系解决某些问题; 【重点】等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用; 【难点】灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题;

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 51 页~第 52 页) 1.若 a, G, b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的 = ? ab 2.等比数列的性质. ⑴若 ?a n ?为等比数列,则 a n = . 等比中项 ,且 G

am q n?m .
am ? an ? a p ? aq
等比 . .

⑵若 ?a n ?为等比数列,且 m ? n ? p ? q ,则 ⑶若 ?a n ?为等比数列,则 a 2 , a5 , a8 也成

⑷若 ?a n ?为等比数列,且公比为 q ,则 a1 a 2 , a 2 a3 , a3 a 4 也成公比 【基础练习】 2. 在等比数列 ?a n ?中,如果 a 6 ? 6, a9 ? 9 ,那么 a 3 等于( A (B)

q2

的等比数列

).

(A) 4

3 2

(C)

16 9

(D) 2

2.若已知 ?a n ?为等比数列,且 a3 a 4 a5 ? 8 ,则 a 2 a3 a 4 a5 a 6 ?
2

32

.

3.已知等比数列 ?a n ?中,an ? 0, a1 , a99 是方程 x ? 10 x ? 16 ? 0 的两根, a 40 a50 a60 则 的值为( B ). (A) 32 (B) 64 【典型例题】 (C) 256 (D) ? 64

例 1 已知等比数列 ?a n ?的各项均为正数, a 2 a 4 ? 2a3 a5 ? a 4 a6 ? 25 , 且 那么 a3 ? a5 的 值为( A (A) 5 ). (B) 10 (C) 15 (D) 20

4

【审题要津】 注意到 2 ? 4 ? 2 ? 3,4 ? 6 ? 2 ? 5 ,可以利用等比数列的性质来解题. 解:由题意可得 a 2 a 4 ? a3 , a 4 a6 ? a5 ,又 a 2 a 4 ? 2a3 a5 ? a 4 a6 ? 25
2 2

? ?a3 ? a5 ? ? 25
2

又因为该数列的各项为正数,所以 a3 ? a5 ? 5 . 【方法总结】本题的解答用到了等比数列的 “ 若m ? n ? 2 p m, n, p ? N , 则a m a n ? a p , ”这样大大简化运算.因此,在解决数列问
* 2

?

?

题时,首先要有运用数列性质的意识,然后仔细观察各项序号之间的关系,以寻求满足数列 性质的条件. 变式训练 1:在等比数列 ?a n ?中,已知 a7 ? a12 ? 5, 则a8 ? a9 ?a10 ?a11 等于( B ).

(A) 10 (B) 25 (C) 50 (D)75 例 2 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第 四个数的和是 16 ,第二个数与第三个数的和是 12 .求这四个数. 【审题要津】 本题可依据前三个数成等差数列设项, 也可以依据后三个数成等比数列设 项,还可以依题意直接设项.

?a ? d ?2 解:设四个数依次为 a ? d , a, a ? d ,
a
? ?a ? d ?2 ? 16, ?a ? d ? 由已知条件知 ? a ?a ? a ? d ? 12, ?
解得 ?

?a ? 4 ?a ? 9 , 或? . ?d ? 4 ?d ? ?6

所以,当 a ? 4, d ? 4 时,所求四个数为 0,4,8,16 . 当 a ? 9, d ? ?6 时,所求四个数 15,9,3,1 . 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1 . 【方法总结】 对于相邻的三项或四项的等差数列或等比数列, 要注意其设法的技巧性. 变式训练 2:已知三个数成等比数列,它们的积为 27 ,它们的平方和为 91 ,求这三个 数. 【审题要津】对于等比数列相邻三项可以设为:

a , a, aq ,可以简化计算. q

解:设这三个数为

a , a, aq ,则由题意可得 q
5

?a ?a ? 3 ? q ? a ? aq ? 27 ? ? ,化简得 ? 2 ? 1 , ? ? 2 2 ?? a ? ? a 2 ? ?aq?2 ? 91 ?a ? q 2 ? q ? 1? ? 91 ? ? ? ? ? ? ? ?? q ? ?? ?
得 9q 4 ? 82 q 2 ? 9 ? 0,? q 2 ? 9或q 2 ?

1 1 ,? q ? ?3或q ? ? , 9 3

故所求的三个数为: 1,3,9或 ? 1,3,?9或9,1或 ? 9,3,?1 . 3, 【方法总结】 对于相邻的三项或四项的等差数列或等比数列, 要注意其设法的技巧性

1.已知 0 ? a ? b ? c , a, b, c 成等比数列,n 为大于1 的整数, log a n, log b n, log c n 成 且 则 ( C ). (A)等差数列 (B)等比数列 (C)各项倒数成等差数列 (D)以上都不对 ).

2.若 ?a n ?, ?bn ?都是等比数列,则下列数列中仍是等比数列的是( C (A) ?a n ? bn ? (B) ?a n ? bn ? 3.某种产品平均每三年降价 (C) ?a n bn ? (D) ?a n ? 5?

1 ,目前售价为 640 元,则 9 年后此产品的价格为( D ). 4 (A) 210 元 (B) 240 元 (C) 360 元 (D) 270 元
4.已知 a, b, c 成等比数列,则二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图像与 x 轴交点的个数是
2

(A ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 0或1 10 . . 5.在正项等比数列 ?a n ?中,a5 ?a 6 ? 9 ,则 log 3 a1 ? log 3 a 2 ? ? ? log 3 a10 ? 6.已知等比数列 ?a n ?中, a1 ? a 2 ? 30, a3 ? a 4 ? 60, 则a7 ? a 8 ? 240

7. 一 个 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 , 每 一 项 都 等 于 它 后 面 相 邻 两 项 之 和 , 则 公 比 q =

5 ?1 2

.

8. 已 知 等 比 数 列 ?a n ? 中 , a 3 ? 3 , a10 ? 384 , 则 该 数 列 的 通 项 a n ?

3 ? 2 n ?1 ?n ? N * ? 4
2

.

9.设二次方程 a n x ? a n ?1 x ? 1 ? 0?n ? 1,2,3?? 有两根 ? , ? ,且满足 6? ? 2?? ? 6? ? 3 . ⑴试用 a n 表示a n ?1 ;
6

⑵当 a1 ?

7 时,求数列 ?a n ?的通项公式. 6

【审题要津】⑴用 a n 表示a n ?1 ,即推导出数列的递推关系,由根与系数的关系可以将 递推关系找出来. ⑵由⑴知 ?a n ?与?a n ?1 ?的关系式形如 a n ?1 ? can ? d 的形式,可以通过构造等比数列求出

an .
a n ?1 ? ?? ? ? ? a ? n 解:⑴由根与系数的关系,得 ? 又 6? ? 2?? ? 3,6?? ? ? ? ? 2?? ? 3 , 1 ??? ? ? an ?


6a n ?1 2 1 1 ? ? 3,? a n ?1 ? a n ? . an an 2 3
⑵由 a n ?1 ?

1 1 1 1 1 a n ? , a n ? a n?1 ? 两式相减,得 a n?1 ? a n ? ?a n ? a n?1 ? ,即数列 2 3 2 3 2 ?a n?1 ? a n ?是以 1 为公比的等比数列,首项 a2 ? a1 ? 1 a1 ? 1 ? a1 ? ? 1 , 2 2 3 4
1 ?1? ? a n ?1 ? a n ? ? ? ? ? 4 ?2?
n n ?1

1 1 1 ?1? , an ? ? an ? ? ? ? ? 2 3 4 ?2?

n ?1

2 ?1? ? an ? ? ? ? , n ? N * . 3 ?2?
【方法总结】数列 ?a n ?满足递推公式 ?

?

?

?a1 ? b ,求 a n 可以采用阶差法. ?a n ?1 ? can ? d

10.在等差数列 ?a n ?中,公差 d ? 0, a 2是a1与a 4 的等差中项,已知数列 a1 , a3 , a k1 , a k 2 ?,

a k n 成等比数列,求数列 ?k n ? 的通项 k n .
【审题要津】 利用等比中项可以求出 a1与d 之间的关系, 然后利用等比数列和等差数列 写出通项公式. 解:由题意的知 a ? a1 a 4 ,得 ?a1 ? d ? ? a1 ?a1 ? 3d ? ,又 d ? 0 ,? a1 ? d
2
2

又? a1 , a3 , a k1 , ?, a k n 是成等比数列,

?q ?

a3 ?3 a1

, a k n ? a1 3

n ?1

7

又? a kn ? a1 ? ?k n ? 1?d ? k n a1

? k n ? 3 n ?1
故 ?k n ? 得通项 k n ? 3
n ?1

【方法总结】 对于数列通项公式的求法,要注意项数和项之间的关系.

1.已知 a, b, c, d 成等比数列,且曲线 y ? x ? 2 x ? 3 的顶点是 ?b, c ?, 则ad 等于(B
2

).

(A) 3

(B) 2

(C) 1

(D) ? 2

2.已知 ?a n ?为等比数列 a3 ? 2, a 2 ? a 4 ?

20 ,求 ?a n ?的通项公式. 3

【审题要津】本题是 06 年全国高考试题,本题考查的是基本量的计算. 解:设首项为 a1 , 公比为q ,则由题意可知

?a1 q 2 ? 2 2 ?a1 ? 18 ? ? ?a1 ? ? 9 或? ? 1 20 ,解得 ? 3 ?a1 q ? a1 q ? ?q ? 3 ?q ? 3 ? ? 3 ?
2 n ?1 ?1? 故所求数列的通项公式为 a n ? ? 3 或a n ? 18 ? ? ? 9 ? 3?
n ?1

.

【方法总结】 对于等差和等比数列的基本量的计算,就是考察基本概念和计算,对于 基本量的计算要求准确性.

8


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