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2017届湖南湘中名校教改联合体高三文12月联考数学试卷(带解析)


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2017 届湖南湘中名校教改联合体高三文 12 月联考数学试卷 (带解析)
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题 1.已知集合 A ? ??1,0,1 ? , B ? x x ? 1 ,则 A ? B ? ( A. ??1,0,1? C. ??1,0? B. x ?1 ? x ? 1 D. ?0,1?
x

?

?



?

?

2. “ log2 ? 2x ? 3? ? 1 ”是“ 4 ? 8 ”是(



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

? 是三个不同平面, 3. 已知 m , 下列命题中正确的是 ( n 是两条不同直线, ? ,? ,
A.若 m / /? , n / /? ,则 m / / n B.若 m / /? , m / / ? ,则 ? / / ? C.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? / / ? D.若 m ? ? , n ? ? ,则 m / / n 4.执行如图所示的程序框图,如果运行结果为 5040 ,那么判断框中应填入(





A. k ? 6 ? B. k ? 7 ? C. k ? 6 ? D. k ? 7 ?

. 4 , 5. 根据如下样本数据得到的回归方程为 ? 若a ? 5 则 x 每增加 1 个单位, y ? bx ? a ,
y 就(


试卷第 1 页,总 6 页

A.增加 0.9 个单位 B.减少 0.9 个单位 C.增加 1 个单位 D.减少 1 个单位 6.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.

160 32 352 B. 32 C. D. 3 3 3

7.从集合 A ? ??2, ?1, 2? 中随机选取一个数记为 a ,从集合 B ? ??1,1,3? 中随机选取 一个数记为 b ,则直线 ax ? y ? b ? 0 不经过第四象限的概率为( A. )

2 1 4 1 B. C. D. 3 9 9 4

8.若 ?an ? 是等差数列,首项 a1 ? 0 , a2016 ? a2017 ? 0 , a2016 ? a2017 ? 0 ,则使前 n 项 和 Sn ? 0 成立的最大正整数 n 是( )

A. 2016 B. 2017 C. 4032 D. 4033 9. 已知函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? 的最小值为 A. ? ?

? ?

?? 1 1 1 且 f ?? ? ? ? ,f ? ? ? ? . 若 ? ?? ? ? ,x ? R ,
6? 2
2 2


3? ,则函数的单调递增区间为( 4

? ? ? ? 2k? , ? ? 2k? ? , k ? Z ? 2 ? ? ? ? ? 3k? , ? ? 3k? ? , k ? Z ? 2 ? 5? ? ? 2k? ? , k ? Z 2 ? 5? ? ? 3k? ? , k ? Z 2 ?
??? ? ??? ? ??? ?

B. ? ?

C. ?? ? 2k? ,

? ?

D. ?? ? 3k? ,

? ?

10.若点 P 是 ?ABC 的外心,且 PA ? PB ? ? PC ? 0 , ?C ? 120? ,则实数 ? 的值为 ( )
试卷第 2 页,总 6 页

A.

1 1 B. ? C. ? 1 D. 1 2 2

x2 y 2 11.过双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交 a b
于 A , B 两点,与双曲线的渐近线交于 C , D 两点,若 AB ? 率的取值范围为( )

3 CD ,则双曲线离心 5

A. ? , ?? ? B. ? , ?? ? C. ?1, ? D. ?1, ? 3 4 3 4 12.已知函数 g ? x ? ? a ? x (
2

?5 ?

? ?

?5 ?

? ?

? 5? ? ?

? 5? ? ?

1 ? x ? e , e 为自然对数的底数)与 h ? x ? ? 2ln x 的图 e


象上存在关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是(

2 2 2 A. ? ?1, e ? 2 ? ? B. ?1, e 2 ? 2 ? C. ? e2 ? 2, e ? 2? D. ? ? e ? 2, ??

? 1 ?

? ?

?1 ?

? ?

?

试卷第 3 页,总 6 页

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题

13.已知复数 z 满足

i ? 2 ? i ,则 z ? __________. z ?i

? y ? x ?1 x ? 14.已知实数 x , y 满足 ? x ? 3 ,则 的最小值是__________. y ?x ? 5y ? 4 ?
15.已知 m ? 0 ,n ? 0 ,若直线 ? m ? 1? x ? ? n ? 1? y ? 2 ? 0 与圆 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

相切,则 m ? n 的取值范围是__________. 16.对于数列 ?an ? ,定义 H n ? 数列 ?an ? 的“优值” Hn ? 2
n?1

a1 ? 2a2 ? ? ? 2n ?1 an 为 ?an ? 的“优值” ,现在已知某 n

,记数列 ?an ? kn? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? S5 对任意

的 n 恒成立,则实数 k 的最大值为__________. 评卷人 得分 三、解答题 17.已知函数 f ? x ? ? cos x cos x ? 3 sin x . (1)求 f ? x ? 的最小值;

?

?

C 的对边分别是 a ,b ,c , (2) 在 ?ABC 中, 角 A ,B , 若 f ?C ? ? 1 ,S ?ABC ?

3 3 , 4

c ? 7 ,求 ?ABC 的周长.
18.某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业,在一个开学季内,每售出 1 盒 该产品获利润 50 元,未售出的产品,每盒亏损 30 元.根据历史资料,得到开学季市场 需求量的频率分布直方图,如图所示.该同学为这个开学季购进了 160 盒该产品,以 x (单位:盒, 100 ? x ? 200 )表示这个开学季内的市场需求量, y (单位:元)表示 这个开学季内经销该产品的利润.

试卷第 4 页,总 6 页

(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量 x 的众数和平均数; (2)将 y 表示为 x 的函数; (3)根据直方图估计利润 y 不少于 4800 元的概率. 19. 如图所示的几何体 QPABCD 为一简单组合体, 在底面 ABCD 中,?DAB ? 60? ,

PA ? 1 , AD ? DC , AB ? BC , QD ? 平面 ABCD , PA P QD , AD ? AB ? QD ? 2 .

(1)求证:平面 PAB ? 平面 QBC ; (2)求该组合体 QPABCD 的体积. 20. 已知经过抛物线 C :x ? 2 py 焦点 F 的直线 l :y ? kx ? 1 与抛物线 C 交于 A 、B
2

两点,若存在一定点 D ? 0, b? ,使得无论 AB 怎样运动,总有直线 AD 的斜率与 BD 的 斜率互为相反数. (1)求 p 与 b 的值; (2)对于椭圆 C ? :

x2 ? y 2 ? 1,经过它左焦点 F ? 的直线 l ? 与椭圆 C ? 交于 A? 、 B? 两 5

点, 是否存在定点 D ? , 使得无论 A?B ? 怎样运动, 都有 ?A?D?F ? ? ?B?D?F ? ?若存在, 求出 D ? 坐标;若不存在,请说明理由.

ax 2 21.已知 f ? x ? ? x ln x , g ? x ? ? ,直线 l : y ? ? k ? 3? x ? k ? 2 . 2
(1)曲线 f ? x ? 在 x ? e 处的切线与直线 l 平行,求实数 k 的值;

试卷第 5 页,总 6 页

(2)若至少存在一个 x0 ??1, e? 使 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,求实数 a 的取值范围; (3)设 k ? Z ,当 x ? 1 时 f ? x ? 的图象恒在直线 l 的上方,求 k 的最大值. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 1 ? t, ? ? x ? cos ? , 2 ? 已知直线 l : ? ( t 为参数) ,曲线 C1 : ? ( ? 为参数) . ? y ? sin ? , ? y ? 3 t, ? ? 2
(1)设 l 与 C1 相交于 A , B 两点,求 AB ; (2)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

3 1 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得 2 2

到曲线 C2 ,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 l 距离的最小值. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? 2x ? a , a ? R . (1)当 a ? 1 时,解不等式 f ? x ? ? 5 ; (2)若存在 x0 满足 f ? x0 ? ? x0 ? 2 ? 3 ,求实数 a 的取值范围.

试卷第 6 页,总 6 页

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参考答案 1.A 【解析】 试题分析:? x ? 1 ,? ?1 ? x ? 1 ,则 B ? ?1,1 ,所以 A ? B ? ??1,0,1? ,故选 A. 考点:1、集合的交,并,补运算;2、绝对值不等式的求解. 2.A 【解析】 试题分析:左边: ? log2 (2x ? 3)? 1 , ? log2 (2 x ? 3) ? log 2 2 ,则 ?

?

?

?2 x ? 3 ? 2 ,? ?2 x ? 3 ? 0

3 5 3 5 3 ? x ? ,即 log2 (2 x ? 3) ? 1 ? ? x ? . 右边: 4 x ? 8 ,? 22 x ? 23 ,则 x ? 。 2 2 2 2 2
所 以 A ? B ? ??1 , 0 ? ,即 4 ?8 ? x? ,1
x

3 3 5 3 ? ( ?, ? , )所以 ,又因为 ( , ) 2 2 2 2

log x2 ? 2 (

? 3 )是 4 1x ? 8 的充分不必要条件,故选 A.

考点:1、充要条件;2、对数不等式与指数不等式的解法. 3.D 【解析】 试 题 分 析 : A : m ? ? , n ? ? , 可 以 得 到 m ? n, m ? n, m 与 n 异 面 三 种 结 果 ;

B : m ?? , m ? ? 可以得到 ? ? ? , ? 与 ? 相交两种结果; C : ? ? ? , ? ? ? ,可以得到

? ? ? , ? 与 ? 相交两种结果; D : m ? ? , n ? ? ,可以得到 m ? n 一种结果,故选 D.
考点:1、空间中的线线平行、面面平行;2、公理 4. 4.D 【解析】

k ? 2, s ? 1
试题分析: :?

k?3
,?

k?4
,?

k?5
,?

k?6
,?

k?7
,? ,结束循环,

s?2

s?6

s ? 24

s ? 120

s ? 720

s ? 5040

若选 A, 则输出 s ? 1 ; 若选 B, 则输出 s ? 1 ; 若选 C, 则输出 s ? 720 ; 若选 D, 则输出 s ? 5040 , 故选 D. 考点:1、程序框图;2、条件框中条件的运用. 5.B 【解析】 试题分析:? x ? 5, y ? 0.9且 ( x, y) 在回归直线上,将 ( x, y) 代入方程: 0.9 ? 5b ? 5.4

? b ? ?0.9 ,则回归直线方程为: y ? ?0.9 ? 5.4 ,所以 x 每增加 1 个单位, y 就减少 0.9

^

答案第 1 页,总 12 页

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个单位,故选 B. 考点:1、回归直线方程;2、一次函数的单调性. 6.A 【解析】

试 题 分 析 : 根 据 三 视 图 可 以 画 出 原 几 何 体 EF ? ABCD , 如 图 所 示 , 则

VEF ? ABCD ? VADE ? HCG ? VC ? BFGH
? 1 1 160 ? 4? 4? 4 ? ? 4? 4? 4 ? ,故选 A. 2 3 3

考点:1、三视图;2、三棱柱、三棱锥体积. 7.A 【解析】 试 题 分 析 : 集 合 A, B 中 各 有 三 个 元 素 , 随 机 选 取 ( a , b ) , 所 有 可 能 有 9 种 , 直 线

ax ? y ? b ? 0 是不经过第四象限时, a ? 0 且 b ? 0 ,满足条件的 ( a , b ) 有 (2,1),(2, 3) 两
种,则直线 ax ? y ? b ? 0 是不经过第四象限的概率为 P ? 考点:1、古典概型;2、直线的性质与图像. 8.C 【解析】

2 . 9

2016 ? 2017 ? 1 ? 4032 ? 4033 , 试题分析: ?在等差数列中, ? a2016 ? a2017 ? a1 ? a4032 ,


S4032 ?

4032(a1 ? a4032 ) 4032(a1 ? a4032 ) ? ?0 2 2
, 所 以







为 , 0

a2016 ? a2017 ? 0, a2016 ? a2017 ? 0
S4033 ?

a2

?0 0 a

,? 1

6

2

0

4033(a1 ? a4033 ) ? 4033 ? a2017 ? 0 ,故选 C. 2

考点:1、等差数列的性质;2、等差数列前 n 项和.
答案第 2 页,总 12 页

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9.B 【解析】 试题分析:? ? ? ? ?

3? T 3? 2? 2 ,? ? ,则 T ? 3? ,又因为 T ? ,所以 ? ? ,令 4 4 4 ? 3

?

?
2

? 2k? ?

2 ? ? ? x ? ? ? 2k? , ? ? 3k? ? x ? ? ? 3k? ,故选 B. 3 6 2 2

考点:1、三角函数的图像与性质;2、三角函数的单调性. 10.C 【解析】 试题分析:如图所示 PA ? PB ? PC ,又因为 PA ? PB ? ? PC ? 0 ,? ? ? ? 1 ,故选 C. 考点:1、向量的线性运算;2、三角形的外接圆. 11.B 【解析】 试题分析: 由题可知 AB ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

?

2b 2 2b 2 3 2 b c bc bc 2bc ? ? C (c , ), D(c , ? ) , , , 则 , ? CD ? a a a a a 5 a

3 9 2 9 2 c 2 25 c 5 2 2 2 b ? c ,b ? c ,c ? a ? c , 2 ? 所以 ? ,故选 B. 5 25 25 a 4 a 16
考点:1、双曲线的图像与性质;2、离心率范围. 【方法点睛】 离心率的求解是近些年来的高考热点,属于难题.常有两种考法,一种是离心 率求值,另一种是离心率范围的求解.主要是找到等式、不等式进行求解,方法灵活、类型 多样,涉及知识点繁杂。主要从几何性质入手,作图要准确、精细,不可偷工减料,要将尽 可能多的条件标到图上.本题涉及到垂径长 简. 12.A 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 可 知 g( x) ? h( x) ? a ? x ? 2ln x ? 0 在 [ , e ] 上 有 根 , 等 价 于
2

2b 2 2b 2 3 2 bc b ? ? ,渐近线 y ? ? x ,对 的化 a a a 5 a

1 e

a ? x 2 ? 2ln x ,令 f ( x) ? x2 ? 2ln x ,则 f ' ( x ) ? 2 x ?

2 2 ,若 2 x ? ? 0 则 x ? 1 , x x

若 2x ?

2 1 ? 0 ,则 x ? 1 ,所以 f ( x ) 在 (1, e ) 单调增,在 ( ,1) 单调减,又 f (1) ? 1 , x e

1 1 f ( ) ? 2 ? 2 , f (e) ? e 2 ? 2 ,所以 a 的取值范围是 [1, e 2 ? 2] ,故选 A. e e

答案第 3 页,总 12 页

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考点:1、利用导数求值域;2、参变分离. 【方法点睛】 本题考查利用导数求值域, 属于难题.首先将题目转化为方程 g( x ) ? h( x ) ? 0 在 [ , e ] 有根, 再根据参数分离可得 a ? x ? 2ln x , a 的取值范围就是 f ( x) ? x ? 2ln x
2

1 e

2

的值域, 利用导数求值域, 分别令 2 x ?

2 2 ? 0 ,2 x ? ? 0 解出 x 的范围, 可以得到 f ( x ) x x
2

在 (1, e ) 单调增,在 ( ,1) 单调减,可知 f ( x ) 的范围是 [1, e ? 2] ,即求得 a 的取值范围. 13. ?

1 e

1 ? 3i 5

【解析】 试题分析: ?

i i i (2 ? i ) ?1 ? 2 i 1 ? 3i ? 2 ? i ,? z ? ?i ? ? ?i ? ?i ? . 5 5 z?i 2?i (2 ? i )(2 ? i )

考点:1、复数的运算. 14.

3 2

【解析】

试题分析:根据约束条件,做出可行域,

x x?0 y?0 x 可以理解为 与 互为倒数,要求 的 y y?0 x?0 y

最小值,就是再求

y?0 y?0 的最大值,而 可以看成是 ( x, y ) 与 (0, 0) 所成直线的斜率, x?0 x?0

当该直线过 (3, 2) 时,

x y?0 2 3 取得最大值 ,所以 的最小值为 . x?0 3 2 y

考点:1、线性规划问题. 15. ? 2 ? 2 2, ??

?

?

【解析】 试题分析:因为直线与圆相切,所以 d ? r ,圆心 (1,1) 到直线 ( m ? 1) x ? (n ? 1) y ? 2 ? 0
答案第 4 页,总 12 页

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的 距 离 为



d?

m?n ( m ? 1)2 ? ( n ? 1)2

?1

, ?

mn ? m ? n ? 1





m?

n2 ?

m 2 ? n

m ,令 m ? 1 ? n ? n ? t , 则 上 式可 化 为: t ? 2 t ? 1 , 不 等式

t 2 ? 4t ? 4 ? 0 的解为: t ? 2 ? 2 2 或 t ? 2 ? 2 2 ,又因为 m ? 0, n ? 0 ,所以 m ? n 的
范围是 [2 ? 2 2, ??) . 考点:1、直线与圆的位置关系;2、基本不等式;3、换元法求解不等式. 【方法点睛】 本题考查圆与直线的位置关系、 基本不等式, 属于中等题。 根据直线与圆相切, 所 以 d?

m?n ( m ? 1)2 ? ( n ? 1)2

? ?1 , 得 m n

m ?

n 1 ?, 根 据 基 本 不 等 式

m ? n ? 2 mn ? 2 m ? n ? 1 ,再用换元法令 m ? n ? t ,则上式可化为: t ? 2 t ? 1 ,
不等式 t ? 4t ? 4 ? 0 的解为: t ? 2 ? 2 2 或 t ? 2 ? 2 2 ,即可求得 m ? n 的范围.
2

16. ? ,

? 7 12 ? ?3 5 ? ?
a1 ? 2a2 ? ? ? 2n?1 an ? 2n ?1 , ? a1 ? 2a2 ? ? ? 2n?1 an ? n ? 2n?1 ①, n

【解析】 试题分析: 由题可知

a1 ? 2a2 ? ? ? 2n?2 an?1 ? (n ? 1) ? 2n ②,由① - ②得: 2n?1 an ? n ? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n ,则
an ? 2n ? 2 , 所 以 an ? k n?( 2 ? k ) ? n ?2 , 令 bn ? ( 2 ? k ) ? n ? 2 , ? Sn ? S5 ,
7 12 7 12 ? b5 ? 0, b6 ? 0 ,解得: ? k ? ,所以 k 的取值范围是 [ , ] . 3 5 3 5
考点:1、等差数列的通项公式;2、前 n 项和公式的运用. 【方法点睛】本题属于压轴题,难度可想而知。当看到

a1 ? 2a2 ? ? ? 2n?1 an ? 2n?1 ,就能 n

够 猜 想 到 an 是 等 差 数 列 , 根 据 递 推 公 式 求 解 an ? 2n ? 2 , 也 可 以 分 别 计 算 出

? ?

a1 ? 4, a2 ? 6 ,归纳出 an ? 2n ? 2 ,进而得到 bn ? (2 ? k ) ? n ? 2 ,Sn ? S5 ,可知 ?bn ? 首
项为正公差为负的等差数列,所以 b5 ? 0, b6 ? 0 ,最终解得

7 12 ?k? . 3 5

答案第 5 页,总 12 页

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17. (1) ? 【解析】

1 ;(2) 4 ? 7 . 2

试题分析:(1)将函数 4 ? 7 的解析式进行化简,先展开,再进行降幂,应用辅角公式转 化为 A sin(? x ? ? ) 的形式. (2) 由于 c ? 7, 只需求出 a ? b 的值, 应用面积公式求出 ab , 再由余弦定理计算出 a ? b 的值,故 a ? b ?
2 2

(a ? b) 2 ? 2ab .

试题解析:(1)

f ? x ? ? cos x cos x ? 3 sin x ? cos2 x ? 3 sin x cos x ?
. 当 sin ? 2 x ?

?

?

1 ? cos 2 x 3 1 ?? ? ? sin 2 x ? ? sin ? 2 x ? ? 2 2 2 6? ?

? ?

??

1 ? ? ?1时, f ? x ? 取最小值为 ? 2 .??????(6 分) 6?

(2) f ? C ? ?

1 ?? ?? 1 ? ? ? sin ? 2C ? ? ? 1 ,? sin ? 2C ? ? ? , 2 6? 6? 2 ? ?

?C ? ? 0, ? ? , 2C ?
2 2

?

? ? 13? ?? , 6 ?6 6

1 3 3 ? ? , ? ab ? 3 , ? , ? C ? 3 . S?ABC ? ab sin C ? 2 4 ?
? 7,

由余弦定理得 a ? b ? 2ab cos
2

?
3

? ? a ? b ? ? 16 即 a ? b ? 4 , ? a ? b ? c ? 4 ? 7 , 所 以 ?ABC 的 周 长 为

4 ? 7 .??????(12 分)
考点:1、三角恒等变换;2、解三角形. 18. (1)众数:150,平均数:153; (2) y ? ?

?80 x ? 4800,100 ? x ? 1600 . (3)0.9. ?8000,160 ? x ? 200

【解析】 试题分析: (1)应用众数和平均数的定义计算.(2)由于市场需求量有可能大于 160 或是小 于 160,要分两种情形进行讨论.(3)经计算利润要大于 4800,则需求量要在 120 以上,考 虑到需求量小于 120 的概率是 0.1,所以大于 120 的概率就是 0.9. 试题解析: (1)由频率直方图得:最大需求量为 150 的频率 ? 0.015 ? 20 ? 0.3 . 这个开学季内市场需求量的 x 众数估计值是 150 ; 需求量为 ?100,120? 的频率 ? 0.005 ? 20 ? 0.1 , 需求量为 ?120,140? 的频率 ? 0.01? 20 ? 0.2 , 需求量为 ?140,160? 的频率 ? 0.015 ? 20 ? 0.3 ,
答案第 6 页,总 12 页

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需求量为 ?160,180? 的频率 ? 0.0125 ? 20 ? 0.25 , 需求量为 ?180, 200? 的频率 ? 0.0075 ? 20 ? 0.15 . 则 平 均 数 .????????( 50 ?

x ?1

1 ?

0

?

分) (2)因为每售出 1 盒该产品获利润 50 元,未售出的产品,每盒亏损 30 元, 1 ?x? 0 0 所 以 当 时



1

6

y ?5

?

0x ? ?

3 ,????????????( ? x 0 ? 1x 7 分) ?

6

0 ?

当 160 ? x ? 200 时, y ? 160 ? 50 ? 8000 ,??????????(9 分) 所以 y ? ?

?80 x ? 4800,100 ? x ? 1600 . ?8000,160 ? x ? 200

(3)因为利润不少于 4800 元所以,解得 80 x ? 4800 ? 4800 ,解得 x ? 120 . 所以由(1)知利润不少于 4800 元的概率 p ? 1 ? 0.1 ? 0.9 .?????(12 分) 考点:1、频率分布直方图;2、分段函数;3.概率. 19. (1)答案见解析; (2) 【解析】 试题分析: (1)要证面面垂直只需证线面垂直,容易证 BC ? 面 PAB , BC ? 面 QBC , 所以 平面

11 3 . 9

PAB ? 平面 QBC . ( 2 )面 QDB 将几何体分成四棱锥 B ? PADQ 和三棱锥

Q ? BDC 两部分,分别计算这两部分的体积即可.
试题解析: (1)证明:因为 QD ? 平面 ABCD , PA P QD ,所以 PA ? 平面 ABCD . 又因为 BC ? 平面 ABCD ,所以 PA ? BC ,又因为 AB ? BC ,且 AB ? PA ? A , 所 以 BC ? 平 面 PAB , 又 因 为 BC ? 平 面 QBC , 所 以 平 面 PAB ? 平 面

QBC .??????(6 分)
(2)面 QDB 将几何体分成四棱锥 B ? PADQ 和三棱锥 Q ? BDC 两部分, 过 B 作 BO ? AD ,因为 PA ? 平面 ABCD , BO ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BO ,又因为 AD ? OB , PA ? AD ? A , 所以 BO ? 平面 PADQ ,即 BO 为四棱锥 B ? APQD 的高,

答案第 7 页,总 12 页

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并且 BO ? 3 , SPADQ ? 3 ,所以 VB ? PADQ ? ?BO ? 因为 QD ? 平面 ABCD ,且已知 QD ? 2 ,

1 3

3,

?BCD 为顶角等于 120? 的等腰三角形, BD ? 2 , S?BDC ?

3 , 3

所以 VQ ? BDC ? ?S?BDC ? QD ?

1 3

2 3 , 9 2 3 11 3 .???????????(12 分) ? 9 9

所以组合体 QPABCD 的体积为 3 ?

考点:1、面面垂直的判定定理;2、多面体的体积. 20. (1)p=2,b=-1;(2) D? ? ? 【解析】 试题分析: (1)由于直线 l 上恰有定点 (0,1) ,该点为抛物线的焦点 F,代入抛物线的方程 中计算出 p , 联立抛物线与直线得到 A, B 点的坐标间的关系, 应用 K AD ? K BD ? 0 得到关于

? 5 ? , 0 ?. ? 2 ?

b 的方程,求出 b. (2)分直线 l ? 的斜率不存在与存在两种情形来讨论,当 l ? 的斜率不存在
时有 D? ? a,0? ,故在直线 l ? 斜率存在时只需求出 a 值即可经分析直线 A D 与直线 B D 的
' ' ' '

倾斜角互补,所以 K A' D' ? K B' D' ? 0 ,这就找到了关于 a 的方程,解出 a 的值. 试题解析: (1)? 直线 l : y ? kx ? 1 经过抛物线 C : x ? py 的焦点为 F ,? F ? 0,1? ,
2

?p ?2
直线 y ? kx ? 1 代入 x ? 4 y 得 x ? 4kx ? 4 ? 0 ,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?
2
2

则 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 ,? 得无论 AB 怎样运动,直线 AD 的斜率与 BD 的斜率互为相 反数.

x12 x2 2 ?b ?b xx ? 4 ? 0 ,即 b ? 1 2 . ? 无论 x1 、 x2 怎样变化,总有 4 4 x1 x2

? x1 x2 ? ?4 ,? b ? ?1 .?????????(5 分)
(2)直线 l ? 垂直于 x 轴时, A? 、 B? 两点关于 x 轴对称,

? F ? ? ?2,0? ,? 要使 ?A?D?F ? ? ?B?D?F ? ,则 D ? 必在 x 轴上,设点 D? ? a,0?
答案第 8 页,总 12 页

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直线 l ? 不垂直于 x 轴时,设 l ? : y ? k ? x ? 2? ,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? .

l ? : y ? k ? x ? 2? 代入

x2 ? y 2 ? 1得 ?1 ? 5k 2 ? x 2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 5 ? 0 . 5

? x1 ? x2 ?

?20k 2 20k 2 ? 5 x x ? , 1 2 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

? ?A?D?F ? ? ?B?D?F ? ,? 直线 A?D ? 的斜率与 B ?D ? 的斜率互为相反数.


k ? x1 ? 2? k ? x2 ? 2? ? ?0 x1 ? a x2 ? a

?a ?

2 x1 x2 ? 2 ? x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? 4

2?

?20k 2 20k 2 ? 5 ? 2 ? 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2 ? ? 5 , ?20k 2 2 ?4 2 1 ? 5k

? 5 ? 使得 ?A?D?F ? ? ?B?D?F ? . ????????? ? 以上每步可逆, ? 存在定点 D? ? ? , 0 ? , ? 2 ?
(12 分) 考点:1、直线与抛物线;2、直线与椭圆. 【方法点睛】本题主要考查了直线与抛物线,直线与椭圆的位置关系,属于难题.(2)中探 索定点 D ? 的坐标,考虑到 l ? 的斜率不存在的情形, D ? 的坐标必为 D?(a,0) ,这就降低了求 定点 D ? 的难度, 应用条件 ?A?D?F ? ? ?B?D?F ? 可以得到直线 A D 与直线 B D 的倾斜角互
' ' ' '

补,所以 K A' D' ? K B' D' ? 0 ,这就找到了关于 a 的方程,解出 a 的值. 21. (1) k ? 5 ; (2) ? 0, ??? ; (3) 5 . 【解析】 试题分析: 本题考查导数的应用, (1) 利用导数求解切线方程, 再根据平行直线的斜率相等, 可以求出 k 的值; ( 2 ) 由 于 至 少 存 在 一 个 x0 ??1, e? 使 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成 立 , 所 以

x ln x ?
即a ?

ax 2 成立至少存在一个 x , 2

2 ln x 成立至少存在一个 x .关键在于转化; (3) x ln x ? ? k ? 3? x ? k ? 2 在 x ? 1 时 x x ln x ? 3 x ? 2 x ln x ? 3x ? 2 x ? ln x ? 2 .令 F ? x ? ? ,则 F ? ? x ? ? ,令 2 x ?1 x ?1 ? x ?1?

恒成立,即 k ?

m ? x? ? x ? ln x ? 2,

答案第 9 页,总 12 页

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则 m? ? x ? ? 1 ?

1 x ?1 ? ? 0 在 x ? 1 时恒成立.也是转化。 x x

试题解析: (1)由已知得, f ? ? x ? ? ln x ?1,且 f ? x ? 在 x ? e 处的切线与直线 l 平行, 所以,解得 f ? ? e? ? ln e ?1 ? 2 ? k ? 3 ,解得 k ? 5 .???????(2 分) (2)由于至少存在一个 x0 ??1, e? 使 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,所以 x ln x ? 一个 x , 即a ?

ax 2 成立至少存在 2

2 ln x 成立至少存在一个 x . x

令 h ? x? ?

2 ?1 ? ln x ? 2 ln x ? 0 恒成立, ,当 x ??1, e? 时, h? ? x ? ? x x2
2 ln x 在 ?1, e? 单调递增. x

因此 h ? x ? ?

故当 x ? 1 时,h ? x ?min ? 0 , 即实数 a 的取值范围为 ? 0, ??? . ????????????? (6 分) (3)由已知得, x ln x ? ? k ? 3? x ? k ? 2 在 x ? 1 时恒成立,即 k ? 令 F ? x? ?

x ln x ? 3 x ? 2 . x ?1

x ln x ? 3x ? 2 x ? ln x ? 2 ,则 F ? ? x ? ? ,令 m ? x ? ? x ? ln x ? 2 , 2 x ?1 ? x ?1? 1 x ?1 ? ? 0 在 x ? 1 时恒成立. x x

则 m? ? x ? ? 1 ?

所以 m ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,且 m ?3? ? 1 ? ln3 ? 0 , m ? 4? ? 2 ? ln 4 ? 0 , 所以在 ?1, ?? ? 上存在唯一实数 x0 ( x0 ? ? 3, 4? )使 m ? x ? ? 0 . 当 1 ? x ? x0 时, m ? x ? ? 0 即 F ? ? x ? ? 0 ,当 x ? x0 时, m ? x ? ? 0 即 F ? ? x ? ? 0 , 所以 F ? x ? 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ??? 上单调递增. 故 F ? x ?min ? F ? x0 ? ?

x0 ln x0 ? 3x0 ? 2 x0 ? x0 ? 2 ? ? 3x0 ? 2 ? ? x0 ? 2 ? ? 5,6 ? . x0 ? 1 x0 ? 1

故 k ? x0 ? 2 ( k ? Z ) ,所以 k 的最大值为 5 .?????????(12 分) 考点:1、导数的几何意义;2、利用导数求函数的单调性与最值。3.不等式恒成立。 【方法点睛】本题主要考查的是导数的几何意义、利用导数求函数的单调性与最值、不等式 恒成立问题,属于难题.对于含参量不等式问题要注意进行灵活变形,转化为

m ? g ( x)或m ? h( x) 的形式,从而 m ? g ( x) max 或m ? h( x)min.
答案第 10 页,总 12 页

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22. (1) AB ? 1 ; (2) 【解析】

6 4

?

2 ?1 .

?

试题分析: (1)将直线 l 中的 x 与 y 代入到直线 C1 中,即可得到交点坐标,然后利用两点 间的距离公式即可求出 AB ; (2)将直线的参数方程化为普通方程,曲线 C 2 任意点 P 的 坐标,利用点到直线的距离公式算出 d ,利用三角函数知识化简后,进而得到距离 d 的最 小值. 试题解析:(1) l 的普通方程为 y ? 联立方程组 ? (5 分)

3 ? x ? 1? , C1 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 1,

? ? y ? 3 ? x ? 1?
2 2 ? ?x ? y ? 1

解得 l 与 C1 的交点为 A ?1,0 ? ,B ?

?1 3? ? 2 ,? 2 ? ? ,则 AB ? 1 .?? ? ?

1 ? x ? cos ? ? ?1 ? 3 2 ? sin ? (2) C2 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,故点 P 的坐标是 ? cos ? , ? ?2 ?, 2 3 ? ? ?y ? sin ? ? ? 2
3 3 cos ? ? sin ? ? 3 2 2 2 3? ?? ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 ? , ? 4 ? 4? ? ?

从而点 P 到直线 l 的距离是 d ?

?

由此当 sin ? ? ?

? ?

??

6 ? ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 4? 4

?

2 ? 1 .????????

?

(10 分) 考点:1、参数方程与普通方程的互化;2、三角函数值域问题. 23. (1) ? x x ? ? 或x ? 2? ; (2) ?7 ? a ? ?1.

? ?

4 3

? ?

【解析】 试题分析: (1)当 a ? 1 时,根据绝对值不等式的解法即可解不等式 f ( x ) ? 5 ; (2)求出 f ( x) ? x ? 2 的最小值,根据不等式的关系转化为 ( f ( x) ? x ? 2 )min ? 3 ,即 可求 a 的取值范围。 试题解析: (1)当 a ? 1 时, f ? x? ? x ? 2 ? 2 x ?1 .由 f ? x ? ? 5 得 x ? 2 ? 2x ?1 ? 5 . 当 x ? 2 时,不等式等价于 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 5 ,解得 x ? 2 ,所以 x ? 2 ; 当?

1 ? x ? 2 时,等价于 2 ? x ? 2 x ? 1 ? 5 ,即 x ? 2 ,所以 x ? ? ; 2
答案第 11 页,总 12 页

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当x??

1 4 4 时,不等式等价于 2 ? x ? 2 x ? 1 ? 5 ,解得 x ? ? ,所以 x ? ? . 2 3 3

故原不等式的解集为 ? x x ? ? 或x ? 2? .???????(5 分)

? ?

4 3

? ?

(2) f ? x ? ? x ? 2 ? 2 x ? 2 ? 2 x ? a ? 2 x ? 4 ? 2 x ? 4 ? 2 x ? a ? ? 2 x ? 4 ? ? a ? 4 ,

?













? f ? x? ? x ? 2 ?

min

?3



a?4 ?3



??7 ? a ? ?1 .??????????(10 分)
考点:1、绝对值不等式的解法.

答案第 12 页,总 12 页


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