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[教案精品]新课标高中数学人教A版必修一全册教案1.1.4集合的全集与补集


第 4 课时 集合的全集与补集
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)了解全集的意义. (2)理解补集的含义,会求给定子集的补集. 2.过程与方法 通过示例认识全集,类比实数的减法运算认识补集,加深对补集概念的理解,完善集合 运算体系,提高思维能力. 3.情感、态度与价值观 通过补集概念的形成与发展、 理解与掌握, 感知事物具有相对性, 渗透相对的辨证观点. (二)教学重点与难点 重点:补集概念的理解;难点:有关补集的综合运算. (三)教学方法 通过示例,尝试发现式学习法;通过示例的分析、探究,培养发现探索一般性规律的能力. (四)教学过程 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 挖掘旧知, 导 入新知,激发 学习兴趣. 示例 1:数集的拓展 提出问题 示例 2:方程(x – 2) (x2 – 3) = 0 的解 学生思考讨论. 导入课题 集. ①在有理数范围内,②在实数范围 内.

1.全集的定义. 如果一个集合含有我们所研究问题 中涉及的所有元素,称这个集合为全集,师:教学学科中许多时候,许 多问 记作 U. 题都是在某一范围内进行研究. 示例 3:A = {全班参加数学兴趣小 如实例 1 是在实数集范围内不 组的同学}, = {全班设有参加数学兴趣 B 断扩大数集. 实例 2: ①在有理 小组的同学}, = {全班同学}, U、 U 问 A、 数范围内求解;②在实数范围 B 三个集关系如何. 内求解. 类似这些给定的集合 合作交流, 探 就是全集. 究新知,了解 2.补集的定义 形成概念 补集:对于一个集合 A,由全集 U 师生合作,分析示例 全集、 补集的 含义. 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合 生:①U = A∪B, 称为集合 A 相对于全集 U 的补集,记作 ②U 中元素减去 A 中元素就构 成 B. ? UA. 师:类似②这种运算得到的集合 B 即 ? UA = {x | x∈U,且 x ? A }, Venn 图表示 称为集合 A 的补集,生师合作 U 交流探究补集的概念.
A

? UA

例 1 设 U = {x | x 是小于 9 的正整 学生先尝试求解,老师指导、点评. 加深对补集 应用举例 数},A = {1,2,3},B = {3,4,5,6},例 1 解:根据题意可知,U = {1,2,概念的理解, 深化概念 求 ? UA, ? UB. 3, 5, 7, 所以 ? UA = {4, 初步学会求 4, 6, 8}, 例 2 设全集 U = {x | x 是三角形}, 5, 6, 7, 8}, 集合的补集.

A = {x|x 是锐角三角形},B = {x | x 是钝 ? UB = {1, 2, 7, 8}. 例 2 解: 根据三角形的分类可知 A 角三角形}. 求 A∩B, ? U (A∪B). ∩B = ? , A∪B = {x | x 是锐角三角形或钝角 三角形}, ? U (A∪B) = {x | x 是直角三角形}. 师:提出问题 生:合作交流,探讨 师生:学生说明性质①、②成立的 理由,老师点评、阐述. 补集的性质: 师:变式练习:求 A∪B,求 ? U (A ①A∪( ? UA) = U, ∪B)并比较与( ? UA)∩( ? UB)的结 ②A∩( ? UA) = ? . 果. 能力提升. 探 解:因为 ? UA = {1, 3, 6, 7}, ? UB = 练习 1: 已知全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, 究补集的性 性质探究 {2, 4, 6},所以 A∩( ? UB) = {2, 4}, 质,提高学生 A={2, 4, 5},B = {1, 3, 5, 7},求 A∩ 的归纳能力. ( ? UB),( ? UA)∩( ? UB). ( ? UA)∩( ? UB) = {6}. 总结: ( ? UA)∩( ? UB) = ? U (A∪B), ( ? UA)∪( ? UB) = ? U (A∩B).

师生合作分析例题. 例 2(1) :主要是比较 A 及 S 的区 例 2 填空 别,从而求 ? SA . (1)若 S = {2,3,4},A = {4,3},则 例 2(2) :由三角形的分类找 B 的 补集. ? SA = . (2) S = {三角形}, = {锐角三角形},例 2(3) 若 B :运用空集的定义. 例 2(4) :利用集合元素的特征. 则 ? SB = . (3) S = {1, 4, 若 2, 8}, = ? , ? SA 综合应用并集、补集知识求解. A 则 = . 例2 (7) 解答过程中渗透分类讨论 : 进一步深化 2 (4)若 U = {1,3,a + 3a + 1},A = {1,思想. 理解补集的 应用举例 3}, ? UA = {5},则 a . 例 2(1)解: ? SA = {2} 概念. 掌握补 (5)已知 A = {0,2,4}, ? UA = {–1, 例 2(2)解:? SB = {直角三角形或 集的求法. 钝角三角形} 1}, ? UB = {–1,0,2},求 B = . 例 2(3)解: ? SA = S 2 (6)设全集 U = {2,3,m + 2m – 3}, 例 2(4)解:a2 + 3a + 1 = 5, a = – 4 或 1. A = {|m + 1| ,2}, ? UA = {5},求 m. (7)设全集 U = {1,2,3,4},A = {x | 例 2 (5) 利用韦恩图由 A 设 ? UA 解: 2 先求 U = {–1,0,1,2,4},再求 B x – 5x + m = 0,x∈U},求 ? UA、m. = {1,4}. 例 2(6)解:由题 m2 + 2m – 3 = 5 且|m + 1| = 3,

解之 m = – 4 或 m = 2. 例 2(7)解:将 x = 1、2、3、4 代 m 入 x2 – 5x + m = 0 中, = 4 或 m = 6, 2 当 m = 4 时,x – 5x + 4 = 0,即 A = {1,4}, 又当 m = 6 时,x2 – 5x + 6 = 0,即 A = {2,3}. 故满足条件:? UA = {1,4},m = 4; ? UB = {2,3},m = 6. 1.全集的概念,补集的概念. 2. ? UA ={x | x∈U,且 x ? A }. 3.补集的性质: 归纳总结 ①( ? UA)∪A = U,( ? UA)∩A = ? , ② ? U ? = U, ? UU = ? , ③( ? UA)∩( ? UB) = ? U (A∪B), ( ? UA)∪( ? UB) = ? U (A∩B) 课后作业 1.1 第四课时习案 引导学生自 我回顾、反 师生合作交流,共同归纳、总结, 思、归纳、总 逐步完善. 结,形成知识 体系. 巩固基础、 提 升能力

学生独立完成

备选例题
例 1 已知 A = {0,2,4,6}, ? SA = {–1,–3,1,3}, ? SB = {–1,0,2},用列举法 写出集合 B. 【解析】∵A = {0,2,4,6}, ? SA = {–1,–3,1,3}, ∴S = {–3,–1,0,1,2,3,4,6} 而 ? SB = {–1,0,2},∴B = ? S ( ? SB) = {–3,1,3,4,6}. 例 2 已知全集 S = {1,3,x3 + 3x2 + 2x},A = {1,|2x – 1|},如果 ? SA = {0},则这样的 实数 x 是否存在?若存在,求出 x;若不存在,请说明理由. 【解析】∵ ? SA = {0},∴0∈S,但 0 ? A,∴x3 + 3x2 + 2x = 0,x(x + 1) (x + 2) = 0, 即 x1 = 0,x2 = –1,x3 = –2. 当 x = 0 时,|2x – 1| = 1,A 中已有元素 1,不满足集合的性质; 当 x= –1 时,|2x – 1| = 3,3∈S; 当 x = –2 时,|2x – 1| = 5,但 5 ? S. ∴实数 x 的值存在,它只能是–1. 例 3 已知集合 S = {x | 1<x≤7},A = {x | 2≤x<5},B = {x | 3≤x<7}. 求: (2) ? S (A∪B); (3)( ? SA)∪( ? SB); (4) ? S (A∩B). (1)( ? SA)∩( ? SB); 【解析】如图所示,可得

A∩B = {x | 3≤x<5},A∪B = {x | 2≤x<7}, ? SA = {x | 1<x<2,或 5≤x≤7}, ? SB = {x | 1<x<3}∪{7}. 由此可得: (1)( ? SA)∩( ? SB) = {x | 1<x<2}∪{7}; (2) ? S (A∪B) = {x | 1<x<2}∪{7}; (3)( ? SA)∪( ? SB) = {x | 1<x<3}∪{x |5≤x≤7} = {x | 1<x<3,或 5≤x≤7}; (4) ? S (A∩B) = {x | 1<x<3}∪{x | 5≤x≤7} = {x | 1<x<3,或 5≤x≤7}. 例 4 若集合 S = {小于 10 的正整数}, A ? S , B ? S ,且( ? SA)∩B = {1,9},A∩B =

{2},( ? SA)∩( ? SB) = {4,6,8},求 A 和 B. 【解析】由( ? SA)∩B = {1,9}可知 1,9 ? A,但 1,9∈B, 由 A∩B = {2}知,2∈A,2∈B. 由( ? SA)∩( ? SB) = {4,6,8}知 4,6,8 ? A,且 4,6,8 ? B 下列考虑 3,5,7 是否在 A,B 中: 若 3∈B,则因 3 ? A∩B,得 3 ? A. 于是 3∈ ? SA,所以 3∈( ? SA)∩B, 这与( ? SA)∩B = {1,9}相矛盾. 故 3 ? B,即 3∈( ? SB),又∵3 ? ( ? SA)∩( ? SB), ∴3 ? ( ? SA),从而 3∈A;同理可得:5∈A,5 ? B;7∈A,7 ? B. 故 A = {2,3,5,7},B = {1,2,9}. 评注:此题 Venn 图求解更易.


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