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2015年广东高考数学(理科)试卷及答案解析


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)
一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.
1. 若集合 ? ? x ? x ? 4 ?? x ? 1? ? 0 , ? ? x ? x ? 4 ?? x ? 1? ? 0 ,则 M ? N ? ( A. ? B. {?1,?4} C. {0} ). C. 2 ? 3i ). C. y ? 2 ?
x

?

?

?

?

).

D. {1,4}

2. 若复数 z ? i(3 ? 2i)(i是虚数单位 ) ,则 z ? ( A. 3 ? 2i B. 3 ? 2i 3. 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( A. y ? x ? e
x

D. 2 ? 3i

B. y ? x ?

1 x

1 2x

D. y ? 1 ? x2

4. 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球,其中有 10 个白球,5 个红球,从袋中任取 2 个球,所取的 2 个球中恰好有 1 个白球,1 个红球的概率为( A. 1 B. ).

11 21
2 2

C.

10 21
).

D.

5 21

5. 平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 且与圆 x ? y ? 5 相切的直线的方程是( A. 2x ? y ? 5 ? 0或2x ? y ? 5 ? 0 C. 2 x ? y ? 5 ? 0或2 x ? y ? 5 ? 0

B. 2x ? y ? 5 ? 0或2x ? y ? 5 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0或2 x ? y ? 5 ? 0

?4 x ? 5 y ? 8 ? 6. 若变量 x, y 满足约束条件 ?1 ? x ? 3 ,则 z ? 3x ? 2 y 的最小值为( ?0 ? y ? 2 ?
A.

).

31 5
2

B. 6

C.

23 5

D. 4 ).

5 x y2 7. 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,且其右焦点为 F2 (5,0) ,则双曲线 C 的方程为( 4 a b

x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 B. C. 4 3 16 9 9 16 8. 若空间中 n 个不同的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值( ).
A. A. 大于 5 B. 等于 5 C. 至多等于 4

D.

x2 y2 ? ?1 3 4

D. 至多等于 3

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.
(一)必做题(9 ~ 13 题) 9. 在 ( x ? 1) 4 的展开式中, x 的系数为_____________. 10. 在等差数列 {an } 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 25,则 a2 ? a8 ? _____________. 11. 设 ? ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c .若 a ? 3 , sin B ?

1 ? , C ? ,则 b ? ___________. 2 6

12. 某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了_______条毕业留言.(用数字
第 1 页 共 1 页

作答) 13. 已知随机变量 X 服从二项分布 B ( n, p ) .若 E ( X ) ? 30, D( X ) ? 20 ,则 p ? __________. (二)选做题(14 ~ 15 题,考生只能从中选做一题) 14. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 已 知 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为

? 7? 2 ? sin(? ? ) ? 2 , 点 A 的 极 坐 标 为 A( 2 2 , ) , 则 点 4 4 A 到直线 l 的距离为____________. 15. (几何证明选讲选做题)如图 1,已知 AB 是圆 O 的直径, AB ? 4 , EC 是圆 O 的切线,切点为 C , BC ? 1 .过圆心 O 作 BC 的平行线, 分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P ,则 OD ? ___________. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m ? ( (1)若 m ? n ,求 tan x 的值; (2)若 m 与 n 的夹角为 .

? 2 2 ,? ) , n ? (sin x, cos x), x ? (0, ) . 2 2 2

? ,求 x 的值. 3

17. (本小题满分 12 分) 某工厂 36 名工人的年龄数据如下表.

(1) 用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44, 列出样本的年龄数据; (2) 计算(1)中样本的均值 x 和方差 s ; (3) 36 名工人中年龄在 x ? s 与 x ? s 之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到 0.01%)?
第 2 页 共 2 页
2

18. (本小题满分 14 分) 如图 2,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直, PD ? PC ? 4,AB ? 6,BC ? 3 , 点 E 是 CD 的中点,点 F、 G 分别在线段 AB、BC 上,且 AF ? 2FB ,CG ? 2GB . (1)证明: PE ? FG ; (2)求二面角 P ? AD ? C 的正切值; (3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.

19. (本小题满分 14 分)
2 x 设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? (1 ? x )e ? a .

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)证明 f ( x) 在(??,??)上仅有一个零点; (3)若曲线 y ? f ( x) 在点 P 处的切线与 x 轴平行,且在点 M (m, n) 处的切线与直线 OP 平行,( O 是坐标原点), 证明: m ? 3 a ?

2 ?1. e

第 3 页 共 3 页

20. (本小题满分 14 分) 已知过原点的动直线 l 与圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相交于不同的两点 A、B . (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k ,使得直线 L : y ? k ( x ? 4) 与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围; 若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 数列 {an } 满足: a1 ? 2a2 ? (1)求 a 3 的值; (2)求数列 {an } 的前 n 项和 Tn ; (3)令 b1 ? a1 , bn ?

nan ? 4 ?

n?2 ,n? N?. 2n ?1

Tn ?1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ?? ? )an (n ? 2) 证明:数列 {bn } 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2 ? 2 ln n . n 2 3 n

第 4 页 共 4 页

1. 答案: A 2. 答案: D 3 答案: A 4 答案: C

提示: M ? {?1, ?4}, N ? {1, 4},? M 提示: z ? 2 ? 3i,? z ? 2 ? 3i
1 1 C10 C5 50 ? 2 10 ? ? . 2 C15 15 ?14 21

N ? ?.

提示: 所求概率为

5.答案: D 6 答案: C

提示: 设所求直线的方程为 2 x ? y ? a ? 0, 依题意

|a| 22 ? 1

? 5,? | a |? 5,即a ? ?5.

提 示 : 可 行 域 为 一 五 边 形 及其内 部 ( 含 边 界 ), 该 五 边 形的 五 个 顶 点 分 别为 A(1,2), B(3,2),

C(3,0),D(2,0),E (1, ) , 易知当目标函数过点 E (1, ) 时取到最小值,此时 z= 3 ?1 ? 2 ? 7. 答案: B 8. 答案: C. 9.答案: 6. 提示: Tr ?1 ? C ( x )
r 4 1 2 4?r r 2

4 5

4 5

4 23 ? . 5 5

提示: 显然c ? 5, 又e ?

c 5 5 ? ? ,? a ? 4, 从而b 2 ? c 2 ? a 2 ? 9. a a 4

(?1) ? (?1) C x
r r r 4

2?

, 令2 ?

r 2 ? 1得r ? 2, ?展开式中x的系数为(?1)2 C4 ? 6. 2

10.答案: 10. 11.答案:1 .

提示: (a3 ? a7 ) ? (a4 ? a6 ) ? a5 ? 2a5 ? 2a5 ? a5 ? 25,?a5 ? 5, 从而a2 ? a8 ? 2a5 ? 10. 提示:

1 ? 5? ? 5? ? sin B ? , 且B ? (0, ? ),? B ? 或 , 又 C ? ,? B ? , 从而B ? , 2 6 6 6 6 6

? a ? 2b cos
12.答案: 1560. 13.答案:

?
6

, 即 3 ? 3b,? b ? 1.

2 提示: 相当于从40人中选取两人的排列数, 故方法总数为A40 ? 40 ? 39 ? 1560.

1 . 3

提示:

X

B(n, p),? E ( X ) ? np ? 30, D( X ) ? np(1 ? p) ? 20,?1 ? p ?

20 1 , 故p ? . 30 3

14 答案:

5 2 . 2

提示 : 连结O C ,

O D/ / B 又 C,

B ?C 1 C? O 2

A ? ,C

? O P 从而 A , C 为线段 P A,从而 F ? A ? 2 即 B, C = OD ? C ?2 O ,? CB

的中点 AC , = A O? D ? O 2D 又 , CB ? A = O 9o 0 CD , ?B 2A ?4 ?8 .

设线段O D 与圆交于点 F , 则弧 C F ?弧 ?? COD
15.答案: 8. 16. 解:(1) m ? n ? (

?CB ,A

C? B 1.

2 2 2 2 ? ,? ) ? (sin x, cos x) ? sin x ? cos x ? sin(x ? ) , 2 2 2 2 4

m ? n,? m ? n ? 0,即sin( x ? ) ? 0, 又 x ? (0, ) ,? ? ? x ? ? ,? x ? ? 0 . 4 2 4 4 4 4 ? ? 即 x ? ,? tan x ? tan ? 1 . 4 4

?

?

?

?

?

?

第 5 页 共 5 页

sin(x ? ) ? 4 ? ? sin(x ? ) , (2)依题意 cos ? 3 | m |?| n | 4 2 2 2 ( ) 2 ? (? ) ? sin 2 x ? cos2 x 2 2

?

m?n

?

即 sin( x ?

?
4

)?

1 ? ? ? ? ? ? ? 5? , 又 x ? ? (? , ) ,? x ? ? , 即x ? ? ? 2 4 4 4 4 6 6 4 12

17.解:(1)各分段工人的编号依次为 1~4,5~8,…,33~36, 依题意,第一分段里抽到的年龄为 44,即抽到的是编号为 2 的工人, 从而所得样本的编号依次为 2,6,10,14,18,22,26,30,34, 即样本的年龄数据依次为 44,40,36,43,36,37,44,43,37.

(2) x ?

44 ? 40 ? 36 ? 43 ? 36 ? 37 ? 44 ? 43 ? 37 4?0?4?3?4?3? 4?3?3 ? 40 ? ? 40 ? 0 ? 40, 9 9 1 1 100 ? s 2 ? [42 ? 02 ? (?4) 2 ? 32 ? (?4) 2 ? (?3) 2 ? 4 2 ? 32 ? (?3) 2 ] ? (4 ? 4 2 ? 4 ? 32 ) ? . 9 9 9 10 10 2 10 1 ,? x ? s ? 40 ? ? 36 , x ? s ? 40 ? ? 43 , 3 3 3 3 3 2 1 23 易得36人中, 年龄位于36 与43 之间的有23人, ? 0.6389 ? 63.89%, 3 3 36
即 36 名工人中年龄在 x ? s 与 x ? s 之间有 23 人,所占的百分比是 63.89% .

(3) s ?

18.解:(1)证明:

PD ? PC, E为DC中点,? PE ? DC,

又面P D C? 面 A B C , 而面 D ? P E ? 面 A B C, D F ?G 面

P D面 C

A = BCD , FG

D ?C 面P E ,

PDC

AB ? , C D ? P E.

(2) 面PDC ? 面ABCD, AD ? DC ,? AD ? 面PDC , ? AD ? PD, AD ? DC , 从而?PDC为二面角P ? AD ? C的平面角, 1 1 DC ? AB ? 3,? PE ? PD 2 ? DE 2 ? 7, 2 2 PE 7 7 ? tan ?PDC ? ? , 即二面角P ? AD ? C的正切值为 . DE 3 3 PD ? 4, DE ?
AF CG (3 连结AC , ? 2 ? ? , AC FB GB AC ? AB 2 ? BC 2 ? 6 2? 3 2 ? ?c o s ?PAC ? FG / / 从而 , ?PAC为直线PA与直线FG所成角或其补角, 45 ?
2 3 AP 5 , ? AD ? DP ?2 2 ?3 ?42

5,

AP 2 ? AC 2 ? PC 2 2 5? 4 ? 5 16 54 9 5 ? ? ? , 2 AP ? AC 2 ? 5? 3 5 30 5 25 9 5 . 25

即直线PA与直线FG所成角的余弦值为
2 x 2 x

19. 解:(1) f ( x) ? (1 ? x ? 2 x)e ? ( x ? 1) e ? 0 ,? f ( x)在(??,??)上为增函数. (2)

a ? 1, f (0) ? 1 ? a ? 0,? f (a) ? (1 ? a2 )ea ? a ? (1 ? a2 )e ? a ? 1 ? a2 ? a ? a2 ? a ? a(a ?1) ? 0 ,
第 6 页 共 6 页

? f ( x)在区间 (0, a)有零点 , 又? f ( x)在(??,??)上为增函数 ,? f ( x)在(??,??)仅有一个零点 .

2 ?a?0 2 2 2 ?1 ' e (3)由 f ( x) ? 0 得 x ? ?1 ,又 f (?1) ? 2e ? a ? ? a ,? P(?1, ? a),? kop ? ?a? . e e ?1 ? 0 e 2 2 m 依题意 f ' (m) ? kOP ,? (m ? 1) e ? a ? , e
设 g ( x) ? e x ? x ? 1,则 g ' ( x) ? e x ?1 , 当 x ? 0 时, e ? 1 ? 0 ; 当 x ? 0 时, e ? 1 ? 0 ,? g ( x)在(??,0)为减函数 , 在(0,??)为增函数,
x x

从而 gmin ( x) ? g (0) ? e ? 0 ? 1 ? 0 ,即 ?x ? R, g ( x) ? 0 .? ?m ? R, g (m) ? 0 ,即 e ? m ? 1 ? 0 ,
0
m

2 ?1 ? m ? e m , 又(1 ? m) 2 ? 0,? (1 ? m)3 ? (1 ? m) 2 e m ? a ? , e

2 2 ?1 ? m ? 3 a ? ,即m ? 3 a ? ? 1. e e
20. 解:(1) x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0,即( x ? 3)2 ? y 2 ? ?5 ? 9 ? 4, ?圆C1的圆心坐标为 (3,0) . (2)法一: 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x, y) ,? x1 ? y1 ? 6x1 ? 5 ? 0 , x2 ? y2 ? 6x2 ? 5 ? 0 ,
2 2 2 2

即 ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 6( x1 ? x2 ) ? 0 ,,

x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )

y y1 ? y2 ? 6 ? 0 , 即2 x ? 2 y ? ? 6 ? 0 . x x1 ? x2

3 9 ? x 2 ? y 2 ? 3x ? 0,即( x ? )2 ? y 2 ? . 2 4 5 考虑到弦的中点只能在圆C1的内部, 可解得点M的横坐标的范围为 ? x ? 3, . 3 3 9 5 故线段AB的中点M的轨迹C的方程为( x ? )2 ? y 2 ? ( ? x ? 3). 2 4 3
法二:

点M 为弦AB中点,?C1M ? AB,?kC1M ? kAB ? ?1,即kC1M ? kMO ? ?1,
? y y 5 ? ? ?1, 即x 2 ? y 2 ? 3 x ? 0( ? x ? 3) . x ?3 x 3

2 2 2 2 2 (3)将 y ? k ( x ? 4) 代入 x ? y ? 3x ? 0 ( ? x ? 3) 中得: x ? k ( x ? 8x ? 16) ? 3x ? 0 ,

5 3

?(k 2 ? 1) x2 ? (8k 2 ? 3) x ? 16k 2 ? 0 , ? ? (8k 2 ? 3)2 ? 64k 2 (k 2 ? 1) ? 48k 2 ? 9 ? 64k 2 ? 9 ?16k 2 ,
3 8(? )2 ? 3 3 8k 2 ? 3 12 5 4 由 ? ? 0 得 k ? ? , 此时切点的横坐标值为 ? ? ? ( ,3], , 2 4 2(k ? 1) 2((? 3 )2 ? 1) 5 3 4
3 故k ? ? 时, 直线 L : y ? k ( x ? 4) 与曲线 C 只有一个交点; 4

第 7 页 共 7 页

5 2 5 5 2 5 由于点( , ? )不在轨迹C上, 故当L过点( , ? )时, L与轨迹C只有一个交点, 3 3 3 3 2 5 ? 3 ? ? 2 5 , 依据图形特征知当- 2 5 ? k ? 2 5 时, 直线L与轨迹C只有一个交点. 此时k ? 5 7 7 7 ?4 3
综上所述, k ? [? 21.解:(1) a1 ? 4 ?

2 5 2 5 3 3 , ] {? , } 时,直线 L : y ? k ( x ? 4) 与曲线 C 只有一个交点. 7 7 4 4

1? 2 2?2 1 3? 2 1 ? 1,1 ? 2a2 ? 4 ? 2?1 ? 4 ? 2 ? 2,? a2 ? ,1 ? 1 ? 3a3 ? 4 ? 3?1 ,? a3 ? . 1?1 2 2 2 2 4 n ?1 n?2 n ?1 n (2) n ? 2时, a1 ? 2a2 ? ? (n ? 1)an ?1 ? 4 ? n ? 2 , 从而nan ? (4 ? n ?1 ) ? (4 ? n ? 2 ) ? n ?1 , 2 2 2 2 1 1 1 ? an ? n ?1 (n ? 2), 又a1 ? 1 ? 1?1 ,? an ? n ?1 ( n ? N * ), 2 2 2 1 1? n 1 2 ? 2? 1 . ? 数列{an }是1为首项, 为公比的等比数列, 从而Tn ? 1 2 2n ?1 1? 2

(3)b1 ? a1 , b2 ?

a ? a ? ? an ?1 a1 a ?a 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) a2 , b3 ? 1 2 ? (1 ? ? ) a3 , bn ? 1 2 ? (1 ? ? ? ) an , 2 2 3 2 3 n 2 n 1 1 1 1 ? S n ? b1 ? b2 ? ? bn ? (1 ? ? ? )(a1 ? a2 ? ? an ) ? (1 ? ? ? )Tn 2 n 2 n 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? )(2 ? n ?1 ) ? 2(1 ? ? ? ). 2 n 2 2 n 1 1 1 x ?1 记函数f ( x) ? ln x ? ? 1( x ? 1), 则f '( x) ? ? 2 ? 2 ? 0,?当x ? 1时, f ( x)为增函数, x x x x 1 从而当x ? 1时, f ( x) ? f (1) ? ln1 ? ? 1 ? 0, 1 k k k 1 k 1 当k ? N * , 且k ? 2时, ? 1,? f ( ) ? 0, 即 ln ? ? 1 ? 0, 亦即 ln ? , k k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 k k ?1 1 2 1 3 1 n 1 1 1 2 3 n ? ln , ? ln , , ? ln , 故 ? ? ? ? ln ? ln ? ? ln ? ln n, 2 2 ?1 3 3 ?1 n n ?1 2 3 n 2 ?1 3 ?1 n ?1 1 1 1 1 1 ? 2(1 ? ? ? ) ? 2 ? 2( ? ? ? ) ? 2 ? 2 ln n, 2 n 2 3 n 1 1 综上, S n ? 2(1 ? ? ? ) ? 2 ? 2 ln n. 2 n 1 1 1 (注 : 证明 ? ? ? ? ln n时, 也可以使用数学归纳法) 2 3 n

第 8 页 共 8 页


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