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2016-2017学年度高二上学期期中考试理科数学试题(20161103)参考答案


华中师大一附中 2016—2017 学年度上学期高二期中检测 数学试题(理科)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的,把答案填在答题卡相应位置上. ) 1.已知方程 x 2 ? y 2 ? 4mx? 2 y ? 5m ? 0 表示一个圆,则实数 m 的取值范围是 A. ( ,1)

1 4

B. (??, ) ? (1, ??)

1 4

C. (??, )

1 4

D. (1, ??)

2.设直线 l 过点 (0,2) ,且被圆 x 2 ? y 2 ? 4 截得的弦长等于 2,则直线 l 的斜率为 A. ?

3 2

B. ?

3 3

C. ? 2

D. ? 3

3.已知椭圆中心为坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,短轴的两端点为 B1 , B2 ,过其左焦点 F1 作 x 轴的 垂线交椭圆于 P 点,若 F1 B2 是 OF 1 和 B 1B2 的等比中项,则

PF1 OB2

=

A. 2

B.

3 2

C.

2 2

D.

2 3

4.已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 1 ,点 A(?2,0) 及点 B ( 2, a ) ,从 A 点观察 B 点,要使视线不被圆 C 挡住, 则实数 a 的取值范围为 A. (??,?1) ? (1,??) C. (??,?4) ? (4,??) B. (??,?2) ? (2,??) D. (?? ,?

4 4 3 ) ? ( 3 ,?? ) 3 3 5.抛物线 C 的焦点为 F ,准线为 l ,焦点 F 在准线 l 上的射影为点 K ,过 F 任作一条直线交抛
物线 C 于 A, B 两点,则 ? AKB 为 A.锐角 B.直角 C.钝角 D.锐角或直角

6.设 m ? R ,则动直线: x ? m y ? 0 和动直线: m x ? y ? m ? 3 ? 0 的交点 M 的轨迹为 A.圆 B.椭圆
2 2

C.双曲线

D.抛物线

7. 定理: 如果椭圆的方程为

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 那么椭圆围成的封闭区域的面积为 ab ? . 若 2 a b
高二年级数学试题(理科) 第 1 页 共 4 页

过坐标原点的直线 l , x 轴正半轴与椭圆围成的两区域面积分别设为 s , t ,则 s 关于 t 的函数的图 像的大致形状为

x2 y2 8.过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A, B 两点,若 AB ? 2a 恒 a b
成立,则双曲线的离心率 e 的取值范围为 A. 1 ? e ? 9. 已知

2

B. 1 ? e ? 3

C. e ?

2

D. e ? 3

xx yy 1 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0) , ? ?1 当 mn 取得最小值时, 直线 y ? ? 2 x ? 2 与曲线 m n m n

A.有四个交点 B.有三个交点 C.有两个交点 D.只有一个交点 10.已知 M 为抛物线 C 上除顶点外的任意一点, A 为抛物线 C 的对称轴上除顶点外的一点,直 线 MA 与抛物线 C 的另一交点为 N ,记 t ?

1 1 ,若 t 值与 M 点的位置无关,则称此时 ? AM AN

的点 A 为抛物线 C 的“稳定点” .那么抛物线 y 2 ? 12x 的“稳定点”的坐标为 A. (?6,0) B. (?3,0) C. (6,0) D. (3,0)

11.如图,在四面体 ABCD 中, AB ? BC ? CA , DC ? 平面 ABC , E , F 分别是对棱 AC, BD 的 中点,且 EF ? BD ,则二面角 E ? BD ? C 的余弦值为 A.
D

2 2

B.

2 3
C
E

F

3 C. 2
2

3 D. 3

B A

12.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,已知点 A , B 为抛物线上的两个动点,且满足

?AFB ? 120? ,过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ,垂足为 N ,则
A.

MN AB

的最大值为

3 3
?

B .1

C.

2 3 3

D.2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置上. ) 13.已知空间向量 p 在基底 a, b , c 下的坐标为 (8,6,4) ,其中 a ? i ? j ,b ? j ? k , c ? k ? i ,
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??

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

则空间向量 p 在基底 i , j , k 下的坐标为

?

??

? ?

?

. .

14.抛物线 y 2 ? 8x 的顶点和焦点在直线 x ? ay ? a ? 0 的两侧,则实数 a 的取值范围为

15.以椭圆的两个焦点为直径端点的圆交椭圆于四个点,若顺次连接这四个点及两个焦点恰好组 成一个正六边形,则椭圆的离心率 e 为 . 16.如图所示,经测量一条河流西岸的 A 地,东岸的 B 地与 C 地满足: AB ? 4km, BC ? 2km ,

?ABC ?

2? ,河东岸的沿岸 PQ (曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km , “长投公 3

司”计划在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头向 B, C 两地转运货物,经测 算:从 M 到 B, C 修建公路的费用分别是 3 万元/ km ,6 万元/ km ,那么 修建这两条公路的总费用最低为 万元. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,把答案填 在答题卡相应位置上. ) 17.(本小题满分 10 分)已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,渐近线与 x 轴的夹角为 且焦距等于 4,求双曲线的标准方程.

? , 3

18.(本小题满分 10 分)求过点 A(1,?2) 且与圆 C : x 2 ? y 2 ? 8x ? 4 y ? 15 ? 0 相切于点 B(?2,1) 的 圆的方程.

19.(本小题满分 12 分)如图,在正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 1, AA 1 ?2 (1)求证:平面 ACD 1 ? 平面 BDD 1 B1 ; (2)求 AA 1 与平面 ACD 1 所成的角的正弦值; (3)设 H 为截面 ?ACD1 内一点,求 H 到正四棱柱表面 ADD 1A 1,

DCC1D1 , ABCD 的距离的平方和的最小值.
20.(本小题满分 12 分)已知点 F (2,0) ,直线 l : x ? ?2 , M 为平面内的动点,过 M 作直线 l 的垂

高二年级数学试题(理科)

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线,垂足为点 Q ,且 QM ? QF ? FM ? FQ . (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 倾斜角为锐角 ? 的直线交轨迹 C 于 A, B 两点,作线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点

???? ? ??? ?

???? ? ??? ?

P ,证明: FP (1 ? cos2? ) 为定值.

21 . ( 本小题满分 13 分 ) 如图,抛物线 C1 : y 2 ? 4 x 的焦准距(焦点到准线的距离)与椭圆

x2 y2 C2 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长半轴长相等,设椭圆 C2 的右顶点为 a b
A , C1 , C2 在第一象限的交点为 B , O 为坐标原点,且 ?OAB 的面积


2 6 . 3

(1)求椭圆 C2 的标准方程; (2)过 A 点作直线 l 交抛物线 C1 于 C , D 两点,射线 OC, OD 分别交椭圆 C2 于 E , F 两点,记

?OEF, ?OCD 的面积分别为 S 1, S 2 ,问是否存在直线 l ,使得 S1 : S2 ? 3 : 13? 若存在,求出直线 l
的方程;若不存在,请说明理由.

22.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,长轴在 x 轴上,直线 l1 : x ? 2 y ? 2 ? 0 被椭圆

C 截得的弦 PQ 的长为

2 5 ,且弦 PQ 的中点 E 与原点连线的斜率为 1. 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2) 设直线 l1 与 x 轴的交点为 T ,F 是椭圆 C 的右焦点,过点 F 作直线 l 2 交椭圆 C 于 A, B 两点, 设向量 FA ? ? FB ,若 ? ? ?? 2,?1?,求向量 TA ? TB 的模的取值范围.

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