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2015-2016学年广东省中山一中高二(上)第三次段考数学试卷(理科)解析版


2015-2016 学年广东省中山一中高二(上)第三次段考数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分) (2015 秋?厦门校级期中)已知 a,b 是不等的两个正数,A 是 a,b 的等差中项, B 是 a,b 的正的等比中项,则 A 与 B 的大小关系是( ) A.A<B B.A>B C.A=B D.不能确定 2 2. (5 分) (2010?辽宁模拟)抛物线 y =ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( ) A. B. C.|a| D.﹣

3. (5 分) (2012 秋?湖北校级期末)与命题“能被 6 整除的整数,一定能被 3 整除”等价的命 题是( ) A.能被 3 整除的整数,一定能被 6 整除 B.不能被 3 整除的整数,一定不能被 6 整除 C.不能被 6 整除的整数,一定不能被 3 整除 D.不能被 6 整除的整数,不一定能被 3 整除 4. (5 分) (2016?钦州校级一模)在△ABC 中,a、b 分别是角 A、B 所对的边,条件“a<b” 是使“cosA>cosB”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. (5 分) (2007?湖北)在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AA1、 BB1 的中点,G 为棱 A1B1 上的一点,且 A1G=λ(0≤λ≤1) ,则点 G 到平面 D1EF 的距离为 ( )

A.

B.

C.

D.

6. (5 分) (2015 秋?普陀区校级期中)某学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一都有 A,B 两种菜可供选择.调查资料表明,凡是在星期一选 A 种菜的,下星期一会有 20%的人 改选 B 种菜;而选 B 种菜的,下星期一会有 30%的人改选 A 种菜.用 an,bn 分别表示在第 n 个星期一选 A 种菜的人数和选 B 种菜的人数,如果 a1=300,则 a10 为( ) A.300 B.350 C.400 D.450 7. (5 分) (2015?高安市校级模拟)如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新 的三角形的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形

D.由增加的长度决定
2 2

8. (5 分) (2013?日照二模)已知命题 p:? x∈[1,2],x ≥a;命题 q:? x∈R,x +2ax+2 ﹣a=0,若命题 p∧q 是真命题,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤﹣2 或 a=1 B.a≤﹣2 或 1≤a≤2 C.a≥1 D.﹣2≤a≤1 9. (5 分) (2015 秋?广东校级月考)在四面体 O﹣ABC 中,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA, N 为 BC 的中点,若 A.1 B.2 C. D. ,则使 G 与 M,N 共线的 x 的值为( )

10. (5 分) (2014?黄冈校级模拟)已知点 F 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左焦点,

点 E 是该双曲线的右顶点,过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( ) A. (1,+∞) B. (1,2) C. (1,1+ ) D. (2,1+ ) 11. (5 分) (2015 秋?厦门校级期中)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b) , 其全程的平均时速为 v,则( ) A. B. C. D.
*

12. (5 分) (2016 春?保定校级月考)数列{an}满足:a1=1,且对任意的 m,n∈N 都有: am+n=am+an+mn,则 A. B. + + C. +…+ =( D. )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填在题中的横线上) 13. (5 分) (2009?全国卷Ⅱ)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=1,S6=4S3,则 a4= . 14. (5 分) (2009?湖北校级模拟)如图 Rt△ABC 中,AB=AC=1,以点 C 为一个焦点作一 个椭圆,使这个椭圆的另一个焦点在 AB 边上,且这个椭圆过 A、B 两点,则这个椭圆的焦 距长为 .

15. (5 分) (2011 秋?嘉兴校级期中) 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的余弦值是 . 2 16. (5 分) (2015 秋?泸州期末)已知方程 x +ax+2b=0(a∈R,b∈R) ,其一根在区间(0, 1)内,另一根在区间(1,2)内,则 的取值范围为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 17. (10 分) (2015 秋?广东校级月考) 已知命题 p: 2x ﹣9x+a<0, 命题 q: 且非 q 是非 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围. 18. (12 分) (2013?临洮县校级模拟)如图,正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2AB=4, 点 E 在 CC1 上且 C1E=3EC (1)证明:A1C⊥平面 BED; (2)求二面角 A1﹣DE﹣B 的余弦值.
2



19. (12 分) (2015 秋?厦门校级期中)在△ABC 中,内角 A,B,C 对应的边分别为 a,b, c(a≤b≤c) ,且 bcosC+ccosB=2asinA. (Ⅰ)求角 A; (Ⅱ)求证: ;

(Ⅲ)若 a=b,且 BC 边上的中线 AM 长为 ,求△ABC 的面积. 20. (12 分) (2014?泉州模拟)某工厂某种产品的年固定成品为 250 万元,每生产 x 千件, 需另投入成本为 C(x) ,当年常量不足 80 千件时,C(x)= x +10x(万元) ;当年常量不 小于 80 千件时,C(x)=51x+ ﹣1450(万元) .每件商品售价为 0.05 万元,通过市
2

场分析,该厂生产的产品能全部售完 (1)写出年利润 L(x) (万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年常量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 21. (12 分) (2016 春?安徽校级期末) 已知数列{an}的前 n 项和 为正整数) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 ,Tn=c1+c2+…+cn,求 Tn 的值.
2 2

(n

22. (12 分) (2015?龙岩一模)已知椭圆 C1: 相同焦点 F1. (Ⅰ)求椭圆 C1 的标准方程;

+x =1(a>1)与抛物线 C

:x =4y 有

(Ⅱ)已知直线 l1 过椭圆 C1 的另一焦点 F2,且与抛物线 C2 相切于第一象限的点 A,设平 行 l1 的直线 l 交椭圆 C1 于 B,C 两点,当△OBC 面积最大时,求直线 l 的方程.

2015-2016 学年广东省中山一中高二(上)第三次段考数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分) (2015 秋?厦门校级期中)已知 a,b 是不等的两个正数,A 是 a,b 的等差中项, B 是 a,b 的正的等比中项,则 A 与 B 的大小关系是( ) A.A<B B.A>B C.A=B D.不能确定 【分析】由等差中项和等比中项的定义先表示出 A 和 B,再利用基本不等式比较大小即可. 【解答】解:∵a,b 是不等的两个正数,A 是 a,b 的等差中项,B 是 a,b 的正的等比中项, ∴A= B=

∵a,b 是不等的两个正数 ∴ 即 A>B 故选:B. 【点评】本题考查等差中项和等比中项的定义以及比较大小等知识,属基本题. 2. (5 分) (2010?辽宁模拟)抛物线 y =ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( A. B. C.|a| D.﹣
2



【分析】先根据抛物线的标准方程求得 P,则抛物线的焦点和准线方程可得,进而利用点到 直线的距离求得答案. 【解答】解:根据抛物线方程可求得 p= ∴焦点为( ,0) ,准线方程为 x=﹣ 或焦点为(﹣ ,0) ,准线方程为 x= ∴焦点到准线的距离为 p= , ,

故选 B 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质.属基础题. 3. (5 分) (2012 秋?湖北校级期末)与命题“能被 6 整除的整数,一定能被 3 整除”等价的命 题是( ) A.能被 3 整除的整数,一定能被 6 整除 B.不能被 3 整除的整数,一定不能被 6 整除 C.不能被 6 整除的整数,一定不能被 3 整除

D.不能被 6 整除的整数,不一定能被 3 整除 【分析】根据命题“若 p,则 q”与它的逆否命题“若¬q,则¬p”是等价命题,写出答案即可. 【解答】解:∵命题“能被 6 整除的整数,一定能被 3 整除”的逆否命题是 “不能被 3 整除的整数,一定不能被 6 整除”; 它们是等价命题. 故选:B. 【点评】 本题考查了互为逆否命题的两个命题是等价命题的问题, 解题时应根据原命题会写 出它的逆否命题,是容易题目. 4. (5 分) (2016?钦州校级一模)在△ABC 中,a、b 分别是角 A、B 所对的边,条件“a<b” 是使“cosA>cosB”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】根据在(0,π)上,函数 f(x)=cosx 为减函数,判断角的大小关系. 【解答】解: (1)∵a、b 分别是角 A、B 所对的边,且 a<b,∴0<∠A<∠B<π. 而在(0,π)上,函数 f(x)=cosx 为减函数. ∴cosA>cosB 成立. (2)在(0,π)上,函数 f(x)=cosx 为减函数,0<∠A,∠B<π,cosA>cosB, ∴∠A<∠B,从而 a<b. 所以前者是后者的充要条件. 故选 C. 【点评】知道三角形中角的取值范围;在(0,π)上,函数 f(x)=cosx 为减函数;三角形 中,大边对大角,小边对小角. 5. (5 分) (2007?湖北)在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AA1、 BB1 的中点,G 为棱 A1B1 上的一点,且 A1G=λ(0≤λ≤1) ,则点 G 到平面 D1EF 的距离为 ( )

A.

B.

C.

D.

【分析】因为 A1B1∥EF,所以 G 到平面 D1EF 的距离即是 A1 到面 D1EF 的距离,由三角形 面积可得所求距离. 【解答】解:因为 A1B1∥EF,G 在 A1B1 上,所以 G 到平面 D1EF 的距离即是 A1 到面 D1EF 的距离,

即是 A1 到 D1E 的距离,D1E=

,由三角形面积可得所求距离为



故选:D 【点评】本题主要考查空间线线关系、线面关系,点到面的距离等有关知识,特别是空间关 系的转化能力. 6. (5 分) (2015 秋?普陀区校级期中)某学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一都有 A,B 两种菜可供选择.调查资料表明,凡是在星期一选 A 种菜的,下星期一会有 20%的人 改选 B 种菜;而选 B 种菜的,下星期一会有 30%的人改选 A 种菜.用 an,bn 分别表示在第 n 个星期一选 A 种菜的人数和选 B 种菜的人数,如果 a1=300,则 a10 为( ) A.300 B.350 C.400 D.450 【分析】由题意可得数列递推公式: ,又 an+bn=500,两式联立消去 bn

得数列{an}的递推公式,由 a1=300 可求得 a2=300,从而可知 a10 值. 【解答】解:依题意得 ,

消去 bn 得:an+1= an+150. 由 a1=300,得 a2=300,从而得 a10=300. 故选 A. 【点评】本题考查数列在实际问题中的应用,考查学生对数学知识的应用能力,属中档题. 7. (5 分) (2015?高安市校级模拟)如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新 的三角形的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定 【分析】先设出原来的三边为 a、b、c 且 c =a +b ,以及增加同样的长度为 x,得到新的三 角形的三边为 a+x、b+x、c+x,知 c+x 为最大边,所以所对的角最大,然后根据余弦定理判 断出余弦值为正数,所以最大角为锐角,得到三角形为锐角三角形. 2 2 2 【解答】解:设增加同样的长度为 x,原三边长为 a、b、c,且 c =a +b ,c 为最大边; 新的三角形的三边长为 a+x、b+x、c+x,知 c+x 为最大边,其对应角最大. 而(a+x) +(b+x) ﹣(c+x) =x +2(a+b﹣c)x>0, 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦= >0,则为锐角,
2 2 2 2 2 2 2

那么它为锐角三角形. 故选 A 【点评】 考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力, 以及掌握三角形一些基本性质的 能力.

8. (5 分) (2013?日照二模)已知命题 p:? x∈[1,2],x ≥a;命题 q:? x∈R,x +2ax+2 ﹣a=0,若命题 p∧q 是真命题,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤﹣2 或 a=1 B.a≤﹣2 或 1≤a≤2 C.a≥1 D.﹣2≤a≤1 【分析】根据二次函数的最值,一元二次方程解的情况和判别式△的关系即可求出命题 p, q 下 a 的取值范围,再根据 p∧q 为真命题得到 p,q 都为真命题,所以对前面所求 a 的取值 范围求交集即可. 【解答】解:命题 p:x 在[1,2]上的最小值为 1,∴a≤1; 2 命题 q:方程 x +2ax+2﹣a=0 有解, 2 ∴△=4a ﹣4(2﹣a)≥0,解得 a≥1,或 a≤﹣2; 若命题 p∧q 是真命题,则 p,q 都是真命题; ∴ ,∴a=1,或 a≤﹣2;
2

2

2

∴实数 a 的取值范围是{a|a≤﹣2,或 a=1}; 故选 A. 【点评】考查根据单调性求二次函数的最值,一元二次方程解的情况和判别式△的关系,以 及 p∧q 的真假和 p,q 真假的关系. 9. (5 分) (2015 秋?广东校级月考)在四面体 O﹣ABC 中,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA, N 为 BC 的中点,若 A.1 B.2 C. D. , = + .假设 G 与 M,N 共线,则存在实数 λ , 与 比较 ,则使 G 与 M,N 共线的 x 的值为( )

【分析】由已知可得 使得 可得. 【解答】解: ,



假设 G 与 M,N 共线,则存在实数 λ 使得 = 与 比较可得: + = , , ,

解得 x=1. 故选:A. 【点评】本题考查了向量的共线定理、向量的平行四边形法则,属于基础题.

10. (5 分) (2014?黄冈校级模拟)已知点 F 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左焦点,

点 E 是该双曲线的右顶点,过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( ) A. (1,+∞) B. (1,2) C. (1,1+ ) D. (2,1+ )

【分析】根据双曲线的对称性,得到等腰△ABE 中,∠AEB 为锐角,可得|AF|<|EF|,将 此式转化为关于 a、c 的不等式,化简整理即可得到该双曲线的离心率 e 的取值范围. 【解答】解:根据双曲线的对称性,得 △ABE 中,|AE|=|BE|, ∴△ABE 是锐角三角形,即∠AEB 为锐角 由此可得 Rt△AFE 中,∠AEF<45°,得|AF|<|EF| ∵|AF|= = ,|EF|=a+c



<a+c,即 2a +ac﹣c >0
2 2

2

2

两边都除以 a ,得 e ﹣e﹣2<0,解之得﹣1<e<2 ∵双曲线的离心率 e>1 ∴该双曲线的离心率 e 的取值范围是(1,2) 故选:B

【点评】 本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形, 求双曲线离心率 的范围,着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题. 11. (5 分) (2015 秋?厦门校级期中)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b) , 其全程的平均时速为 v,则( ) A. B. C. D.

【分析】先求出平均速度,再根据基本不等式即可比较大小. 【解答】解:设小王从甲地到乙地按时速分别为 a 和 b,行驶的路程 S, 则 v= = < = , (a<b) ,

v=



=a,

∴a<v< , 故选:A. 【点评】本题考查了基本不等式的性质、不等式的基本性质、路程与速度的关系,考查了推 理能力与计算能力,属于中档题.

12. (5 分) (2016 春?保定校级月考)数列{an}满足:a1=1,且对任意的 m,n∈N 都有: am+n=am+an+mn,则 A. B. + + C. +…+ =( D. )

*

【分析】先令 n=1 找递推关系并求通项公式,再利用通项的特征求和,或用不完全归纳法 猜测 an,再求和. 【解答】解一:因为 an+m=an+am+mn,则可得 a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,则可猜得数列的 通项 an= ∴ ∴ = + + , =2( ﹣ ++ ) , ﹣ )=2(1﹣ )=

=2(1﹣ + ﹣ ++

故选 D 解二:令 n=1,得 an+1=a1+an+n=1+an+n,∴an+1﹣an=n+1 用叠加法:an=a1+(a2﹣a1)+…+(an﹣an﹣1)= 所以 于是 = =

故选 D 【点评】对于数列问题,应尽可能知道其通项,才能根据其特征采取相应的求和办法.如本 题为裂项相消求和. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填在题中的横线上) 13. (5 分) (2009?全国卷Ⅱ)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=1,S6=4S3,则 a4= 3 . 3 【分析】根据 S6=4S3 可求得 q ,进而根据等比数列的通项公式,得到答案. 【解答】解:设等比数列的公比为 q,则由 S6=4S3 知 q≠1, ∴S6=
3

=
3



∴q =3.∴a1q =3. 故答案为:3 【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题.属基础题.

14. (5 分) (2009?湖北校级模拟)如图 Rt△ABC 中,AB=AC=1,以点 C 为一个焦点作一 个椭圆,使这个椭圆的另一个焦点在 AB 边上,且这个椭圆过 A、B 两点,则这个椭圆的焦 距长为 .

【分析】设另一焦点为 D,则可再 Rt△ABC 中,根据勾股定理求得 BC,进而根据椭圆的 定义知 AC+AB+BC=4a 求得 a.再利用 AC+AD=2a 求得 AD 最后在 Rt△ACD 中根据勾股定 理求得 CD,得到答案. 【解答】解析:设另一焦点为 D, ∵Rt△ABC 中,AB=AC=1, ∴BC= ∵AC+AD=2a, AC+AB+BC=1+1+ =4a, ∴a= 又∵AC=1, ∴AD= . = .

在 Rt△ACD 中焦距 CD= 故答案为: .

【点评】 本题主要考查了椭圆的简单性质和解三角形的应用. 要理解好椭圆的定义和椭圆中 短轴,长轴和焦距的关系. 15. (5 分) (2011 秋?嘉兴校级期中) 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的余弦值是 .

【分析】设正方体的棱长等于 1,建立如图空间直角坐标系,得出 D、B、C1、A1 各点的坐 标,从而得出 、 、 的坐标,利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组解出 = , >的

(1,﹣1,﹣1)是平面 A1BD 的一个法向量,利用向量的夹角公式算出 cos<

值, 即得直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的正弦值, 最后利用同角三角函数关系可得直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的余弦值. 【解答】解:分别以 DA、DC、DD1 为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系 设正方体的棱长等于 1,可得 D(0,0,0) ,B(1,1,0) ,C1(0,1,1) ,A1(1,0,1) ,



=(﹣1,0,1) ,

=(﹣1,0,﹣1) ,

=(﹣1,﹣1,0)

设 =(x,y,z)是平面 A1BD 的一个法向量, 则 ,取 x=1,得 y=z=﹣1

∴平面 A1BD 的一个法向量为 =(1,﹣1,﹣1) 设直线 BC1 与平面 A1BD 所成角为 θ,则 sinθ=|cos< , >|= =

∴cosθ= 故答案为:

=

,即直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的余弦值是

【点评】本题给出正方体模型,求直线与平面所成角的余弦值,着重考查了正方体的性质、 利用空间向量研究直线与平面所成角等知识,属于中档题. 16. (5 分) (2015 秋?泸州期末)已知方程 x +ax+2b=0(a∈R,b∈R) ,其一根在区间(0, 1)内,另一根在区间(1,2)内,则 的取值范围为 . 的
2

【分析】由一元二次方程根的分布得到关于 a,b 的不等式组,画出可行域,结合 几何意义,即可行域内的动点与定点 M(1,3)连线的斜率得答案. 【解答】解:令 f(x)=x +ax+2b,
2

由题意可知,

,即



由约束条件

画出可行域如图,

A(﹣1,0) , 联立 ,解得 B(﹣3,1) , 的几何意义为可行域内的动点与定点 M(1,3)连线的斜率, ∵ ∴ . 的取值范围为 . .

故答案为:

【点评】本题一元二次方程根的分布,考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方 法,是中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 17. (10 分) (2015 秋?广东校级月考) 已知命题 p: 2x ﹣9x+a<0, 命题 q:
2



且非 q 是非 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围. 【分析】 求出命题 q 的等价条件, 利用充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可得到结 论. 【解答】解:由 <x<3} 设 A={x|2x ﹣9x+a<0}, 若非 q 是非 p 的必要条件, 则 p 是 q 的必要条件,即 B?A, 2 即当 2<x<3 时,不等式 2x ﹣9x+a<0 恒成立, 2 设 f(x)=2x ﹣9x+a, 则 ,即 ,
2

,得

,解得 2<x<3,即 q:2<x<3,设 B={x|2



,解得 a≤9,

故所求实数 a 的取值范围是{a|a≤9} 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的应用, 根据复合命题之间的关系以及不等式的 性质,结合二次函数根的分布时解决本题的关键. 18. (12 分) (2013?临洮县校级模拟)如图,正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2AB=4, 点 E 在 CC1 上且 C1E=3EC (1)证明:A1C⊥平面 BED; (2)求二面角 A1﹣DE﹣B 的余弦值.

【分析】 (1) 以 DA, DC, DD1 为 x, y, z 轴, 建立空间直角坐标系, 则 , (2)由 , ,同理得平面 BDE 的法向量为 ,由向量法能证明 A1C⊥平面 BED. ,得到平面 A1DE 的法向量



,由向量法能求出

二面角 A1﹣DE﹣B 的余弦值. 【解答】解: (1)如图,以 DA,DC,DD1 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 则 A1(2,0,4) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) ,D(0,0,0) ,E(0,2,1) , ∵ , ∴ , , , , ,

∴A1C⊥平面 BED (2)∵ 设平面 A1DE 的法向量为 由 及 , , , ,

得﹣2x+2y﹣3z=0,﹣2x﹣4z=0, 取 同理得平面 BDE 的法向量为 ,

∴cos<

>=

=

=﹣



所以二面角 A1﹣DE﹣B 的余弦值为



【点评】本题考查直线与平面垂直的证明和求二面角的余弦值,解题时要认真审题,仔细解 答,注意向量法的灵活运用. 19. (12 分) (2015 秋?厦门校级期中)在△ABC 中,内角 A,B,C 对应的边分别为 a,b, c(a≤b≤c) ,且 bcosC+ccosB=2asinA. (Ⅰ)求角 A; (Ⅱ)求证: ;

(Ⅲ)若 a=b,且 BC 边上的中线 AM 长为 ,求△ABC 的面积. 【分析】 (Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简,利用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的正 弦函数公式化简,再利用诱导公式化简求出 sinA 的值,即可确定出 A 的度数; (Ⅱ)表示出所证不等式左右两边之差,利用余弦定理及完全平方公式性质化简,判断差的 正负即可得证; (Ⅲ)由 a=b,得到 A=B,求出 C 的度数,在三角形 AMC 中,由 AM 的长与 cosC 的值, 求出 AC 的长,利用三角形面积公式求出三角形 ABC 面积即可. 【解答】解: (Ⅰ)∵bcosC+ccosB=2asinA, ∴sinBcosC+sinCcosB=2sinAsinA, 即 sin(B+C)=2sinAsinA?sinA=2sinAsinA, ∵sinA>0,∴sinA= , ∵a≤b≤c,

∴0<A≤ ∴A= ;
2



(Ⅱ)∵a ﹣(2﹣ ∴a ≥(2﹣
2

)bc=b +c ﹣2bccos

2

2

﹣(2﹣

)bc=b +c ﹣2bc=(b﹣c) ≥0,

2

2

2

)bc; ,

(Ⅲ)由 a=b 及(Ⅰ)知 A=B= ∴C= ,

设 AC=x,则 MC= x, 又 AM= , 2 2 2 在△AMC 中,由余弦定理得 AC +MC ﹣2AC?MCcosC=AM , 即 x +( ) ﹣2x? ?cos120°=7, 解得:x=2, 则 S△ ABC= x sin
2 2 2

=



【点评】此题考查了余弦定理,两角和与差的正弦函数,以及三角形面积公式,熟练掌握定 理及公式是解本题的关键. 20. (12 分) (2014?泉州模拟)某工厂某种产品的年固定成品为 250 万元,每生产 x 千件, 需另投入成本为 C(x) ,当年常量不足 80 千件时,C(x)= x +10x(万元) ;当年常量不 小于 80 千件时,C(x)=51x+ ﹣1450(万元) .每件商品售价为 0.05 万元,通过市
2

场分析,该厂生产的产品能全部售完 (1)写出年利润 L(x) (万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年常量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 【分析】 (1)分两种情况进行研究,当 0<x<80 时,投入成本为 根据年利润=销售收入﹣成本,列出函数关系式,当 x≥80 时,投入成本为 ,根据年利润=销售收入﹣成本,列出函数关系式,最后写成分 段函数的形式,从而得到答案; (2)根据年利润的解析式,分段研究函数的最值,当 0<x<80 时,利用二次函数求最值, 当 x≥80 时,利用基本不等式求最值,最后比较两个最值,即可得到答案. 【解答】解: (1)∵每件商品售价为 0.05 万元, ∴x 千件商品销售额为 0.05×1000x 万元, ①当 0<x<80 时,根据年利润=销售收入﹣成本, ∴ = ; (万元) ,

②当 x≥80 时,根据年利润=销售收入﹣成本, ∴ = .

综合①②可得,



(2)由(1)可知,



①当 0<x<80 时,

=



∴当 x=60 时,L(x)取得最大值 L(60)=950 万元; ②当 x≥80 时, 当且仅当 =1200﹣200=1000, ,即 x=100 时,L(x)取得最大值 L(100)=1000 万元.

综合①②,由于 950<1000, ∴当产量为 100 千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为 1000 万元. 【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用.解决实际问题通常有四个步骤: (1)阅读 理解,认真审题; (2)引进数学符号,建立数学模型; (3)利用数学的方法,得到数学结果; (4)转译成具体问题作出解答,其中关键是建立数学模型.本题建立的数学模型为分段函 数, 对于分段函数的问题, 一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解. 属于中档题.

21. (12 分) (2016 春?安徽校级期末) 已知数列{an}的前 n 项和 为正整数) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 【分析】 (1)在 ,所以
n

(n

,Tn=c1+c2+…+cn,求 Tn 的值. 中,令 n=1,得 .当 n≥2 时, ,由

bn=2 an,知 bn=bn﹣1+1,即当 n≥2 时,bn﹣bn﹣1=1.由此能求出数列{an}的通项公式. (2)由 ,知 ,由错位相减法能够求出 Tn 的值. 【解答】解: (1)在 令 n=1,可得 S1=﹣a1﹣1+2=a1, 中,

即 当 n≥2 时, ∴ ∴ ∵bn=2 an,∴bn=bn﹣1+1, 即当 n≥2 时,bn﹣bn﹣1=1. 又 b1=2a1=1, ∴数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列. n 于是 bn=1+(n﹣1)?1=n=2 an, ∴ . ,
n

, , .

(2)由(1)得 所以

由①﹣②得

【点评】本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项,结合含两个变量的不等式的处 理问题,对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错.解题时 要认真审题,注意错位相减法的合理运用.

22. (12 分) (2015?龙岩一模)已知椭圆 C1:

+x =1(a>1)与抛物线 C

2

:x =4y 有

2

相同焦点 F1. (Ⅰ)求椭圆 C1 的标准方程; (Ⅱ)已知直线 l1 过椭圆 C1 的另一焦点 F2,且与抛物线 C2 相切于第一象限的点 A,设平 行 l1 的直线 l 交椭圆 C1 于 B,C 两点,当△OBC 面积最大时,求直线 l 的方程. 【分析】 (Ⅰ)求出抛物线的 F1(0,1) ,利用椭圆的离心率,求出 a、b 即可求解椭圆方程.

(Ⅱ)F2(0,﹣1) ,由已知可知直线 l1 的斜率必存在,联立方程组,利用相切求出 k,然 后利用直线的平行,设直线 l 的方程为 y=x+m 联立方程组,通过弦长公式点到直线的距离 求解三角形的面积,然后得到所求直线 l 的方程. 2 【解答】解: (Ⅰ)∵抛物线 x =4y 的焦点为 F1(0,1) , 2 ∴c=1,又 b =1,∴ ∴椭圆方程为: +x =1. …(4 分)
2

(Ⅱ)F2(0,﹣1) ,由已知可知直线 l1 的斜率必存在,

设直线 l1:y=kx﹣1 由 消去 y 并化简得 x ﹣4kx+4=0
2

∵直线 l1 与抛物线 C2 相切于点 A. 2 ∴△=(﹣4k) ﹣4×4=0,得 k=±1.…(5 分) ∵切点 A 在第一象限. ∴k=1…(6 分) ∵l∥l1 ∴设直线 l 的方程为 y=x+m
2 2


2

,消去 y 整理得 3x +2mx+m ﹣2=0,…(7 分)
2

△=(2m) ﹣12(m ﹣2)>0, 解得 . , 设 B(x1,y1) ,C(x2,y2) ,则

. … (8 分) 又直线 l 交 y 轴于 D(0,m) ∴ …(10 分)

=



,即

时, .…(12 分)

.…(11 分)

所以,所求直线 l 的方程为

【点评】本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质,考查直线与圆锥曲线的位置关系, 考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想.


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