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2009年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学 文科

绝密★ 考试结束前

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)



学(文科)

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部 分 3 至 5 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分(共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸 上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式: 球的表面积公式
S ? 4? R 2

棱柱的体积公式

V ? Sh
其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱台的体积公式

球的体积公式

V ?

4 3 ?R 3

其中 R 表示球的半径 棱锥的体积公式

V ?

1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3

其中 S1、S2 分别表示棱台的上、下底面积, h 表示棱台的高 如果事件 A, B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

1 V ? Sh 3
其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设 U ? R , A ? {x | x ? 0} , B ? {x | x ? 1} ,则 A ?? B ? ( U A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0} ) D. {x | x ? 1}

1. B 【命题意图】本小题主要考查了集合中的补集、交集的知识,在集合的运算考查对于 集合理解和掌握的程度,当然也很好地考查了不等式的基本性质. 【解析】 对于 CU B ? x x ? 1 ,因此 A ?? B ? {x | 0 ? x ? 1} . U 2.“ x ? 0 ”是“ x ? 0 ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?

?

2. A 【命题意图】本小题主要考查了命题的基本关系,题中的设问通过对不等关系的分析, 考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度. 【解析】对于“ x ? 0 ” ? “ x ? 0 ”;反之不一定成立,因此“ x ? 0 ”是“ x ? 0 ”的充分而不必要 条件. 3.设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. 1 ? i

2 ? z2 ? ( z

) C. 1 ? i D. ?1 ? i

B. ?1 ? i

3.D 【命题意图】本小题主要考查了复数的运算和复数的概念,以复数的运算为载体,直接 考查了对于复数概念和性质的理解程度. 【解析】对于

2 2 2 ?z ? ? (1 ? i ) 2 ? 1 ? i ? 2i ? 1 ? i z 1? i

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4.设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ?



B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ?

4.C 【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系,通过对平行和垂直的考 查,充分调动了立体几何中的基本元素关系. 【解析】对于 A、B、D 均可能出现 l // ? ,而对于 C 是正确的.
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5.已知向量 a ? (1, 2) , b ? (2, ?3) .若向量 c 满足 (c ? a ) / / b , c ? (a ? b) ,则 c ? ( A. ( , )



7 7 9 3

B. ( ?

7 7 ,? ) 3 9

C. ( , )

7 7 3 9

D. ( ?

7 7 ,? ) 9 3

5.D 【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算,通过平面向量的平行和垂直关系的 考查,很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用. 【解析】不妨设 C ? (m, n) ,则 a ? c ? ?1 ? m, 2 ? n ? , a ? b ? (3, ?1) , 对 于 c ? a // b ,则 有 ?3(1 ? m) ? 2(2 ? n) ; 又 c ? a ? b ,则 有

??

? ?

? ?

?

? ?

?

?

?

?

? ?

?

7 7 3m ? n ? 0 ,则有 m ? ? , n ? ? 9 3

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F , 右顶点为 A , B 点 a 2 b2 ??? ? ??? ? 在椭圆上,且 BF ? x 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P .若 AP ? 2PB ,则
6. 已知椭圆 椭圆的离心率是( A. )
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3 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2

6.D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查,既体现了几何与向量的交汇,

也体现了数形结合的巧妙应用. 【解析】对于椭圆,因为 AP ? 2 PB ,则 OA ? 2OF ,? a ? 2c,? e ? 7.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是( A. 4 C. 6 B. 5 D. 7 )

??? ?

??? ?

1 2

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7.A 【命题意图】此题考查了程序语言的概念和基本的应用,通过对程序语言的考查,充分 体现了数学程序语言中循环语言的关键. 【解析】对于 k ? 0, s ? 1,? k ? 1 ,而对于 k ? 1, s ? 3,? k ? 2 ,则 k ? 2, s ? 3 ? 8,? k ? 3 , 后面是 k ? 3, s ? 3 ? 8 ? 211,? k ? 4 ,不符合条件时输出的 k ? 4 . 8.若函数 f ( x) ? x ?
2

a (a ? R) ,则下列结论正确的是( x
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A. ?a ? R , f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数 B. ?a ? R , f ( x ) 在 (0, ??) 上是减函数 C. ?a ? R , f ( x ) 是偶函数 D. ?a ? R , f ( x ) 是奇函数

8.C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识,通过对量词的考 查结合函数的性质进行了交汇设问.
2 【解析】对于 a ? 0 时有 f ? x ? ? x 是一个偶函数

9.已知三角形的三边长分别为 3, 4, 5 ,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为( A. 3 B. 4 C. 5 D. 6



9.C 【命题意图】此题很好地考查了平面几何的知识,全面而不失灵活,考查的方法上面的 要求平实而不失灵动,既有切线与圆的位置,也有圆的移动 【解析】对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于 圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现 4 个交点的情况,但 5 个以上的交点不能实现. 10.已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能是( ... )
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10.D 【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题,但考查的知识点因含有参数而丰 富,结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度. 【解析】对于振幅大于 1 时,三角函数的周期为 T ? 求,它的振幅大于 1,但周期反而大于了 2? .

2? ,? a ? 1,?T ? 2? ,而 D 不符合要 a

非选择题部分(共 100 分)
注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.设等比数列 {an } 的公比 q ?

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4



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11.15 【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式,通过对数列知识 点的考查充分体现了通项公式和前 n 项和的知识联系.

a1 (1 ? q 4 ) s4 1 ? q4 3 【解析】对于 s4 ? , a4 ? a1q ,? ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q)

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12.若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则此几何体 的体积是

cm3 .

12. 18 【命题意图】此题主要是考查了几何体的三视图,通过 三视图的考查充分体现了几何体直观的考查要求,与表面积和体 积结合的考查方法. 【解析】 该几何体是由二个长方体组成, 下面体积为 1? 3 ? 3 ? 9 , 上面的长方体体积为 3 ? 3 ? 1 ? 9 , 因此其几何体的体积为 18

? x ? y ? 2, ? 13.若实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 4, 则 2 x ? 3 y 的最小值是 ? x ? y ? 0, ?



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13. 4【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题,此题的考查既体现了正确画 线性区域的要求,也体现了线性目标函数最值求解的要求 【解析】通过画出其线性规划,可知直线 y ? ?

2 x ? Z 过点 ? 2, 0 ? 时, ? 2x ? 3 y ?min ? 4 3

14.某个容量为 100 的样本的频率分布直方图如下, 则在区间 [4,5) 上的数据的频数为 .. .

14. 30【命题意图】此题考查了频率分布直方图, 通过设问既考查了设图能力, 也考查了运用图表解决 实际问题的水平和能力 【解析】 对于在区间 ? 4,5? 的频率/组距的数值为 0.3 , 而总数为 100,因此频数为 30
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15.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价 表如下: 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量 (单位:千瓦时) 高峰电价 (单位:元/千瓦 时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部分 超过 200 的部分 0.568 0.598 0.668 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部分 超过 200 的部分 低谷时间段用电价格表 低谷月用电量 (单位:千瓦时) 低谷电价 (单位:元/千瓦 时) 0.288 0.318 0.388

若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时, 低谷时间段用电量为 100 千瓦时, 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元(用数字作答) .

15. 148.4 【命题意图】此题是一个实际应用性问题,通过对实际生活中的电费的计算,既 考查了函数的概念,更侧重地考查了分段函数的应用
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【解析】对于应付的电费应分二部分构成,高峰部分为 50 ? 0.568 ? 150 ? 0.598 ;对于低峰部 分为 50 ? 0.288 ? 50 ? 0.318 ,二部分之和为 148.4
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16.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 成等差数列.类 比以上结论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , , ,

T16 成等比数列. T12

16.

T8 T12 , 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题,既考查了数列中等差数列 T4 T8
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和等比数列的知识,也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力

【解析】对于等比数列,通过类比,有等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , 成等比数列.

T8 T12 T16 , , T4 T8 T12

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17.有 20 张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数 k , k ? 1 ,其中 k ? 0,1, 2,?,19 . 从这 20 张卡片中任取一张,记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如:若取到 标有 9,10 的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为 9 ? 1 ? 0 ? 10 )不小于 14 ”为 A , 则 P( A) ? 17. .
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1 【命题意图】此题是一个排列组合问题,既考查了分析问题,解决问题的能力,更侧 4

重于考查学生便举问题解决实际困难的能力和水平 【解析】 对于大于 14 的点数的情况通过列举可得有 5 种情况, 7,8;8,9;16,17;17,18;18,19 , 即 而基本事件有 20 种,因此 P( A) ?

1 4

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三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本题满分 14 分) ?ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 在 角 且满足 cos

A 2 5 , ? 2 5

??? ??? ? ? A B? A C 3 . ?

(I)求 ?ABC 的面积;
2

(II)若 c ? 1 ,求 a 的值.

18.解析: ) cos A ? 2 cos (Ⅰ

A 2 5 2 3 ?1 ? 2 ? ( ) ?1 ? 2 5 5
2

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又 A ? (0, ? ) , sin A ? 1 ? cos A ? 以 bc ? 5 ,所以 ?ABC 的面积为:

4 3 ,而 AB . AC ? AB . AC . cos A ? bc ? 3 ,所 5 5

1 1 4 bc sin A ? ? 5 ? ? 2 2 2 5

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,所以 b ? 5 所以 a ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ?

25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5

19. (本题满分 14 分)如图, DC ? 平面 ABC , EB / / DC ,

AC ? BC ? EB ? 2 DC ? 2 , ?ACB ? 120? , P, Q 分 别 为

A E A 的中点. , B (I)证明: PQ / / 平面 ACD ; (II)求 AD 与平
面 ABE 所成角的正弦值.

P, 分别是 AE, AB 19.Ⅰ 证明: ( ) 连接 DP, CQ , 在 ?ABE 中, Q 0
0 9 0 4 2

2

的中点,所以 PQ //

1 1 BE , 又 DC // BE ,所以 PQ // DC ,又 PQ ? 平面 ACD ,DC ? ?? ?? 2 ?? 2

平面 ACD, 所以 PQ // 平面 ACD (Ⅱ )在 ?ABC 中, AC ? BC ? 2, AQ ? BQ ,所以 CQ ? AB 而 DC ? 平面 ABC, EB // DC ,所以 EB ? 平面 ABC 而 EB ? 平面 ABE, 所以平面 ABE ? 平面 ABC, 所以 CQ ? 平面 ABE 由(Ⅰ )知四边形 DCQP 是平行四边形,所以 DP// CQ 所以 DP ? 平面 ABE, 所以直线 AD 在平面 ABE 内的射影是 AP, 所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是 ? DAP 在 Rt?APD 中, AD ? 所以 sin ?DAP ?

AC2 ? DC 2 ? 22 ? 12 ? 5 , DP ? CQ ? 2 sin ?CAQ ? 1

DP 1 5 ? ? AD 5 5
*

20. (本题满分 14 分)设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn ? kn2 ? n , n ? N ,其中 k 是常数. (I) 求 a1 及 an ; (II)若对于任意的 m ? N , am , a2m , a4m 成等比数列,求 k 的值.
*

20、解析: )当 n ? 1, a1 ? S1 ? k ? 1 , (Ⅰ

n ? 2, an ? S n ? S n?1 ? kn2 ? n ? [k (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? 2kn ? k ? 1( ? )
经验, n ? 1, ( ? )式成立,

? an ? 2kn ? k ? 1
2

(Ⅱ ? am , a2m , a4m 成等比数列,? a2m ? am .a4m , ) 即 (4km ? k ? 1) ? (2km ? k ? 1)(8km ? k ? 1) ,整理得: m k(k ? 1) ? 0 ,
2

对任意的 m ? N ? 成立,

? k ? 0或k ? 1

21. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) . (I)若函数 f ( x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. ... 解析: )由题意得 f ?( x) ? 3x ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2) (Ⅰ 2 0 f (0) ? b ? 0 ? 又? ,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 0 ? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3 9 a ? 20 ' (Ⅱ )由 f ( x ) ? 0 ,得 x1 ? a , x2 ? ? 3 4 2 又 f ( x ) 在 ( ?1,1) 上不单调,即 3
2

a?2 ? a ? 2 ? ?1 ? ? ?1 ? a?? ? ? 3 或? 3 ? ?a ? ? a ? 2 ? ?1 ? a ? 1 ? ? 3 ?

? ?1 ? a ? 1 ? ?5 ? a ? 1 ? ? 解得 ? 1 或? 1 ?a ? ? 2 ?a ? ? 2 ? ?
所以 a 的取值范围是 ( ?5, ? ) ? ( ?

1 2

1 ,1) . 2
17 . 4

22. (本题满分 15 分) 已知抛物线 C :x2 ? 2 py( p ? 0) 上一点 A(m, 4) 到其焦点的距离为 (I)求 p 与 m 的值;

(II)设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 t (t ? 0) ,过 P 的直线交 C 于另一点 Q ,交 x 轴于 点 M ,过点 Q 作 PQ 的垂线交 C 于另一点 N .若 MN 是 C 的 切线,求 t 的最小值.

22.解析(Ⅰ )由抛物线方程得其准线方程: y ? ? 义

p ,根据抛物线定 2

点 A(m,4) 到焦点的距离等于它到准线的距离,即 4 ? 得p?

p 17 ? ,解 2 4

1 2

? 抛物线方程为: x 2 ? y ,将 A(m,4) 代入抛物线方程,解得 m ? ?2
2 (Ⅱ )由题意知,过点 P(t , t ) 的直线 PQ 斜率存在且不为 0,设其为 k 。 0 ? t 20? kt ? t 2 ? kt 2 , 则M( ,0) 。 则 l PQ : y ? t ? k ( x ? t ) ,当 y ? 0, x ? k k 9 0 ? y ? t 2 ? k(x ? t) 2 联立方程 ? ,整理得: x ? kx ? t (k ? t ) ? 0 4 x2 ? y ? 2 即: ( x ? t )[x ? (k ? t )] ? 0 ,解得 x ? t , 或 x ? k ? t 3
2

? Q(k ? t , (k ? t ) 2 ) ,而 QN ? QP ,? 直线 NQ 斜率为 ?

1 k

? l NQ

1 ? 1 ? y ? ( k ? t ) 2 ? ? [ x ? (k ? t )] : y ? (k ? t ) ? ? [ x ? (k ? t )] ,联立方程 ? k k 2 ? x ?y ?
2

整理得: x ?
2

1 1 x ? (k ? t ) ? (k ? t ) 2 ? 0 ,即: kx 2 ? x ? (k ? t )[k (k ? t ) ? 1] ? 0 k k k (k ? t ) ? 1 ,或 x ? k ? t k

[kx ? k (k ? t ) ? 1][x ? (k ? t )] ? 0 ,解得: x ? ?

? N (?

k (k ? t ) ? 1 [k (k ? t ) ? 1]2 , ) ,? K NM k k2

[k (k ? t ) ? 1] 2 (k 2 ? kt ? 1) 2 k2 ? ? k (k ? t ) ? 1 ? t 2 ? kt k (t 2 ? k 2 ? 1) ? ? k k
k ( k ?t ) ?1 x?? k

而抛物线在点 N 处切线斜率: k 切 ? y ?

?

? 2k ( k ? t ) ? 2 k
整 理 得

? MN 是 抛 物 线 的 切 线 , ?
k 2 ? tk ? 1 ? 2t 2 ? 0

(k 2 ? kt ? 1) 2 ? 2k (k ? t ) ? 2 , ? k k (t 2 ? k 2 ? 1)

2 2 2 ,或 ? ? ? t 2 ? 4(1 ? 2t 2 ) ? 0 ,解得 t ? ? (舍去) t ? ,? t min ? 3 3 3