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佛山一中2018届高二上学期期中考试(文数)


佛山一中 2018 届高二上学期期中考试 数学(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知直线的方程为 x ? 2 y ? 6 ? 0 ,则该直线的斜率为( ).

A.

1 2
2 2

B. ?

1 2

C .2

D. ? 2
).

2.圆 x ? y ? 2 x ? 8 y ? 13 ? 0 的圆心到直线 ax ? y ? 1 ? 0 的距离为 1,则 a ? (

A. ?

4 3

B. ?

3 4

C. 3

D.2
. )

3.已知直线 l1 : 2 x ? y ? 1 ? 0 , 直线 l2 : x ? ay ? 3 ? 0 , 若 l1 ? l2 , 则实数 a 的值是 (

A. ? 1

B.1

C. ? 2

D.2

4.已知点 A 的坐标为 (?4,4) ,直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,则点 A 关于 l 的对称点 A' 的坐 标为( )

2 A . (? ,4) 3

B . (?2,6)

C . (2,4)

D . (1,6)

5.下列命题中, m, n 表示两条不同的直线, ? 、 ? 、 ? 表示三个不同的平面. ①若 m ? ? , n // ? ,则 m ? n ; ②若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ; ③若 m // ? , n // ? ,则 m // n ; 正确的命题是( ) ④若 ? // ? , ? // ? , m ? ? ,则 m ? ? .

A . ①③

B . ②③

C . ①④

D . ②④

6.若 l1 、 l 2 为异面直线,直线 l3

// l1 ,则 l3 与 l 2 的位置关系是(
D . 异面或相交



A . 相交

B . 异面

C . 平行

7.两条平行直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 与 ax ? 8 y ? 11 ? 0 之间的距离为 ( )

A.

23 5

B.

23 10

C. 7

D.

7 2

第 8 题图

8.如右上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(



1

A. 20?

B. 24?

C. 28?

D. 32?

9.如右图, 圆锥的底面直径 AB ? 2 , 母线长 VA ? 3 , 点 C 在母线长 VB 上, 且 VC ? 1 ,有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点 A 到点 C ,则这只蚂蚁爬行的 最短距离是( )

A. 13

B. 7

C.

4 3 3

D.

3 3 2
, 第 9 题图

10.平面 ? 截球 O 的球面所得圆的半径为 1, 球心 O 到平面 ? 的距离为 则球 O 的表面积为( )

A. 12 3?

B. 1 ? 2

C. 8?

D. 4?

11.如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, M 、 N 分别是 BB1 、 BC 的中点,则图中阴影部 分在平面 ADD1 A 1 上的投影为图中的( )

A.

B.

C.

D. 第 11 题图

12.直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 与曲线 y ? 1 ? 4 ? x 2 有两个不同的交点,则实数 k 的取值范围是 ( ).

5 3 A.( , ] 12 4

5 B.( ,?? ) 12

1 3 C .( , ] 2 4

D.(0,

5 ) 12

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.如图,正方体 ABCD ? A' B' C ' D' 中, AB ? 2 ,点 E、F 分别为 A' D ' 、 DC 的中点, 则线段 EF 的长度等于____________.

第 13 题图

第 14 题图

2

14.如图所示, P 是三角形 ABC 所在平面外一点,平面 ? ∥平面 ABC , ? 分别交线段

PA、PB、PC 于 A?、B?、C ′,若 PA?:AA? ? 3: 4 ,则 S? A? B?C ?:S? ABC

?

. .

15.已知直线 l 经过点 P ( 1, 2) ,且与直线 y ? 2 x ? 3 平行,则该直线 l 方程为

?x ? y ? 4 ? 16. 设 P 点在圆 x ? ( y ? 2) ? 1 上移动,点 Q 满足条件 ? y ? x ,则 PQ 的最大值 ?x ? 1 ?
2 2



.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.)
17.(本小题满分 10 分) 如右图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, 侧棱 PA ⊥底面 ABCD,E 是 PA 的中点. (Ⅰ)求证: PC ∥ 平面BDE ; (Ⅱ)证明: BD ? CE .

18.(本小题满分 12 分) 已知关于 x, y 的方程 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 . (1)若方程 C 表示圆,求 m 的取值范围; (2)若圆 C 与圆 x2 ? y 2 ? 8x ?12 y ? 36 ? 0 外切,求 m 的值;

19. (本小题满分 12 分)

,B 如图,已知面 AA 1B 1B 垂直于圆柱底面, AB 为底面直径, C 是底面圆周上异于 A
的一点, AA 1 ? AB ? 2 . 求证:
3

? 平面BAC (1) 平面AAC 1 1 ;
(2)求几何体 A 1 ? ABC 的最大体积 V .

20.(本小题满分 12 分)

0) B(2,, 1) C (?2, 3) , D 为 BC 的中点.求: 已知 ?ABC 的三个顶点为 A(?3,,
(1) BC 所在直线的方程; (2) BC 边上中线 AD 所在直线的方程; (3) BC 边上的垂直平分线 DE 的方程.

21.(本小题满分 12 分) 已知梯形 ABCD 中 AD // BC , ?ABC ? ?BAD ?

?
2

, AB ? BC ? 2 AD ? 4 , E 、

F 分别是 AB 、 CD 上的点, EF // BC , AE ? x .沿 EF 将梯形 ABCD 翻折,使平
面 AEFD ⊥平面 EBCF (如图). G 是 BC 的中点. (1)当 x ? 2 时,求证: BD ⊥ EG ; (2)当 x 变化时,求三棱锥 D ? BCF 的体积 f ( x ) 的函数式.

22.(本小题满分 12 分)

4

已知过原点的动直线 l 与圆 C1 : x2 + y 2 - 6 x + 5 = 0 相交于不同的两点 A , B . (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k ,使得直线 L : y = k ( x - 4) 与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的 取值范围;若不存在,说明理由.

5

数学(文科)参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.B 7.D 2.A 8.C 3.C 9.B 4.B 10.B 5.C 11.A 6.D 12.A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13. 6 15.y=2x 14. 9:49 16. 1 ? 26

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
17. (本小题满分 10 分) 证明: (Ⅰ)连结 AC 交 BD 于 O,连结 OE, 因为四边形 ABCD 是正方形,所以 O 为 AC 中点.…… (1 分) ………………… 又因为 E 是 PA 的中点, 所以 PC∥OE, (3 分) 因为 PC?平面 BDE,OE? 平面 BDE, …………………(4 分) ……………………………………… 所以 PC∥平面 BDE. (5 分) (Ⅱ)因为四边形 ABCD 是正方形,所以 BD⊥AC.……(6 分) 因为 PA⊥底面 ABCD,且 BD? 平面 ABCD, 所以 PA⊥BD.……………………(8 分) 又 AC∩PA=A,AC? 平面 PAC,PA? 平面 PAC,所以 BD⊥平面 PAC………………(9 分) …………………………………………………… 又 CE? 平面 PAC, 所以 BD⊥CE. (10 分)

18.(本小题满分 12 分)
2 2 2 2 解: (1)把方程 C:x +y -2x-4y+m=0,配方得: (x-1) +(y-2) =5-m, ……… (3 分)

若方程 C 表示圆,则 5-m>0,解得 m<5; ……………………………………………(5 分)
2 2 2 2 (2)把圆 x +y -8x-12y+36=0 化为标准方程得: (x-4) +(y-6) =16, ……… (7 分)

得到圆心坐标(4,6) ,半径为 4, ……………………………………………………(8 分) 则两圆心间的距离 d= =5,………………………………………(10 分) =5,解得 m=4.……………(12 分)

因为两圆的位置关系是外切,所以 d=R+r 即 4+

6

19.(本小题满分 12 分) (1)证明:因为 C 是底面圆周上异于 A,B 的一点,AB 是底面圆的直径, 所以 AC⊥BC. ……………………………………………………………………………(1 分) 因为 AA1⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC,所以 AA1⊥BC, ……………………………(3 分) 而 AC∩AA1=A,所以 BC⊥平面 AA1C. ……………………………………………(5 分) 又 BC? 平面 BA1C,所以平面 AA1C⊥平面 BA1C.…………………………………(6 分) (2)解:在 Rt△ABC 中,当 AB 边上的高最大时,三角形 ABC 面积最大, 此时 AC=BC.………………………………………………………………………………… (7 分) 此时几何体 A (8 分) 1 ? ABC 取得最大体积.………………………………………………………
2 2 2 则由 AB =AC +BC 且 AC=BC, 得

,…………………………………(10 分) . ………………………………… (12 分)

所以

20.(本小题满分 12 分) 解:(1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(-2,3)两点, 由两点式得 BC 的方程为 y-1= (x-2), ………………………………………………… (2 分)

即 x+2y-4=0. ………………………………………………………………………………(4 分) (2)设 BC 中点 D 的坐标为(x,y),则 x= =0,y= =2. …………………………(6 分)

BC 边的中线 AD 过点 A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得 AD 所在直线方程为 + =1,即 2x-3y+6=0. …………………………………………(8 分) (3)BC 的斜率 k1=- ,则 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k2=2,…………………………(10 分) 由斜截式得直线 DE 的方程为 y=2x+2. ………………………………………………(12 分)

21.(本小题满分 12 分) (1)证明:作 DH ? EF ,垂足 H ,连结 BH , GH ,…………………………… (2 分) ∵平面 AEFD ? 平面 EBCF ,交线 EF , DH ? 平面 EBCF , ∴ DH ? 平面 EBCF ,又 EG ? 平面 EBCF ,故 EG ? DH . ……………… (4 分) ∵ EH ? AD ?

1 BC ? BG , EF // BC , ?ABC ? 90? . 2
7

∴四边形 BGHE 为正方形,故 EG ? BH .

……………………………………(5 分)

H ,故 又 BH 、 DH ? 平面 DBH ,且 BH ?DH ?

EG ? 平面 DBH .又 BD ? 平面 DBH ,故 EG ? BD . …………………………………… (6 分)
(2)解:∵ AE ? EF ,平面 AEFD ? 平面 EBCF , 交线 EF , AE ? 平面 AEFD . ∴ AE ? 面 EBCF .又由(1)DH ? 平面 EBCF , AE // GH , 故 ……………………………………… (8 分) ∴四边形 AEHD 是矩形,DH ? AE , 故以 F 、B 、

C 、 D 为顶点的三棱锥 D ? BCF 的高 DH ? AE ? x . ……………………………(10 分) 1 1 又 S?BCF ? BC ? BE ? ? 4 ? ( 4 ? x ) ? 8 ? 2 x . ………………………… (11 分) 2 2 ∴三棱锥 D ? BCF 的体积 1 1 1 2 8 f ( x) ? S ?BFC ? DH ? S ?BFC ? AE ? (8 ? 2 x ) x ? ? x 2 ? x ……… (12 分) 3 3 3 3 3

22.(本小题满分 12 分) (1)由 x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 得 ? x ? 3? ? y 2 ? 4 ,
2

∴ 圆 C1 的圆心坐标为 ? 3,0 ? (2)设 M ? x, y ? ,则

……………………………………………………………(2 分) ;

∵ 点 M 为弦 AB 中点即 C1M ? AB , …………………………………………………… (3 分) ∴ kC1M ? k AB ? ?1 即

y y ? ? ?1 ,……………………………………………………(4 分) x ?3 x

∴ 线段 AB 的中点 M 的轨迹的方程为 ? x ? ? ? y 2 ?

? ?

3? 2?

2

9?5 ? ? ? x ? 3 ? ;……………(6 分) 4? 3 ?

(3)由(2)知点 M 的轨迹是以 C ? ,0 ? 为圆心 r ?

?3 ?2

? ?

3 为半径的部分圆弧 EF ………(7 分) 2

(如下图所示,不包括两端点) ,且 E ? , 过定点 D ? 4,0 ? ,

?5 2 5? ?5 2 5 ? ,F ? ,? ? ? ,又直线 L : y ? k ? x ? 4? ?3 3 ? ?3 3 ? ? ? ? ?

当直线 L 与圆 C 相切时, 由

?3 ? k ? ? 4? ? 0 ?2 ? k ?1
2 2

?

3 3 得k ? ? , …………………………… (9 分) 4 2
8

又 k DE ? ?k DF

? 2 5? 0??? ? 3 ? 2 5 ? ?? ? ,………………………………………………(10 分) 5 7 4? 3

结合上图可知当 k ? ?? , ? ? ??

? 3 3? ? 2 5 2 5 ? , ? 时,直线 L : y ? k ? x ? 4? 与曲线 C 只有一 7 ? ? 4 4? ? 7

个交点.…………………………………………………………………………………(12 分) L y

E D O C F x

9


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