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数列求和拔高题


考纲展示? 1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式. 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. 1 主干回顾·夯基固源 重温教材 基础盘查一 [知识梳理] (1)公式法 ①等差数列的前 n 项和公式 Sn= 1 =2 . 稳健启程 求数列的前 n 项和的方法

②等比数列的前 n 项和公式 (ⅰ)当 q=1 时,Sn= 3 (ⅱ)当 q≠1 时,Sn= 4 (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解. (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和,正、负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广. (6)并项求和法 一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解. 考点 1 分组转化法求和 ; =5 .

[典题例析] (2015· 哈师大附中月考)已知数列{an},{bn}满足 a1=5,an=2an-1+3n-1(n≥2,n∈N*),bn=an-3n(n∈N*). (1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 解:(1)∵an=2an-1+3n-1(n∈N*,n≥2),an-3n=2(an-1-3n-1),∴bn=2bn-1(n∈N*,n≥2).∵b1=a1-3=2≠0,∴bn≠0(n≥1),



bn - =2,∴{bn}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.∴bn=2· 2n 1=2n. bn-1 2? 1 -2n? 3? 1 -3n? n+1 3n+1 7 + =2 + 2 -2. 1-2 1-3

(2)由(1)知 an=bn+3n=2n+3n,∴Sn=(2+22+…+2n)+(3+32+…+3n)= [类题通法] 分组法求和的常见类型

1.若 an=bn± cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组法求{an}的前 n 项和. ?bn,n为奇数, 2.通项公式为 an=? 的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和. ?cn,n为偶数 [小题查验] 1.若数列{an}的通项公式为 an=2n+2n-1,则数列{an}的前 n 项和为( A.2n+n2-1 答案:C 考点 2 错位相减法求和 B.2n+1+n2-1 C.2n+1+n2-2 )

D.2n+n-2

(题点多变型考点——全面发掘) [典型母题] (2014· 安徽卷)数列{an}满足 a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*.
?an? (1)证明:数列? n ?是等差数列; ? ?

(2)设 bn=3n· an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. (1)证明:由已知可得
?an? an+1 an an+1 an a1 = n +1,即 - n =1.所以? n ?是以 1 =1 为首项,1 为公差的等差数列. n+1 n+1 ? ?

an (2)解:由(1)得 n =1+(n-1)· 1=n,所以 an=n2.从而 bn=n· 3n.Sn=1· 31+2· 32+3· 33+…+n· 3n,① 3Sn=1· 32+2· 33+…+(n-1)· 3n+n· 3n+1.②
n+1 n+1 3· ?1 -3n? ?1 -2n? ·3 -3 ? 2n -1? ·3 +3 ①-②得,-2Sn=31+32+…+3n-n· 3n+1= -n· 3n+1= 所以 S = n 2 4 1-3

[类题通法] 用错位相减法求和的注意事项 1.错位相减法是求解由等差数列{bn}和等比数列{cn}对应项之积组成的数列{an},即 an=bn× cn 的前 n 项和的方法.这种方 法运算量较大,要重视解题过程的训练. 2.在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.

3.在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解. [小题查验] 3× 2-1+4× 2-2+5× 2-3+…+(n+2)· 2-n=________. n+4 答案:4- 2n 考点 3 裂项相消法求和

(常考常新型考点——多角探明) [考情聚焦] 数列求和是高考的热点,特别是用裂项法求和,在高考中三种题型都会出现,一般以选择、填空题考查基础知识,在解答 题中综合考查,既与等差、等比数列结合考查,也与三角函数、不等式、解析几何等知识交汇考查.归纳起来常见的命题 角度有: [多角探明] 角度一 形如 an= 1 型 n? n +k?

1.(2016· 重庆模拟)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,已知 S3=a7,a8-2a3=3. 1 3 1 (1)求 an;(2)设 bn=S ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn>4- (n∈N*). n+1 n ?3a1+3d=a1+6d, 解:(1)设数列{an}的公差为 d,由题意得,? 解得 a1=3,d=2, ?? a 1+7d?-2? a 1+2d?=3, 1 1 1 ? 1? 1 1 1 ? 3 1? 1 3 1 ∴an=a1+(n-1)d=2n+1.∴Tn=2?1+2-n+1-n+2?>2?1+2-n+1-n+1?=4- .故 Tn>4- . n+1 n+1 ? ? ? ? 角度二 形如 an= 1 型 n+k+ n 1 , n∈N*.记数列{an}的前 n 项和为 Sn, f? n +1?+f? n?

2. (2016· 江南十校联考)已知函数 f(x)=xa 的图象过点(4,2), 令 an= 则 S2 014=( A. 2 013-1 答案:C ) B. 2 014-1

C. 2 015-1

D. 2 015+1 1 1 = = n+1- n, f?n+1?+f?n? n+1+ n

1 1 解析:由 f(4)=2 可得 4a=2,解得 a=2,则 f(x)=x 2 ∴an=

S2 014=a1+a2+a3+…+a2 014=( 2- 1)+( 3- 2)+( 4- 3)+…+( 2 014- 2 013)+( 2 015- 2 014)= 2 015-1. [类题通法] 利用裂项相消法求和的注意事项

1.抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项. 1 2. 将通项裂项后, 有时需要调整前面的系数, 使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等. 如: 若{an}是等差数列, 则 anan+1 1 ? 1 ? 1? 1 1 1 ?1 ?a -a ?. =d?a -a ?, =2d· ? n n+1? anan+2 ? n n+2? 常见的裂项公式 (1) 1 ? 1 1 1 1 1? 1 1 =n- ;(2) =2?2n-1-2n+1?;(3) = n+1- n. n? n +1? n+1 ? 2n -1? ? 2n +1? ? ? n+ n+1

[小题查验]
? ? 1 ? ? 1.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列?a a ?的前 100 项和为( ? n n+1? ? ?

)

100 A.101 答案:A

99 B.101

99 C.100

101 D.100

3 课堂总结·素养培优 技法提炼 1 种重要思想 数列求和把数列通过分组、变换通项、变换次序、乘以常数等方法,把数列的求和转化为能使用公式求解或者能通过基本 运算求解的形式,达到求和的目的. 2 点特别注意 (1)错位相减法中两式相减后,一定成等比数列的有 n-1 项,整个式子共有 n+1 项. (2)裂项相消后,注意抵消后不一定只剩首尾两项,也可能前面剩两项,后面也剩两项. 规避陷阱


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