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导数及其应用教师版


导数及其应用
【知识纵横】

?0 f ( x0 + ?x ) ? f ( x0 ) lim ?1 定义:f ( x0 ) = ?x →0 ?x ? ? ?(1) 公式:①常函数,②指,③对,④幂,⑤复合函数。 ? 0 ? ?2 运算 ? ? u ?′ ? ?( 2 ) 法则:① ( au )′ ,② ( u ± v )′ ,③ ( uv )′ ,④ ? ? ?v? ? ? ? ?(1) 物理意义:瞬时速度及加速度 ? ? ? ?斜率:求法有三①知两点②知倾角③求导 ? ? 0 ? ? ?3 意义: ?①在该点出的切线方程, ? ? ? ? ?( 2 ) 几何意义 ?切线方程:②过某点做曲线的切线方程, ? ? ? ? ?③知切线求参数值. ? ? ? ? ? ? ? 导数 ? ? ?①证明或判断单调性; ? ? ? ? ?(1) 单调性 ?②求单调区间; ? ? ? ? ?③知单调,求参数范围. ? ? ? ?①求极值; ? ? ? ? ? ?40 应用:( 2 ) 求两函数值 ?②求最值; ? ? ? ?③知极值或最值,求参数值. ? ? ?( 3) f ( x ) 与f ′ ( x )的图像关系 ? ? ? ? ?①证明不等式; ? ? ? ? ?( 4 ) 综合应用 ?②比较实数大小; ? ? ?③讨论方程根的个数. ? ? ? ? y
1.导数定义的应用 1.导数定义的应用 例 1.如图,函数 f ( x ) 的图象是折线段 ABC ,其中 A,B,C 4 3 2 1 O A C

f (1 + ?x ) ? f (1) 4) (2 0) (6 4) = _________. 的坐标分别为 (0,,,,, , lim ?x → 0 ?x
解:由图可知 f ( x ) = ?

B 1 2 3 4 5 6

x

0≤ f (1 + ?x ) ? f (1) ?? 2 x + 4    x ≤ 2 ,根据导数的定义知 lim = f ′(1) = ?2 . ?x → 0 2 ?x ? x ? 2    < x ≤ 3

例2.已知函数 f ( x ) = x 2 + bx + c e x ,其中 b, c ∈ R , (Ⅰ)略, (Ⅱ)若 b 2 ≤ 4(c ? 1), 且 lim
x →0

(

)

证: ? 6 ≤ b ≤ 2 . 解: f ′( x ) = x 2 + (b + 2 )x + b + c e x ,易知 f (0 ) = c .故 lim
x→0

f (x ) ? c = 4 ,试 x

(

)

f (x ) ? c f ( x ) ? f (0 ) = lim = f ′(0 ) = b + c , x →0 x x?0

所以 ?

?b + c = 4,

2 ?b ≤ 4(c ? 1),

解得 ? 6 ≤ b ≤ 2 .

2. 利用导数研究函数的图像高考资源网 利用导数研究函数的图像
1

例 3 .设 a <b,函数 y = ( x ? a ) ( x ? b) 的图像可能是(
2



解: y / = ( x ? a )(3 x ? 2a ? b) ,由 y / = 0 得 x = a, x =

2a + b 2a + b ,∴当 x = a 时, y 取极大值 0, x = 当 时y 3 3

取极小值且极小值为负.故选 C.或当 x < b 时 y < 0 ,当 x > b 时, y > 0 选 C. 点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也是考试的热点题型. 则函数 y = f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象可能是 ( 例 4. 若函数 y = f ( x) 的导函数在区间 [ a, b] 上是增函数, ... )

A .

B.

C.

D.

解: 因为函数 y = f ( x) 的导函数 y = f ′( x ) 在区间 [ a, b] 上是增函数,即在区间 [ a, b] 上各点处函数的变化 ... 率是递增的,故图像应越来越陡峭.由图易知选 A. 3.利用导数解决函数的单调性问题 利用导数解决函数的单调性问题 例 5.已知函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 + x + 1 , a ∈ R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间;高考资源网 (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 内是减函数,求 a 的取值范围. ? 解: (1) f ( x ) = x 3 + ax 2 + x + 1 求导得 f ′( x ) = 3 x 2 + 2ax + 1 当 a ≤ 3 时, ? ≤ 0 , f ′( x ) ≥ 0 , f ( x ) 在 R 上递增;当 a
2

? 2 ? 3

1? 3?

2

> 3 , f ′( x) = 0 求得两根为 x =

?a ± a 2 ? 3 , 3

即 f ( x ) 在 ? ?∞,

? ? ?

? ?a ? a 2 ? 3 ?a + a 2 ? 3 ? ?a ? a 2 ? 3 ? 递增, ? , ? ? 递减, ? ? ? 3 3 3 ? ? ?

? ?a + a 2 ? 3 ? , ∞ ? 递增。 + ? ? ? 3 ? ?

2

(2)因为函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 内是减函数,所以当 x ∈ ? ? , ? 时 f ′ ( x ) ≤ 0 恒成立,结合二次函数 ? ?

? 2 ? 3

1? 3?

? 2 ? 3

1? 3?

? ? 2? ? f ′? ? 3 ? ≤ 0 ? ? ? 的图像可知 ? 解得 a ≥ 2 . ? 1? ?f′ ? ≤0 ? ? ? 3? ? ?
点评:函数在某区间上单调转化为导函数 f ′ ( x ) ≥ 0 或 f ′ ( x ) ≤ 0 在区间上恒成立问题,是解决这类问题的通

? ?a ? a 2 ? 3 2 ≤? ? ? ?a ? a ? 3 ?a + a ? 3 ? ? 3 3 法.本题也可以由函数在 ? , 求解. ? 上递减,所以 ? ? ? 3 3 1 ? ?a + a 2 ? 3 ? ? ≥? ? 3 3 ? 1 3 1 2 【变式 1】若函数 f ( x ) = x ? ax + (a ? 1)x + 1 在区间 (1,4 ) 上是减函数,在区间 (6,+∞ ) 上是增函数,求实 3 2 数 a 的取值范围.
2 2

2 解: f ( x ) = x ? ax + (a ? 1) ,令 f ′( x ) = 0 得 x = 1 或 x = a ? 1 ,结合图像知 4 ≤ a ? 1 ≤ 6 ,故 a ∈ [5,7 ].

点评:本题也可转化为 f ′( x ) ≤ 0,x ∈ (1,4 ) 恒成立且 f ′( x ) ≥ 0,x ∈ (6,+∞ ) 恒成立来解. 【变式 2】已知函数 f ( x ) = ln x ?

1 2 ax ? 2 x(a ≠ 0 ) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; 2

1 ax 2 + 2 x ? 1 解: f ′( x )( x ) = ? ax ? 2 = ? . 因为函数 f ′( x ) 存在单调递减区间,所以 f ′( x ) < 0 在 (0,+∞ ) 上解, x x
从而 ax + 2 x ? 1 > 0 有正解.高考资源网
2

①当 a > 0 时, y = ax 2 + 2 x + 1 为开口向上的抛物线, ax + 2 x ? 1 > 0 总有正解;
2

② 当 a < 0 时 , y = ax 2 + 2 x + 1 为 开 口 向 下 的 抛 物 线 , 要 使 ax + 2 x ? 1 > 0 总 有 正 解 , 则
2

? = 4 + 4a > 0 ,解得 ? 1 < a < 0 .
综上所述,a 的取值范围为 (? 1,0 ) ∪ (0,+∞ ) . 【变式 3】已知函数 f ( x ) = x 3 + (1 ? a ) x 2 ? a ( a + 2) x + b (a, b ∈ R) .若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 ...

a 的取值范围.
解:函数 f (x ) 在区间 ( ?1,1) 不单调,等价于 f ′( x ) = 0 在区间 ( ?1,1) 上有实数解,且无重根. 又 f ′( x ) = 3 x 2 + 2(1 ? a )x ? a (a + 2 ) ,由 f ′( x ) = 0 ,得 x1 = a, x 2 = ?

a+2 。从而 3

a+2 ? ?1 < ? < 1, ?? 1 < a < 1, ?? 1 < a < 1, ?? 5 < a < 1, ? ? ? ? ? 3 解得 ? 或? a + 2 或? ? 1 1 ?a ≠ ? 3 , ?a ≠ ? a + 2 . ?a ≠ ? 2 , ?a ≠ ? 2 , ? ? ? ? 3 ?
3

所以 a 的取值范围是 ? ? 5,?

? ?

1? ? 1 ? ? ∪ ? ? ,1?. 2? ? 2 ?

点评:这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势,充分体现高考“能力立意”的思想,高考中应高度重视。 4.利用导数的几何意义研究曲线的切线问题 利用导数的几何意义研究曲线的切线问题 例 6 .若存在过点 (1, 0) 的直线与曲线 y = x 3 和 y = ax 2 + A. ?1 或 -

25 64

B. ?1 或
3

21 4
3

15 x ? 9 都相切,则 a 等于 4 7 25 7 C. ? 或 D. ? 或 7 4 64 4
3 2

解:设过 (1, 0) 的直线与 y = x 相切于点 ( x0 , x0 ) ,所以切线方程为 y ? x0 = 3 x0 ( x ? x0 ) 即 y = 3 x0 x ? 2 x0 ,又 (1, 0) 在切线上,则 x0 = 0 或 x0 = ?
2 3

3 , 2 15 25 2 当 x0 = 0 时,由 y = 0 与 y = ax + x ? 9 相切可得 a = ? , 4 64 3 27 27 15 2 当 x0 = ? 时,由 y = x? 与 y = ax + x ? 9 相切可得 a = ?1 ,所以选 A . 2 4 4 4
点评:函数的切线问题,切点是关键,因为它是联结曲线和其切线的“桥梁” ,在做题中往往需要设出切点.

2 【变式】设 P 为曲线 C : y = x + 2 x + 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 ? 0, ? ,则点 P

? π? ? 4?

横坐标的取值范围为( A. ? ?1, ? ? 2

)高考资源网 C. [ 0, 1] D. ? , 1?

? ?

1?

?

B. [ ?1 0] ,

?1 ? ?2 ?

1] 解:由曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 ? 0, ? ,可得曲线 C 在点 P 处切线的斜率范围为 [0, ,又
1 y ′ = 2 x + 2 ,设点 P 的横坐标为 x0 ,则 0 ≤ 2 x0 + 2 ≤ 1 ,解得 ? 1 ≤ x0 ≤ ? ,故选 A . 2
5. 利用导数求函数的极值与最值 例 7.已知函数 f ( x ) = ( x 2 + ax ? 2a 2 + 3a )e x ( x ∈ R ), 其中 a ∈ R (1) 当 a = 0 时,求曲线 y = f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率; (2) 当 a ≠

? π? ? 4?

2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间与极值。 3

(I)解: 当a = 0时,f ( x ) = x 2 e x ,f ' ( x ) = ( x 2 + 2 x )e x,故f ' (1) = 3e.

所以曲线y = f ( x)在点(1, f (1))处的切线的斜率为3e. 高考资源网
2 2 x 由 (II)解: ' (x) = x + (a + 2)x ? 2a + 4a e . 令f ' ( x) = 0,解得x = ?2a,或x = a ? 2. a ≠ f

[

]

2 知, 2a ≠ a ? 2. ? 3

以下分两种情况讨论。 (1) 若a >

2 ,则 ? 2a < a ? 2 .当 x 变化时, f ' ( x ),f ( x ) 的变化情况如下表: 3
4

x

(? ∞, 2a ) ?
+ ↗

? 2a
0 极大值

(? 2a,a ? 2)
— ↘

a?2
0 极小值

(a ? 2, ∞ ) +
+ ↗

所以f ( x)在(?∞, 2a), ? 2, ∞)内是增函数,在(?2a,a ? 2)内是减函数. ? (a +
函数f ( x)在x = ?2a处取得极大值f (?2a ),且f (?2a ) = 3ae ?2a . 函数f ( x)在x = a ? 2处取得极小值f (a ? 2),且f (a ? 2) = (4 ? 3a )e a ? 2 .
(2) 若a <

2 ,则 ? 2a > a ? 2 ,当 x 变化时, f ' ( x ),f ( x ) 的变化情况如下表: 3
a?2
0 极大值

x

(? ∞,a ? 2)
+ ↗

(a ? 2, 2a ) ?
— ↘

? 2a
0 极小值

(? 2a, ∞ ) +
+ ↗

所以f ( x)在(?∞,a ? 2), 2a, ∞)内是增函数,在(a ? 2, 2a)内是减函数。 (? + ?
函数f ( x)在x = a ? 2处取得极大值f (a ? 2),且f (a ? 2) = (4 ? 3a )e a ? 2 . 函数f ( x)在x = ?2a处取得极小值f (?2a ),且f (?2a ) = 3ae ?2a .
点评: 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算 能力及分类讨论的思想方法。 例 8.已知函数 f ( x ) = x 4 + ax 3 + 2 x 2 + b ( x ∈ R ) ,其中 a, b ∈ R .若函数 f ( x ) 仅在 x = 0 处有极值,求 a 的 取值范围. 解: f ′( x ) = x (4 x 2 + 3ax + 4) ,显然 x = 0 不是方程 4 x + 3ax + 4 = 0 的根.
2

为使 f ( x ) 仅在 x = 0 处有极值,必须 4 x + 3ax + 4 ≥ 0 成立,即有 ? = 9a ? 64 ≤ 0 .
2 2

解不等式,得 ?

8 8 8 8 ≤ a ≤ .这时, f (0) = b 是唯一极值.因此满足条件的 a 的取值范围是 [? , ] .高考资源 3 3 3 3

6.利用导数解决实际问题 利用导数解决实际问题 例 9.用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,问该长方体的长、宽、 高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? 18 ? 12 x 3? ? 解:设长方体的宽为 x (m) ,则长为 2 x (m),高为 h = = 4.5 ? 3x(m) ? 0<x< ? . 4 2? ? 故长方体的体积为 V ( x ) = 2 x 2 (4.5 ? 3 x ) = 9 x 2 ? 6 x 3 m 3

( )

3? ? ?0 < x < ? 2? ?

从而 V ′( x ) = 18 x ? 18 x 2 ( 4.5 ? 3 x ) = 18 x (1 ? x ). 令 V ' ( x ) = 0 ,解得 x = 0 (舍去)或 x = 1 ,因此 x = 1 . 当 0 < x < 1 时, ' ( x ) > 0 ; 1 < x < V 当

3 时, ' ( x ) < 0 , V 故在 x = 1 处 V ( x ) 取得极大值, 并且这个极大值就是 V ( x ) 2

的最大值,从而最大体积 V = V ' ( x ) = 9 × 12 ? 6 × 13 m 3 ,此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m

( )
5

例 10.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经 预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2 + 墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万元 高 (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式;高考资源网 (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 解 (Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩, (n + 1) x = m,即n= 所以

x ) x 万元。假设桥

m ?1 x m m 256m y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x=256( -1)+ (2 + x ) x = + m x = 2m ? 256 . x x x
3 256m 1 ? 2 + mx , 令 f '( x) = 0 ,得 x 2 = 512 ,所以 x =64 2 x2

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ′( x ) = ? 当 0< x <64 时 f '( x) <0,

1

w.w.w.k.s.5.u .c. o.m

f ( x) 在区间(0,64)内为减函数;

当 64 < x < 640 时, f '( x ) >0. f ( x ) 在区间(64,640)内为增函数, 所以 f ( x ) 在 x =64 处取得最小值,此时, n = 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小 高

m 640 ?1 = ? 1 = 9. x 64

6


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