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福建省泉州市2013届普通中学高中毕业班质量检查(文科数学)


准考证号________________ 姓名________________ (在此卷上答题无效) 保密★启用前

泉州市 2013 届普通中学高中毕业班质量检查


分钟. 注意事项:







本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) .本试卷共 6 页,满分 150 分.考试时间 120

1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答, 超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选 择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1 、 x 2 、?、 x n 的标准差:
s? 1 n ? ( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ? x n ? x ? ? ,其中 x 为样本平均数;
2 2 ?

柱体体积公式: V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高; 锥体体积公式: V ?
1 3 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高;
2

球的表面积、体积公式: S ? 4? R , V ?

4 3

? R ,其中 R 为球的半径.
3

第Ⅰ卷(选择题
是符合题目要求的.

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

1.已知全集 U ? ? 0,1, 2, 3, 4? , A ? {1, 2, 3} , B ? {0, 2} ,则 A ? ( ?U B ) 等于 A. ?1, 2, 3, 4?
2

B. ? 0,1, 2, 3?

C. ?1, 2?

D. ?1, 3?

2.命题“ ? x ? R , x ? 2 x ? 2 ? 0 ”的否定是

A. ? x ? R , x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 C. ? x ? R , x 2 ? 2 x ? 2 ? 0

B. ? x ? R , x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 D. ? x ? R , x 2 ? 2 x ? 2 ? 0

3. 若直线 l : x ? y ? a ? 0 经过圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 的圆心, a 的值为 则 A. ? 1 B. 1 C. ? 2 D. 2

4.阅读如图所示的程序框图,执行框图所表达的算法,则输出的结果是 A. 2 B. 6
n

C. 2 4

D. 48

5.若直线 l 与幂函数 y ? x 的图象相切于点 A (2, 8) ,则直线 l 的方程为 A. 12 x ? y ? 16 ? 0 C. 12 x ? y ? 16 ? 0 B. 4 x ? y ? 0 D. 6 x ? y ? 4 ? 0
?
4

6. 函数 f ( x ) ? sin x 的图象向左平移 A. x ? ?

个单位后,所得图象的一条对称轴是

?
4

B. x ?
2 2

?
4

C. x ?

?
2
x
2 2

D. x ?

3? 4

7. 已知双曲线

x a

?

y b

2 2

? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 的两个焦点恰为椭圆

? y ? 1 的两个顶点,且离心率

4

为 2,则该双曲线的标准方程为 A. x ?
2

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1

C.

x

2

? y ?1
2

D.

x

2

?

y

2

?1

3

4

12

3

12

4

8.某几何体的三视图及其相应的度量信息如图所示,则该几何体的表面积为 A. 20 ? 4 2 B. 2 4 C. 24 ? 4 2
2

D. 28

9.已知单位向量 a 、 b ,满足 a ? b ,则函数 f ( x ) ? ( x a ? b ) ( x ? R ) A. 既是奇函数又是偶函数 C. 是偶函数 10.给出以下四个说法: ①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每间隔 20 分钟抽取一件产品 进行某项指标的检测 ,这样的抽样是分层抽样; ②在刻画回归模型的拟合效果时,相关指数 R 的值越大,说明拟合的效果越好;
2

B. 既不是奇函数也不是偶函数 D. 是奇函数

? ? ③在回归直线方程 y ? 0 . 2 x ? 12 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量 y 平均增加

0.2 个单位;

④对分类变量 X 与 Y ,若它们的随机变量 K 的观测值 k 越小,则判断“ X 与 Y 有关系”的 把握程度越大. 其中正确的说法是 A.①④ B.②④ C.①③ D.②③

2

11.对于定义域为 R 的函数 f ( x ) ,若存在非零实数 x 0 ,使函数 f ( x ) 在 ( ?? , x 0 ) 和 ( x 0 , ?? ) 上均 有零点,则称 x 0 为函数 f ( x ) 的一个“界点” .则下列四个函数中,不存在“界点”的是 A. f ( x ) ? x ? bx ? 1( b ? R )
2

B. f ( x ) ? 2 x ? x 2 D. f ( x ) ? sin x ? x

C. f ( x ) ? 2 ? x ? 1

12.我国齐梁时代的数学家祖暅(公元前 5-6 世纪)提出了一条原理: “幂势既同,则积不容异. ” 这句话的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所 截,如果截得的两个截面的面积总是相等,那么这两个几何体的体积相等. 设:由曲线 x ? 4 y 和直线 x ? 4 , y ? 0 所围成的平面图形,绕 y 轴旋转一周所得到的旋转
2

体为 ? 1 ;由同时满足 x ? 0 , x 2 ? y 2 ? 16 , x ? ( y ? 2) ? 4 , x ? ( y ? 2) ? 4 的点 ( x , y )
2 2 2 2

构成的平面图形,绕 y 轴旋转一周所得到的旋转体为 ? 2 .根据祖暅原理等知识, 通过考察 ? 2 可 以得到 ? 1 的体积为 A. 16? B. 32? C. 64? D. 128?

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)


二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卡的相应位置. 13.已知 ( a ? i)i ? ? 1 ? 2i ( a ? R , i 是虚数单位) ,则 a 的值为
? x ? y ? 1 ? 0, ? 14.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? x ? 3, ?



15.在 ? ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 sin 2 A ? sin 2 B ? 2 sin B ? sin C ,c ? 3b , 则角 A 的值为 .

16.利用计算机随机模拟方法计算 y ? x 2 与 y ? 4 所围成的区域 ? 的面积时,可以先运行以下算 法步骤: 第一步:利用计算机产生两个在 0 ? 1 区间内的均匀随机数 a , b ;
? a1 ? 4 ? a ? 2, 第二步:对随机数 a , b 实施变换: ? 得到点 A ? a1 , b1 ? ; ? b1 ? 4 b ,

第三步:判断点 A ? a1 , b1 ? 的坐标是否满足 b1 ? a1 ;
2

第四步:累计所产生的点 A 的个数 m ,及满足 b1 ? a1 的点 A 的个数 n ;
2

第五步:判断 m 是否小于 M (一个设定的数).若是,则回到第一步,否则,输出 n 并终止算 法. 若设定的 M ? 100 ,且输出的 n ? 34 ,则据此用随机模拟方法可以估计出区域 ? 的面积为 (保留小数点后两位数字) . 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 等差数列 { a n } 中, a 3 ? 3 , a1 ? a 4 ? 5 . (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)若 b n ?
1 a n ? a n ?1

,求数列 {b n } 的前 n 项和 S n .

18.(本小题满分 12 分) 为了解某社区家庭的月均用水量(单位:吨) ,现从该社区随机抽查 100 户,获得每户某年的 月均用水量,并制作了频率分布表和频率分布直方图(如图). (Ⅰ)分别求出频率分布表中 a、 b 的值,并估计该社区家庭月均用水量不超过 3 吨的频率; (Ⅱ)设 A1 、 A2 、 A3 是户月均用水量为 [0, 2) 的居民代表, B1 、 B 2 是户月均用水量为 [2, 4] 的居民代表. 现从这五位居民代表中任选两人参加水价论证会,请列举出所有不同的

选法,并求居民代表 B1 、 B 2 至少有一人被选中的概率.

19.(本小题满分 12 分) 如图,抛物线 C 的顶点为坐标原点 O ,焦点 F 在 y 轴上,准线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)若点 A、 B 在抛物线 C 上,且 FB ? 2 O A ,求点 A 的坐标.
??? ? ??? ?

20.(本小题满分 12 分) 已知 O 为坐标原点,对于函数 f ( x ) ? a sin x ? b cos x ,称向量 O M ? ( a , b ) 为函数 f ( x ) 的 伴随向量,同时称函数 f ( x ) 为向量 O M 的伴随函数. (Ⅰ)设函数 g ( x ) ? sin (
???? ???? ?

???? ?

?

???? ? ?? ? ? x ) ? 2 co s ? ? x ? ,试求 g ( x ) 的伴随向量 O M 的模; 2 ?2 ?

(Ⅱ)记 O N ? (1, 3 ) 的伴随函数为 h ( x ) ,求使得关于 x 的方程 h ( x ) ? t ? 0 在 [0, 两个不相等实数解的实数 t 的取值范围.

?
2

] 内恒有

21.(本小题满分 12 分) 如图, E 是以 A B 为直径的半圆上异于 A 、 B 的点,矩形 ABCD 所在的平面垂直于该半圆所 在的平面,且 AB ? 2 AD ? 2 . (Ⅰ)求证: EA ? EC ; (Ⅱ)设平面 ECD 与半圆弧的另一个交点为 F . ①试证: EF / / AB ; ②若 E F ? 1 ,求三棱锥 E ? A D F 的体积.

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? 3e ? a ( e ? 2.71828 ?是自然对数的底数)的最小值为 3 .
x

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)已知 b ? R 且 x ? 0 ,试解关于 x 的不等式 lnf ( x ) ? ln 3 ? x 2 ? (2 b ? 1) x ? 3b 2 ; ( Ⅲ ) 已 知 m ? Z 且 m ? 1 . 若 存 在 实 数 t ? [ ? 1 , ? ? ), 使 得 对 任 意 的 x ? [ 1 ,m ], 都 有
f ( x ? t ) ? 3e x ,试求 m 的最大值.

泉州市 2013 届普通中学高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考 生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如 果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 1. D 7. A 2.C 8.A 3.B 9.C 4.B 10.D 5. A 11.D 6. B 12.B

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. 13. ? 2 14. 11 15.
?
3

16. 10.56 .

三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.本小题主要考查等差数列、数列求和等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想 等. 满分 12 分.
? a1 ? 2 d ? 3, 解: (Ⅰ)设数列 { a n } 的公差为 d ,由 ? ?????????? 2 分 ? a1 ? ( a1 ? 3 d ) ? 5.
? a1 ? 1, 解得 ? ? d ? 1.

?????????? 4 分

所以 a n ? a1 ? ( n ? 1) d ? 1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n . (Ⅱ)因为 a n ? n ,所以 a n ?1 ? n ? 1 , b n ? 所以 S n ? (1 ?
1 2 )?( 1 2 ? 1
1 n ( n ? 1) ?

?????????? 6 分
1 n 1 n ?1

?

,???????? 9 分

1 1 1 1 1 n .?? 12 分 ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) ? 1? ? 3 3 4 n n ?1 n ?1 n ?1

18.本小题主要考查频率分布表、频率分布直方图和古典概型、统计等基础知识,考查数据处理 能力、运算求解能力以及应用意识,考查必然与或然思想等.满分 12 分. 解: (Ⅰ)由频率分布直方图可得 a ? 0.5 ? 0.5 ? 0.25 ,????? 2 分 ∴月均用水量为 [1.5, 2) 的频数为 25. 故 2 b ? 100 ? 92 ? 8 ,得 b ? 4 . ?????????? 4 分 ??? 5 分

由频率分布表可知,户月均用水量不超过 3 吨的频率为 0.92 ,

根据样本估计总体的思想,估计该社区家庭月均用水量不超过 3 吨的频率为
0.92 .

??? 6 分

(Ⅱ)由 A1 、 A2 、 A3 、 B1 、 B 2 五代表中任选 2 人共有如下 10 种不同选法,分别为:

( A1, A2 ) , ( A1, A3 ) , ( A1, B1 ) , ( A1, B 2 ) , ( A2, A3 ) , ( A2, B1 ) , ( A2, B 2 ) , ( A3, B1 ) , ( A3, B 2 ) , ( B1, B 2 ) .

?????????? 8 分

记 B1 、B 2 至少有一人被选中” “ 的事件为 A , 事件 A 包含的基本事件为:( A1, B1 ) ,
( A1, B 2 ) , ( A2, B1 ) , ( A2, B 2 ) , ( A3, B1 ) , ( A3, B 2 ) , ( B1, B 2 ) ,共包含 7

个基本事件数. 又基本事件的总数为 10 ,所以 P ( A ) ?
7 10

?????? 10 分 .
7 10

即居民代表 B1 、 B 2 至少有一人被选中的概率为

.

???????? 12 分

19.本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与圆等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能 力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等.满分 12 分. 解: (Ⅰ)依题意,可设抛物线 C 的方程为 x 2 ? 2 py ( p ? 0) , 其准线 l 的方程为 y ? ?
p 2

.

?????????? 2 分

∵准线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切, ∴所以圆心 (0, 0) 到直线 l 的距离 d ? 0 ? ( ?
p 2 ) ? 1 ,解得 p ? 2 . ??? 4 分

故抛物线 C 的方程为: x ? 4 y .
2

?????????? 5 分

? x 2 ? 4 y1 , (Ⅱ)设 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 ? 12 ????① x2 ? 4 y 2 . ?

???????? 6 分

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∵ F (0,1) , FB ? ( x 2 , y 2 ? 1) , O A ? ( x1 , y1 ) , F B ? 2 O A ,

∴ ( x 2 , y 2 ? 1) ? 2( x1 , y1 ) ? (2 x1 , 2 y1 ) ,
? x 2 ? 2 x1 , 即 ? ? y 2 ? 2 y1 ? 1.
2

????②

??????? 9 分

②代入①,得 4 x1 ? 8 y1 ? 4 , x1 ? 2 y1 ? 1 ,
2

又 x1 ? 4 y1 ,所以 4 y1 ? 2 y1 ? 1 ,解得 y1 ?
2

1 2

, x1 ? ? 2 ,

即 A( 2 , ) 或 (? 2 , ) .
2 2

1

1

?????????? 12 分

20.本小题主要考查平面向量和三角函数等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查 化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想以及分类与整合思想等. 解: (Ⅰ)∵ g ( x ) ? sin (
???? ?

?

?? ? ? x ) ? 2 co s ? ? x ? ? 2 sin x ? cos x , 2 ?2 ?

?????? 2 分

∴ O M ? (2,1) .
???? ? 故 OM ? 2 ?1 ?
2 2

?????????? 4 分
5.

????????? 5 分
3 cos x ? 2 sin( x ?

(Ⅱ)由已知可得 h ( x ) ? sin x ? ∵0 ? x ?

?
3

) ,????????? 7 分

?
2

, ∴

?
3

? x?

?
3

?

??
6



故 h ( x ) ? ?1, 2 ? . ∵当 x ? ? 0,
? ?

????????? 9 分

? ?

时,函数 h ( x ) 单调递增,且 h ( x ) ? ? 3 , 2 ? ; ? ? 6? ?
? ? 时,函数 h ( x ) 单调递减,且 h ( x ) ? ?1, 2 ? . ?

当x??

?? ? , ? 6 2

∴使得关于 x 的方程 h ( x ) ? t ? 0 在 [0, 范围为 t ? ? 3 , 2 .
?

?
2

] 内恒有两个不相等实数解的实数 t 的取值

?

? 12 分

21.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及棱锥体积等基础知识,考查空间想象 能力、推理论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分 12 分. 解: (Ⅰ)∵平面 ABCD ? 平面 A B E , 面 ABCD ? 面 A B E ? A B , BC ? AB , BC ? 面 ABCD , ∴ BC ? 面 A B E . ?????????? 2 分 ?????????? 3 分

又∵ AE ? 面 A B E ,∴ BC ? AE . ∵ E 在以 A B 为直径的半圆上,∴ A E ? B E ,

又∵ B E ? B C ? B , BC 、 BE ? 面 BCE ,∴ AE ? 面 BCE .????? 4 分 又∵ CE ? 面 BCE ,∴ EA ? EC . (Ⅱ)① ∵ AB / / CD , AB ? 面 CED , CD ? 面 CED , ????????? 5 分

∴ AB / / 平面 CED .? 6 分 又∵ AB ? 面 A B E ,平面 ABE ? 平面 CED ? E F , ∴ AB / / EF . ?????? 8 分

②取 A B 中点 O , E F 的中点 O ' , 在 RT ? OO ' F 中, OF ? 1 , O ' F ?
1 2

,∴ O O ' ?

3 2



(Ⅰ)已证得 BC ? 面 A B E ,又已知 AD / / BC , ∴ AD ? 平面 A B E .????? 10 分 故V E ? ADF ? V D ? AEF ?
1 3 ? S ?AEF ? A D ?
1 1 3 ? ? E F ? O O '? A D ? . 3 2 12

? 12 分

22.本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转 化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等.满分 14 分. 解: (Ⅰ)因为 x ? R ,所以 x ? 0 ,故 f ( x ) ? 3e ? a ? 3e ? a ? 3 ? a ,
x 0

因为函数 f ( x ) 的最小值为 3 ,所以 a ? 0 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得, f ( x ) ? 3e .
x

?????? 3 分

当 x ? 0 时, ln f ( x ) ? ln(3e ) ? ln 3 ? ln e
x

x

? ln 3 ? x ? ? x ? ln 3 ,??? 5 分
2
2

故不等式 ln f ( x ) ? ln 3 ? x ? (2 b ? 1) x ? 3b 可化为: ? x ? x ? (2 b ? 1) x ? 3b ,
2 2

即 x 2 ? 2 bx ? 3b 2 ? 0 , 得 ( x ? 3b )( x ? b ) ? 0 ,

?????? 6 分

所以,当 b ? 0 时,不等式的解为 x ? ? 3b ; 当 b ? 0 时,不等式的解为 x ? b . (Ⅲ)∵当 t ? [ ? 1, ?? ) 且 x ? [1, m ] 时, x ? t ? 0 , ∴ f ( x ? t ) ? 3e x ? e
x?t

????? 8 分

? ex ? t ? 1 ? ln x ? x .

∴ 原命 题等 价转 化为 : 存在 实数 t ? [ ? 1, ?? ) , 使 得不 等式 t ? 1 ? ln x ? x 对 任 意
x ? [1,m ]恒成立.

????? 10 分

令 h ( x ) ? 1 ? ln x ? x ( x ? 0) . ∵ h ' ( x) ?
1 x ? 1 ? 0 ,∴函数 h ( x ) 在 (0, ?? ) 为减函数. ????? 11 分

又∵ x ? [1, m ] ,∴ h ( x ) min ? h ( m ) ? 1 ? ln m ? m .

????? 12 分

∴要使得对 x ? [1, m ] , t 值恒存在,只须 1 ? ln m ? m ? ? 1 .???? 13 分 ∵ h (3) ? ln 3 ? 2 ? ln( ? ) ? ln
e e 1 3 1 1 4 1 ? ? 1 , h (4) ? ln 4 ? 3 ? ln( ? 2 ) ? ln ? ? 1 e e e e

且函数 h ( x ) 在 (0, ?? ) 为减函数, ∴满足条件的最大整数 m 的值为 3.?? 14 分


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