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高中数学必修2综合测试题及答案

必修 2 综合检测
时间 120 分钟 满分 150 分 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.下列叙述中,正确的是( ) (B)因为 P ?? ,Q ? ? ,所以 ? ? ? =PQ

(A)因为 P ?? , Q ?? ,所以 PQ ? ?

(C)因为 AB ? ? ,C ? AB,D ? AB,所以 CD ? ? (D)因为 AB ? ? , AB ? ? ,所以 A ? (? ? ? ) 且 B ? (? ? ? ) 2.已知直线 l 的方程为 y ? x ? 1 ,则该直线 l 的倾斜角为( (A) 30? (B) 45? (C) 60? ). (D) 135? ). (D)6或-2 ).

3.已知点 A( x,1, 2)和点B(2,3,4),且 AB ? 2 6 ,则实数 x 的值是( (A)-3或4 (B)–6或2 (C)3或-4

4.长方体的三个面的面积分别是 2、 3、 6 ,则长方体的体积是( A. 3 2 B. 2 3 C. 6 D.6

5.棱长为 a 的正方体内切一球,该球的表面积为 A、 ? a 2 B、2 ? a 2 C、3 ? a 2 D、 4? a 2





6.若直线 a 与平面 ? 不垂直,那么在平面 ? 内与直线 a 垂直的直线( (A)只有一条 (B)无数条 (C)是平面 ? 内的所有直线

) (D)不存在

7.已知直线 l 、 m 、 n 与平面 ? 、 ? ,给出下列四个命题: ①若m∥ l ,n∥ l ,则m∥n ③若 m∥? ,n∥? ,则 m∥n 其中假命题 是( ) ... (A) ① (B) ② (C) ③ ). (D) ④ ②若m⊥? ,m∥?, 则? ⊥? ④若 m⊥? ,? ⊥? ,则 m∥? 或 m ? ? ?

8.在同一直角坐标系中,表示直线 y ? ax 与 y ? x ? a 正确的是(

9.如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的 正方形, 俯视图是一个圆, 那么这个几何体的侧面积 为 ( * ) . ... (A)

主视图

左视图

? 4

(B)

5 ? 4

(C) ?

(D)

3 ? 2

2 2 10.直线 x ? 2y ? 3 ? 0 与圆 (x ? 2) ? ( y ? 3) ? 9 交于 E、F 两点,

则 ? EOF(O 是原点)的面积为( A. 2 5 B.
3 4

).
俯视图

C.

3 2

D.

6 5 5

11.已知点 A(2,?3) 、B(?3,?2) 直线 l 过点 P(1,1) ,且与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率的取值 k 范 围是 ( A、 k ? )
3 或 k ? ?4 4

B、 k ?

3 1 或k ? ? 4 4

C、 ? 4 ? k ?

3 4

D、

3 ?k?4 4

12.若直线 y ? kx ? 4 ? 2k 与曲线 y ? 4 ? x 2 有两个交点,则 k 的取值范围是( A. ?1, ? ? ? B. [?1, ? )
3 4

).

C. ( , 1]

3 4

D. (??, ? 1]

二.填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.对任何实数 k, 直线(3+k)x+(1-2k)y+1+5k=0 都过 一个定点 A,那么点 A 的坐标是 .
a

14.空间四个点 P、A、B、C 在同一球面上,PA、PB、PC 两 两 垂 直 , 且 PA=PB=PC=a , 那 么 这 个 球 面 的 面 积 是 .




2 2 15.已知 圆O1 : x2 ? y2 ? 1与圆O2 ( : x-3) ? (y+4) ? 9 ,则

y

圆O1与圆O2 的位置关系为


C B D

16.如图①,一个圆锥形容器的高为 a ,内装一定量的水.如果将
a 容器倒置,这时所形成的圆锥的高恰为 (如图②),则图①中 2

O

的水面高度为



1

A

x

三.解答题 17.(12 分)如图,在 ? OABC 中,点 C(1,3).(1)求 OC 所在直线的斜率; (2)过点 C 做 CD⊥AB 于点 D,求 CD 所在 直线的方程。 18 . ( 12 分 ) 如 图 , 已 知 正 四 棱 锥 V - ABCD 中 ,
AC与BD交于点M,VM 是棱锥的高 ,若 AC ? 6cm ,VC ? 5cm ,求
A D M B C V

正四棱锥 V - ABCD 的体积.
A

D
1

C1 B1

19.(12 分)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 为 棱 AD、AB 的中点.(1)求证:EF∥平面 CB1D1;(2)求 证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1。

1

E A

D F B

C

20. (12 分)已知直线 l1 :mx-y=0 , l2 :x+my-m-2=0。(Ⅰ)求证:对 m∈R, l1 与 l2 的交 点 P 在一个定圆上;(Ⅱ)若 l1 与定圆的另一个交点为 P1 , l2 与定圆的另一交点为 P2 ,求当 m 在实数范围内取值时,⊿ PP1 P2 面积的最大值及对应的 m。 21. (12 分) 如图, 在棱长为 a 的正方体 A1 B1C1 D1 ? ABCD 中,(1) 作出面 A1BC1 与面 ABCD 的交线 l ,判断 l 与线 AC (2)证明 B1D ⊥ 1 1 位置关系,并给出证明; 面 A1BC1 ;(3)求线 AC 到面 A1BC1 的距离;(4)若以 D 为坐标原 点,分别以 DA, DC, DD1 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间 直角坐标系,试写出 B, B1 两点的坐标。 22.(14 分)已知圆 O: x2 ? y 2 ? 1和定点 A(2,1),由圆 O 外 一点 P(a, b) 向圆 O 引切线 PQ,切点为 Q,且满足 PQ ? PA 。 (1) 求实数 a、b 间满足的等量关系;(2) 求线段 PQ 长的最小 值;(3) 若以 P 为圆心所作的圆 P 与圆 O 有公共点,试求半径 取最小值时圆 P 的方程。
Q P
0 2 2

y

A

x

参考答案:
3 16. (1 ? 7 )a

DBACA

BDCCD

AB

13. (?1, 2)

2 14. 3?a

15. 相离
1? 0

2

17. 解: (1)? 点 O (0, 0) , 点C (1, 3) , ? OC 所在直线的斜率为 kOC ? 3 ? 0 ? 3 .
3

(2)在 ? OABC 中, AB // OC ,? CD⊥AB,? CD⊥OC. ? CD 所在直线的斜率为 kCD ? ? 1 .

? CD 所在直线方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 1), 即x ? 3 y ?10 ? 0 .
18. 解法 1:? 正四棱锥 V - ABCD 中,ABCD 是正方形,
1 1 1 AC ? BD ? ? 6 ? 3 (cm). 2 2 2 1 1 ? ? AC ? BD ? ? 6 ? 6 ? 18 (cm2). 2 2 ? MC ?
V

1 3

且 S ABCD

D A M B

C

? VM 是棱锥的高 ,

? Rt△VMC 中, VM ? VC2 ? MC2 ? 52 ? 32 ? 4 (cm).
1 3 1 3

? 正四棱锥 V- ABCD 的体积为 S ABCD ? VM ? ?18 ? 4 ? 24 (cm3).
解法 2:? 正四棱锥 V - ABCD 中,ABCD 是正方形,

? MC ? 1 AC ? 1 BD ? 1 ? 6 ? 3 (cm).
2 2 2

且 AB ? BC ? 2 AC ? 3 2 (cm) .
2

? SABCD ? AB2 ? (3 2)2 ? 18 (cm2).

? VM 是棱锥的高 ,

? Rt△VMC 中, VM ? VC2 ? MC2 ? 52 ? 32 ? 4 (cm).
? 正四棱锥 V - ABCD 的体积为 S ABCD ? VM ? ?18 ? 4 ? 24 (cm3).
19. (1)证明:连结 BD.在长方体 AC1 中,对角线 BD // B1D1 . 又? E、F 为棱 AD、AB 的中点, ? EF // BD . ? EF // B1D1 . 又 B1D1? ? 平面 CB1D1 , EF ? 平面 CB1D1 ,? EF∥平面 CB1D1.
1 3 1 3

(2)? 在长方体 AC1 中,AA1⊥平面 A1B1C1D1,而 B1D1? ? 平面 A1B1C1D1,? AA1⊥B1D1. 又? 在正方形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥B1D1,? B1D1⊥平面 CAA1C1. 又? B1D1? ? 平面 CB1D1,? 平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1. 20. 解:(Ⅰ) l1 与 l2 分别过定点(0,0)、(2,1),且两 两垂直,∴ l1 与 l2 的交点必在以(0,0)、(2,1)为一
P1 O y P P2(2,1)

x

条直径的圆: x (x ? 2) ? y( y ? 1) ? 0 即 x 2 ? y 2 ? 2x ? y ? 0

新疆

王新敞
学案

(Ⅱ)由(1)得 P1 (0,0)、 P2 (2,1),∴⊿ PP1 P2 面积的最大值必为 ? 2r ? r ?
1 此时 OP 与 PP . 1 2 垂直,由此可得 m=3 或 ? 3

1 2

5 . 4

21.解:(1)在面 ABCD 内过点 B 作 AC 的平行线 BE ,易知 BE 即为直线 l ,
AC ∥ l ,∴ l ∥ AC ∵ AC ∥ AC 1 1, 1 1.

(2)易证 AC 1D 1 ,∴ AC 1B ⊥ B 1 1 ⊥面 DBB 1 1⊥ B 1 D ,同理可证 A 1D , 又 AC 1B = A 1 1 ? A 1 ,∴ B 1 D ⊥面 A 1 BC1 . (3)线 AC 到面 A1BC1 的距离即为点 A 到面 A1BC1 的距离,也就是点 B1 到面 A1BC1 的距离,记
1 1 3a 为 h ,在三棱锥 B1 ? BAC . ? VB? A1B1C1 ,即 S?A1BC1 ? h ? S ?A1B1C1 ? BB1 ,∴ h ? 1 1 中有 VB1 ? BA 1C1 3 3 3

(4) C(a, a,0), C1 (a, a, a) 22. 解:(1)连 OP, ? Q 为切点, PQ ? OQ ,由勾股定理有
PQ ? OP ? OQ .
2 2 2

y
2

A

又由已知 PQ ? PA ,故 PQ ? PA .
O 2

2

2

即: (a2 ? b2 ) ?12 ? (a ? 2)2 ? (b ?1)2 . 化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: 2a ? b ? 3 ? 0 . (2)由 2a ? b ? 3 ? 0 ,得 b ? ?2a ? 3 .
6 4 PQ ? a 2 ? b 2 ? 1 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 1 ? 5a2 ?12a ? 8 = 5(a ? )2 ? . 5 5

x P

Q

故当 a ? 6 时, PQ min ?
5

2 2 5. 5. 即线段 PQ 长的最小值为 5 5

解法 2:由(1)知,点 P 在直线 l:2x + y-3 = 0 上. ∴| PQ |min = | PA |min ,即求点 A 到直线 l 的距离. ∴ | PQ |min = | 2×2 + 1-3 | 2 5 = 5 . 2 2 2 +1

(3)设圆 P 的半径为 R ,? 圆 P 与圆 O 有公共点,圆 O 的半径为 1,
? R ?1 ? OP ? R ?1. 即 R ? OP ? 1 且 R ? OP ?1 .

而 OP ? a 2 ? b2 ? a 2 ? (?2a ? 3)2 ? 5(a ? )2 ? ,故当 a ? 6 时, OP min ? 3 5.
5
5

6 5

9 5

此时, b ? ?2a ? 3 ? , Rmin ? 3 5 ? 1 .
5

3 5

得半径取最小值时圆 P 的方程为 ( x ? 6 )2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 .
5 5 5

解法 2:

圆 P 与圆 O 有公共点,圆 P 半径最小时为与圆 O 外切(取小者)的情形,而这

些半径的最小值为圆心 O 到直线 l 的距离减去 1,圆心 P 为过原点与 l 垂直的直线 l’ 与 l 的 交点 P0. r= 3 3 5 2 -1 = 5 -1. 2 +1
2

y
2

又 l’:x-2y = 0,
6 ? x? , 6 3 ? x ? 2 y ? 0, ? ? 解方程组 ? ,得 ? 5 .即 P0( 5 ,5 ). ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?y?3 ? 5 ?
P0
O

A
2

x P
l

Q

∴ 所求圆方程为 ( x ? 6 )2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5


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