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【天津市2013届高三数学总复习之模块专题:18 圆锥曲线的标准方程及其简单的几何性质(教师版) ]

圆锥曲线的标准方程及其简单的几何性质 考查内容:椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其简单的几何性质。本节题目常 出现在选择题或填空题,属于小综合题目。 椭圆部分
x2 y 2 1、设椭圆 2 ? 2 ? 1 (m ? 0, n ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点相同,离心率 m n

1 为 ,则此椭圆的标准方程为( B ) 2
A、
x2 y2 ? ?1 12 16

B、

x2 y2 ? ?1 16 12

C、

x2 y2 ? ?1 48 64

D、

x2 y2 ? ?1 64 48

2、 (椭圆离心率问题)如果椭圆的左焦点到左准线的距离等于长半轴的长,则其 离心率为( A ) A、

5 ?1 2

B、

5 ?1 2

C、

1 2

D、

4 5

3、 (椭圆离心率问题)过椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,a ? b ? 0 ,的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭 a 2 b2

圆于点 P , F2 为右焦点,若 ?F1PF2 ? 60 ,则椭圆的离心率为( B ) A、

2 2

B、

3 3

C、

1 2

D、

1 3

4、 (椭圆离心率问题)已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF1 ? MF2 ? 0 的点 M 总 在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( C ) A、 (0,1)

1 B、 (0, ] 2

C、 (0,

2 ) 2

D、 [

2 ,1) 2

x2 y2 5、 (椭圆离心率问题)设 F1 , F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点, a b

若在其右准线上存在 P 使线段 PF1 的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围 为( D )

? 2? A、 ? 0, ? ? 2 ? ?

? 3? B、 ? 0, ? ? 3 ? ?

? 2 ? C、 ? , 1? ? 2 ? ?

? 3 ? D、 ? , 1? ? 3 ? ?

6、如图所示, “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞 向月球,在月球附近一点

P 轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在 P 变点第
二次变轨进入仍以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用 2c1 和 2c2 分别表示椭 轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列 式子:① a1 ? c1 ? a2 ? c2 ;② a1 ? c1 ? a2 ? c2 ;③ c1a2 ? a1c2 ;④ 序号是( B ) A、①③ B、②③ C、①④ D、②④

c1 c2 ? 其中正确的 a1 a2 ,

7、巳知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 ,且 G 上一点到 2


G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为
答案:

x2 y2 ? ?1 36 9

8、已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F (?2 3,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则 该椭圆的标准方程是 。

x2 y2 ? ?1 答案: 16 4

9、椭圆
| PF2 |?

x2 y2 ? ? 1 的焦点分别为 F1 , F2 ,且点 P 在椭圆上,若 | PF 1 |? 4 ,则 9 2

; ?F1 PF2 的大小为

。 2, 120?

10、若点 O 和点 F 分别为椭圆 一点,则 OP ? FP 的最大值为

x2 y2 ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意 4 3

6


x0 2 y0 2 x2 ? ? 1 ,解得 y0 2 ? 3(1 ? 0 ) , 4 3 4

解析:由题意, F (?1,0) ,设点 P ( x0 , y0 ) ,则有 因为 FP ? ( x0 ? 1, y0 ) , OP ? ( x0 , y0 ) ,

所以 OP ? FP ? x0 ( x0 ? 1) ? y02 ? OP ? FP ? x0 ( x0 ? 1) ? 3(1 ?

x0 2 x0 2 )= ? x0 ? 3 , 4 4

此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0 ? ?2 ,因为 ?2 ? x0 ? 2 ,所以当 x0 ? 2 时,
OP ? FP 取得最大值
22 ? 2 ? 3 ? 6。 4

11、椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 为其上的动点,当 ?F1 PF2 为钝角时,点 9 4

P 的横坐标的取值范围是



解析: ?F1 PF2 为钝角有以下几种等价形式: ①向量 PF1 与 PF2 的夹角为钝角 ? PF1 PF2 ? 0 ; ② F1F2 ? PF1 ? PF2 ; ③点 P 在以 F1 F2 直径的圆内 ? 点 P 在圆 x 2 ? y 2 ? c 2 内。 由
x2 y2 ? ? 1 ,得 F1 (? 5,0), F2 ( 5,0) ,设 P( x0 , y0 ) 。由于 ?F1 PF2 为钝角, 9 4
2 2 2 2 2 2

∴ F1F2 ? PF1 ? PF2 ,即 ( x0 ? 5)2 ? y02 ? ( x0 ? 5)2 ? y02 ? 20 ,
x0 2 y0 2 3 5 3 5 ? ? 1 ,故 ? ? x0 ? 故 x0 ? y0 ? 5 ,又 。 9 4 5 5
2 2

12、 设 e1 , e2 分别为具有公共焦点 F1 , F2 的椭圆与双曲线的离心率,点 M 为两曲线的
2 e 2 ? e2 交点,且点 M 满足 MF1 ? MF2 ? 0 ,则 1 的值为 (e e ) 2 1 2

。2

13、对于曲线 C ∶

x2 y2 ? ? 1 ,给出下面四个命题: 4 ? k k ?1

①曲线 C 不可能表示椭圆;②当 1 ? k ? 4 时,曲线 C 表示椭圆;③若曲线 C 表示双 曲线,则 k ? 1 或 k ? 4 ;④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1 ? k ? 其中,所有真命题的序号为 答案:③④ 。
5 。 2

x2 y 2 x2 y 2 14、若椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a1 ? b1 ? 0) 和 C2 : 2 ? 2 ? 1(a2 ? b2 ? 0) 是焦点相同且 a1 b1 a2 b2
a1 ? a2 的两个椭圆,有以下几个命题:① C1 , C2 一定没有公共点;②
2 2 ;④ a1 ? a2 ? b1 ? b2 ,其中,所有真命题的序号为 a12 ? a2 ? b12 ? b2

a1 b1 ? ;③ a2 b2



答案:①③④ 15、以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①设 A, B 为两个定点,k 为非零常数,| PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线;

1 ②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB ,O 为坐标原点, 若 OP ? (OA ? OB), 则动 2
点 P 的轨迹为椭圆; ③方程 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; ④双曲线
x2 y2 x2 ? ? 1与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点; 25 9 35

其中,所有真命题的序号为 答案:③④ 双曲线部分



1、已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦 a 2 b2

点在抛物线 y 2 ? 24 x 的准线上,则双曲线的方程为( B ) A、
x2 y 2 ? ?1 36 108

B、

x2 y2 ? ?1 9 27

C、

x2 y 2 ? ?1 108 36

D、

x2 y2 ? ?1 27 9

x2 y2 2、设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,且它的一条准线与抛物线 a b

y 2 ? 4 x 的准线重合,则此双曲线的方程为( D )

A、

x2 y2 ? ?1 12 24

B、

x2 y2 ? ?1 48 96

C、

x2 2 y 2 ? ?1 3 3

D、

x2 y2 ? ?1 3 6

3、双曲线方程为 x 2 ? 2 y 2 ? 1,则它的右焦点坐标为( C )

? 2 ? A、 ? ? 2 ,0? ? ? ?

? 5 ? B、 ? ? 2 ,0 ? ? ? ?

? 6 ? C、 ? ? 2 ,0? ? ? ?

D、

?

3,0

?

4、如果双曲线的两个焦点分别为 F1 (?3,0) 、 F2 (3,0) ,一条渐近线方程为 y ? 2 x , 那么它的两条准线间的距离是( C ) A、 6 3 B、 4 C、 2 D、 1

5、设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近 a2 b2

线方程为( C ) A、 y ? ? 2 x B、 y ? ?2 x C、 y ? ?
2 x 2

1 D、 y ? ? x 2

6、设 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若在双曲线右支上存 a 2 b2

在点 P ,满足 PF2 ? F1F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双 曲线的渐近线方程为( C ) A、 3 x ? 4 y ? 0 B、 3x ? 5 y ? 0 C、 4 x ? 3 y ? 0 D、 5 x ? 4 y ? 0

7、 (双曲线离心率问题)设双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y ? x 2 ? 1 只有 2 a b

一个公共点,则双曲线的离心率为( D ) A、

5 4

B、5

C、

5 2

D、 5
x2 y2 ? ? 1 的离心率 e 的取值范 a 2 (a ? 1)2

8、 (双曲线离心率问题)设 a ? 1 ,则双曲线 围是( B ) A、 ( 2, 2) B、 ( 2,5)
5) C、 (2,

D、 (2,5)

x2 y 2 9、 (双曲线离心率问题)已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 a b

F 且斜率为 3 的直线交 C 于 A, B 两点,若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为( A )
A、

6 5

B、

7 5

C、

5 8

D、

9 5

x2 y 2 10、 (双曲线离心率问题)过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率 a b

为 ? 1 的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B, C 。若 AB ? 则双曲线的离心率是( C ) A、 2 B、 3 C、 5 D、 10

1 BC , 2

11、 (双曲线离心率问题)设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别是 a 2 b2

F1 , F2 ,过点 F2 的直线交双曲线右支于不同的两点 M , N ,若 ?MNF1 为正三角形,

则该双曲线的离心率为( B ) A、 6 B、 3 C、 2 D、

3 3

12、 (双曲线离心率问题)设双曲线的—个焦点为 F ,虚轴的—个端点为 B ,如果

直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( D ) A、 2 B、 3 C、

3 ?1 2

D、

5 ?1 2

13、 (双曲线离心率问题)若 F1 , F2 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点, O 为坐标原点, a2 b2

点 P 在双曲线的左支上,点 M 在双曲线的右准线上,且满足:

F1O ? PM , OP ? ? (

OF1 OF1

?

OM OM

) (? ? 0) ,则该双曲线的离心率为( C )

A、 2

B、 3

C、 2

D、3

解析:由双曲线的第二定义知 e ?

2a ? c 2 ? ?1 c e
x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 a 2 b2

14、 (双曲线离心率问题)过双曲线

1 的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B, C ,若 AB ? BC ,则双曲 2
线的离心率是( C ) A、 2 B、 3 C、 5 D、 10

解析:对于 A ? a, 0 ? ,则直线方程为 x ? y ? a ? 0 ,直线与两渐近线的交点为 B,C,

? a2 2a 2b 2a 2b ab ? a2 ab ? ab ab ? , B? , ,? ) ,则有 BC ? ( 2 2 , ? 2 2 ), AB ? ? ? ? , C( ?, a ?b a ?b a ?b a ?b ? a?b a ?b ? ? a?b a?b ?
因 2 AB ? BC,?4a2 ? b2 ,?e ? 5 。 15、已知双曲线
x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,其一条渐近线方程 2 b2

为 y ? x ,点 P( 3, y0 ) 在双曲线上,则 PF1 · PF2 =( C ) A、—12 B、—2 C、0 D、4

x2 y 2 16、双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左准线为 l ,左焦点和右焦点分别 a b
为 F1 , F2 ;抛物线 C 2 的准线为 l ,焦点为 F2 , C 1 与 C 2 的一个交点为 M ,则
F1 F2 MF1 ? MF1 MF2

等于( A ) B、 1 C、 ?
1 2

A、 ? 1

D、

1 2

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 的焦点,则直线 y ? kx ? 2 ? ? 1 的准线过椭圆 17、已知双曲线 4 b2 2 2
与椭圆至多有一个交点的充要条件是( A )
1 1 A、 k ? [ ? , ] 2 2 1 1 B、 k ? [?? ,? ] ? [ ,?? ] 2 2

C、 k ? [?

2 2 , ] 2 2

D、 k ? (??,?

2 2 ] ?[ ,??) 2 2

解析:方程是 18、从双曲线

x2 y 2 ? ? 1 联立 y ? kx ? 2 ,可由 ? ? 0 可解得 A 。 4 3

x2 y 2 2 2 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左焦点 F 引圆 x ? y ? a 的切线,切点为 T ,延 a 2 b2

长 FT 交双曲线右支于 P 点,若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则 MO ? MT 与 b ? a 的大小关系为( B ) A、 MO ? MT ? b ? a C、 MO ? MT ? b ? a 20、若双曲线 B、 MO ? MT ? b ? a D、不确定

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 , P 为双曲线上一点,且 a 2 b2

PF1 ? 3 PF2 ,则该双曲线离心率的取值范围是
答案: 1 ? e ? 2 。



抛物线部分

1、已知抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的准线与圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 7 ? 0 相切,则 p 的值为 ( C )

? A? 1

2

?B ?1

?C ?2

?D ?4

? 1) 的距离与点 p 到抛物线焦 2、已知点 p 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,那么点 p 到点 Q(2,

点距离之和取得最小值时,点 p 的坐标为( A )
?1 ? ? 1? A、 ? , ?4 ?

?1 ? B、 ? , 1? ?4 ?

2) C、 (1,

? 2) D、 (1,

3、已知点 P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的一个动点,则点 P 到点 (0,2) 的距离与 P 到该抛 物线准线的距离之和的最小值为( A ) A、

17 2

B、 3

C、 5

D、

9 2

4、已知直线 y ? k ? x ? 2?? k ? 0? 与抛物线 C : y 2 ? 8x 相交于 A, B 两点, F 为 C 的焦点, 若 | FA |? 2 | FB | ,则 k ? ( D ) A、

1 3

B、

2 3

C、

2 3

D、

2 2 3

5、已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P y1 ), P2 (x2 , y2 ) , P ,y3 ) 在 1 (x1, 3 ( x3 抛物线上,且 2 x2 ? x1 ? x3 , 则有( C ) A、 FP 1 ? FP 2 ? FP 3 C、 2 FP 2 ? FP 1 ? FP 3 B、 FP ? FP 1 ? FP 2 3 D、 FP ? FP · FP 2 1 3
2 2 2 2

6、设抛物线 y 2 ? 2x 的焦点为 F ,过点 M ( 3,0) 的直线与抛物线相交于 A, B 两点, 与抛物线的准线相交于 C , BF ? 2 ,则 A、
S ?BCF ?( A ) S ?ACF

4 5

B、

2 3

C、

4 7

D、

1 2

S BC 解析: 由题知 ?BCF ? ? S ?ACF AC

1 1 3 2 ? 2xB ? 1 , | BF |? x B ? ? 2 ? x B ? ? y B ? ? 3 1 2xA ? 1 2 2 xA ? 2 xB ?

0 ? 2xA 0 ? 3 yM ? y A yM ? yB S 2x ? 1 3 ? 1 4 ? ,即 ,故 x A ? 2 , ?BCF ? B ? ? 。 ? 3 xM ? x A xM ? xB S ?ACF 2 x A ? 1 4 ? 1 5 3 ? xA 3? 2
7、点 P 在直线 l : y ? x ? 1 上,若存在过 P 的直线交抛物线 y ? x 2 于 A, B 两点,且
| PA ?| AB | ,则称点 P 为“

点” ,那么下列结论中正确的是( A ) 点” 点” 点” 点”

A、直线 l 上的所有点都是“ B、直线 l 上仅有有限个点是“ C、直线 l 上的所有点都不是“

D、直线 l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“

解析:本题采作数形结合法易于求解,如图,设 A ? m, n ? , P ? x, x ?1? ,则

B ? 2m ? x, 2n ? x ? 2? ,
? n ? m2 消去 n ,整理得 x2 ? (4m ?1) x ? 2m2 ?1 ? 0 (1) ? 2 ?2n ? x ? 1 ? (2m ? x) ,
? ? (4m ?1)2 ? 4(2m2 ?1) ? 8m2 ? 8m ? 5 ? 0 恒成立,所以,方程(1)恒有实数解。

8、在平面直角坐标系 xOy 中,若抛物线 y 2 ? 4 x 上的点 P 到该抛物线的焦点的距离 为 6,则点 P 的横坐标 x ? 5 。

9、过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,则 值为 答案:1。 。

1 1 ? 的 AF BF

10、过抛物线 x2 ? 2 py( p>0) 的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于 A, B 两点,
A, B 在 x 轴上的正射影分别为 D, C 。若梯形 ABCD 的面积为 12 2 ,则

p?
答案:2。



11、设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 A(0,2) .若线段 FA 的中点 B 在抛物线 上,则 B 到该抛物线准线的距离为 答案: 。

3 2。 4

12、设 O 是坐标原点, F 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点, A 是抛物线上的一点,

FA 与 x 轴正向的夹角为 60? ,则 OA 为



解析:过 A 作 AD ? x 轴于 D,令 FD ? m ,则 FA ? 2m , p ? m ? 2m , m ? p 。

p 21 。 ?OA ? ( ? p)2 ? ( 3 p)2 ? p. 2 2
13、 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于 A, B 两点, 若线段 AB 的长为 8,则 p ? 解析:由题意可知过焦点的直线方程为 y ? x ? 。

p , 2

? y 2 ? 2 px p2 ? 2 联立有 ? ? x ? 3 px ? ? 0, p 4 y ? x ? ? ? 2

p2 又 AB ? (1 ? 1 ) (3 p) ? 4 ? ?8? p ? 2。 4
2 2

14、已知抛物线 C : y ? ax 2 (a ? 0) ,直线 y ? x ? 2 交抛物线 C 于 A, B 两点, M 是

线段 AB 的中点,过 M 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 N ,若 NA ?NB ? 0 ,则实数 a 的值为 答案: a ? 。

7 。 8

?y ? x ? 2 简解:由 ? ,得 ax 2 ? x ? 2 ? 0 2 ? y ? ax
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),则 x1 ? x2 ? 所以, xN ? xM ?

1 2 , x1 x2 ? ? a a

x1 ? x2 1 1 2 ? , yN ? a ? xN , ? 2 2a 4a

由 M 是线段 AB 的中点知, NA ? NB ? 0 ? NA ? NB ? MN ?
1 1 1 ?2? ? ?2 2a 4a 4a

1 AB 2

由 MN ? x 轴 知, MN ?

又 AB ? 2 ? x1 ? x2 ? 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 2 ?

1 8 ? a2 a

所以 (

1 1 1 8 7 1 7 ? 2) 2 ? ? 2 ? ( 2 ? ) ,解得 a ? 或 a ? ? (舍去) ,所以 a ? 。 4a 4 a a 8 8 8