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(四川专版)2016高考数学二轮复习 专题十一 数列求和及数列的简单应用练习 理


专题限时集训(十一) [数列求和及数列的简单应用]
(时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练夯知识 1.等差数列{an}的公差不为零,首项 a1=1,a3 是 a1 和 a13 的等比中项,则此数列的前 10 项之和是( ) A.90 B.100 C.110 D.120 2. 已知等比数列{an}的各项均为正数, 且 a5a6+a4a7=18, 则 log3a1+log3a2+?+log3a10 =( ) A.12 B.10 C. 8 D.2+log3 5 3.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn (n=1,2,3,?),若当首项 a1 和公差 d 变化时, a5 +a8+a11 是一个定值,则下列选项中为定值的是( ) A.S17 B.S16 C.S15 D.S14 1 4. 数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an= ,则 S10 等于( ) n(n+2) 11 11 A. B. 12 24 175 175 C. D. 132 264 5.设等比数列{an}的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn.若 a1=1,a3=4,Sk=63,则 k =________. 提升训练强能力 6. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,且满足 S35=S3992 ,a=(1,an),b=(2014,a2014), 则 a·b 的值为( ) A. 2014 B. -2014 C. 1 D.0 3 3 7 .设等差数列 {an}的前 n 项和为 Sn,已知 (a5- 1) + 2009(a5-1)=1, (a2005 -1) + 2009(a2005-1)=-1,则下列结论中正确的是( ) A.S2009=2009,a2005<a5 B.S2009=2009,a2005>a5 C.S2009=-2009,a2005≤a5 D.S2009=-2009,a2005≥a5 ?1? 8. 已知幂函数 y=f(x)的图像过点(4, 2), 令 an=f(n+1)+f(n), n∈N*, 记数列? ?
?an?

的前 n 项和为 Sn,则当 Sn=10 时,n 的值是( A. 110 B. 120 C. 130 D. 140

)

?1? 2 * 9.已知 an=n +n(n∈N ),数列? ?的前 n 项和为 Sn,数列{bn}的通项公式为 bn=n-8, ?an?

则 bnSn 的最小值为( A.-3

) B.-4
1

C.3 D.4 n个1 10.数列 1,11,111,1111,?,11?1,\s\up6( )),?,的前 10 项之和是( 10 10 -100 A. 9 10 10 -100 B. 81 11 10 -100 C. 9 11 10 -100 D. 81
*

)

11.设直线 nx+(n+1)y= 2(n∈N )与两坐标轴围成的三角形的面积为 Sn,则 S1+S2 +?+S2014=________ . n * 12. 在 数列 {an} 中, a1 = 1 , a2 = 2 , 且 an + 2 - an = 1 + ( - 1) (n∈N ) ,则 S100 = ________ . πx n (-1) sin +2n,x∈[2n,2n+1), 2 13.已知函数 f(x)= (n∈N),若 πx n+1 (-1) sin +2n+2,x∈[2n+1,2n+2) 2

? ? ? ? ?
*

数列{am}满足 am=f? ?(m∈N ),且{am}的前 m 项和为 Sm,则 S2014-S2006=________. ?2?

?m?

14.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn=nan-n(n-1),其中 n∈N . (1)求证:{an}是等差数列; (2)求证:an·an+1<4Sn; 1 1 1 1 5 (3)求证: + + +?+ < . S1 S2 S3 Sn 3

*

15. 已知数列{an}中,an+1=Sn-n+3,n∈N ,a1=2. * (1)求证:当 n≥2,n∈N 时,{an-1}是等比数列; (2)求{an}的通项公式; n 1 4 * * (3)设 bn= (n∈N )的前 n 项和为 Tn,求证: ≤Tn< (n∈N ). Sn-n+2 3 3

*

2

16. 中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征, 测算显示中国是世界上人口 老龄化速度最快的国家之一, 再不实施“放开二胎”新政策, 整个社会将会出现一系列的问 题. 若某地区 2012 年人口总数为 45 万, 专家估计实施 “放开二胎” 新政策后人口总数将 发生如下变化: 从 2013 年开始到 2022 年每年人口比上年增加 0.5 万, 从 2023 年开始到 2032 年每年人口为上一年的 99%. (1)求实施新政策后第 n 年的人口总数 an 的表达式(注:2013 年为第一年). (2)若新政策实施后 2013 年到 2032 年的人口平均值超过 49 万, 则需调整政策, 否则 10 10 继续实施.问 2032 年后是否需要调整政策?(0.99 =(1-0.01) ≈0.9)

3

专题限时集训(十一) 【基础演练】 2 1. B [解析] 设公差为 d, 则(1+2d) =1×(1+12d). ∵d≠0, 解得 d=2, ∴S10=100. 选 B. 2. B [解析] 根据等比数列的性质得 a5a6+a4a7=2a5a6=18, 所以 a5a6=9, 所以 log3a1 5 +log3a2+?+log3a10=log3(a1a2?a10)=log3(a5a6) =5 log39=10 . 3. C [解析] a5+a8+a11=3a1+21d=3(a1+7d)=3a8, 而 S15=15a8, 所以 S15 为定值. 1 ? 1 1 ?1 1 4 . D [ 解析 ] 因 为 an = = ? - ,所 以 S10 = a1 + a2 +?+ a10 = ? n n + 2 n(n+2) 2 ? 2 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 175 ?1- + - +?+ - ?= 1+ - - = . ? 3 2 4 ? 10 12? 2 2 11 12 264 ? 2 5.6 [解析] 设数列{an}的公比为 q,因为 an>0,所以 q>0.又 a1=1,a3=4=a1q = k 1-2 k q2,所以 q=2.又 Sk= =63,即 2 =64,所以 k=6. 1-2 【提升训练】 6.A [解析] 由 S35=S3992,得 a36+a37+?+a3992=(a36+a3992)+(a37+a3991)+?+(a2013 +a2015)+a2014=2a2014+2a2014+?+2a2014+a2014=3957a2014=0,所以 a2014=0,所以 a·b=2014 +ana2014=2014. 3 7.A [解析] 函数 f(x)=x +2009x 在 R 上是奇函数,且为增函数,依题意得 f(a5- 1)=1,f(a2005-1)=-1,因此 a2005-1<a5-1,且(a2005-1)+(a5-1)=0,所以 a2005<a5, 2009(a1+a2009) 且 a2005+a5=2? S2009= =2009. 2 1 1 α α 8.B [解析] 设 f(x)=x ,则有 2=4 ,解得 α = ,所以 f(x)=x ,所以 an= n+1 2 2 1 1 + n, = = n+1- n,所以 Sn=( 2-1)+( 3- 2)+?+( n+1- n) an n+1+ n = n+1-1=10,解得 n=120. 1 1 1 n 2 * 9.B [解析] 因为 an=n +n=n(n+1)(n∈N ),所以 = - ,所以 Sn= .又 an n n+1 n+1 n(n-8) 9 9 n+1>0 且 n∈N*,所以 bnSn= =n+1+ -10≥-4,当且仅当 n+1= ,即 n+1 n+1 n+1 n=2 时,等号成立,所以 bnSn 的最小值为-4. 10. D [解析] 因为
10

(10 -1), 所以数列的前 10 项之和是:

n

11 1 1?10(1-10 ) ? 10 -100 2 10 ? -10? 1-10 9[(10+10 +?+10 )-10]=9? ?= 81 . 2014 2? ? 2 ? ? 11. [解析] 直线与两坐标轴的交点坐标分别为? ,0?,?0, ? ,故 Sn= 2015 ?n ? ? n+1? 1 1 1 1 2014 = - ,所以 S1+S2+?+S2014=1- = . n(n+1) n n+1 2015 2015 12.2600 [解析] 由已知可得,当 n 为奇数时,an+2-an=0;当 n 为偶数时,an+2-an =2.故当 n 为奇数时,{an}为常数数列,an=1;当 n 为偶数时,{an}是首项为 2,公差为 2 50×102 的等差数列.故 S100=S 奇+S 偶=50×1+ =2600. 2 13.8042 [解析] S2014-S2006=a2007+a2008+a2009+a2010+a2011+a2012+a2013+a2014 .因为 a2007 ?2007?=- 2+2×501+2,a =f(1004)=2×502,a =f?2009?= 2+2×502,a =f? ? 2008 2009 ? 2 ? 2 2010 2 ? 2 ? ? ? ?2011?=- 2+2×502+2,a =f(1006)=2×503, =f(1005)=-1+2×502+2,a2011=f? ? 2012 2 ? 2 ?

4

a2013=f?

?2013?= 2+2×503,a =f(1007)=-1+2×503+2,所以 S -S =8042. ? 2014 2014 2006 ? 2 ? 2
*

14.证明: (1)当 n≥2,n∈N 时,由已知 Sn=nan-n(n-1)得 Sn-1=(n-1)an-1-(n- 1)(n-2). 两式相减得 Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-2(n-1).又 Sn-Sn-1=an,所以(n-1)an-(n -1)an-1=2(n-1). * 即 an-an-1=2(n≥2,n∈N ).所以{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列. 2 * (2)由(1)得 an=2n-1,Sn=n ,n∈N . 2 所以 an·an+1=(2n-1)·(2n+1)=4n -1<4Sn. 1 4 2(an+1-an) ? 1 1 ? ,所以 1 + 1 + 1 +?+ 1 ≤ 1 + (3) 由 (2) 得 < = =2? - ? Sn an·an+1 an·an+1 S1 S2 S3 Sn ?an an+1? ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? 2?? - ?+? - ?+?+? - ??

??a2 a3? ?a3 a4? ?an an+1?? ? 1 1 ?=1+2?1- 1 ?<1+2=5. =1+2? - ? ?3 2n+1? 3 3 ?a2 an+1? ? ?
15.解: (1)证明:?
?an+1=Sn-n+3, ?

? ?an=Sn-1-(n-1)+3(n≥2)

? an+1-an=an-1? an+1-1=2(an

-1), ∴{an-1}从第二项起为公比等于 2 的等比数列. (2)a2=S1-1+3=4,a1=2,a2-1≠2(a1-1), ?2(n=1), ? ∴an=? n-2 * ? ?3×2 +1(n≥2,n∈N ). (3)证明:由(2)知 Sn=an+1+n-3=3×2
n-1

+n-2? bn= n-1. 3×2

n

n ? 1? 1 2 则 Tn= ? 0+ 1+?+ n-1?, 2 ? 3?2 2 n? 1 1? 1 2 Tn= ? 1+ 2+?+ n?, 2 2 2 2 3? ?
1 1 1 1 1? 故 Tn= ?1+ 1+ 2+?+ n-1 2 2 3? 2 2 4 2n+4 4 ∴Tn= - n< , 3 3·2 3 1 1 4 ∵bn>0,∴Tn≥T1= ,∴ ≤Tn< . 3 3 3 * 16.解:(1)当 n≤10,n∈N 时,数列{an}是首项为 45.5,公差为 0.5 的等差数列,∴an =45.5+0.5×(n-1)=45+0.5n; * 当 n≥11,n∈N 时,数列{an}是公比为 0.99 的等比数列, n-10 又 a10=50,∴an=50×0.99 . 因 此 , 实 施 新 政 策 后 第 n 年 的 人 口 总 数 an 的 表 达 式 为 an = * ?45+0.5n,n≤10,n∈N , ?
? n-10 * ?50×0.99 ,11≤n≤20,n∈N . ?

n ?1? ? ? 1 n+2 1 - ? ? n ? 1? ?2? n ? ? 2- ? - ? = ?, - =3? 2? 3 1 2 ? 1- ? ? 2 ? ? 2 ?
n n n

(2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,从 2013 年到 2032 年共 20 年,由等差数列及等比数列 的求和公式得 S20=S10+(a11+a12+?+a20)=477.5+4950×(1-0.9910)≈972.5, 972.5 ∴实施新政策后 2013 年到 2032 年的人口平均值为 ≈48.6(万). 20

5



S20
20

<49,∴2032 年后不需要调整政策.

6


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