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浙江省名校新高考研究联盟2014届第一次联考数学(文科)答案


浙江省名校新高考研究联盟 2014 届第一次联考

数学(文科)答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1 C 2 A 3 A 4 D 5 B 6 A 7 C 8 D 9 C 10 C

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分,把答案填在答题卷上) 11、____6__ 12、______

2 _____ 5

13、____ 4 5 _____ 16、______ (??, ? ] ? [2, ??) ______

14、____102__ _ 17、_ _1___

15、______1_____

2 3

三、解答题(本大题共 5 题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 18. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)由向量 a ? ( , sin x ?

?

1 1 2 2

? 3 cos x) 与 b ? (1, y ) 共线得 2
………………2 分 ………………5 分 ………………7 分

f ( x) = sin x ? 3 cos x
= 2sin( x ?

?
3

)

所以函数 f ( x) 的周期是 2? . (Ⅱ)由 f ( A ?

?
3

) ? 3 得 sin A ?

3 2

又 ?ABC 为锐角三角形所以 A ? 又 a ? 7 , sin B ?
2 2 2

?
3

,………………9 分

21 由正弦定理得 b ? 2 ,………………11 分 7
所以 c ? 3 ,

又 a ? b ? c ? 2bc cos A

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所以 S?ABC ?

1 3 bc sin A ? 3 .………………14 分 2 2 1 , 9

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)设数列 ? an ? 的公比为 q,由 a3 ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4 ,所以 q 2 ?
2 2 2

1 ,………………3 分 3 1 由 2a1 ? 3a2 ? 1 得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? ,………………5 分 3 1 故数列 ? an ? 的通项公式为 an = n .………………7 分 3
由条件可知 q ? 0 ,故 q ? (Ⅱ) bn ? log 3 a1 ? log 3 a2 ? ... ? log 3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) ?? n(n ? 1) 2
………………9 分



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) ………………11 分 bn n(n ? 1) n n ?1

所以

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1

所以数列 {

1 2n } 的前 n 项和为 ? .………………14 分 bn n ?1

20. (本小题满分 15 分) (Ⅰ)取 AD, BC 的中点 E , F 则 AB ∥ EF ,又 AB ? BC 所以 EF ? BC ,由 PB ? PC , F 是

BC 中点得 PF ? BC ,所以 BC ? 面 PEF ,…………2 分 所以 BC ? PE ,又 PA ? PD , E 为 AD 的中点,所以 PE ? AD , 所以 PE ? 面 ABCD ,所以面 PAD ? 面 ABCD .………………7 分
(Ⅱ)在直角梯形 ABCD 中, AD = BD = 2 , AB =2,所以 BD ? AD ,又面 PAD ? 面

ABCD ,所以 BD ? 面 PAD , 所以 ?BPD 即为直线 PB 与平面 PAD 所成角,………………12 分
所以 sin ?BPD ?

BD 6 ? .………………15 分 PB 3
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21. (本小题满分 15 分) (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x ,所以 f ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ………………1 分 ? x x

所以 f ( x) 的递减区间是 (0,1) ,递增区间是 (1, e] ,………………3 分 所以 f ( x) 的极小值为 f (1) ? 1 ,没有极大值. ………………5 分 (Ⅱ)记 g ( a ) 为函数 f ( x) 在区间 (0, e] 的最小值.

f ?( x) ? a ?

1 ax ? 1 , ? x x

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在区间 (0, e] 上递减, 所以 g (a) ? f (e) ? ae ? 1 ………………8 分 当0 ? a ?

1 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在区间 (0, e] 上递减, e

所以 g (a) ? f (e) ? ae ? 1 ………………11 分

1 1 1 时, f ( x) 在区间 (0, ) 上递减,在 ( , e] 上递增, e a a 1 所以 g (a) ? f ( ) ? 1 ? ln a ………………14 分 a
当a ?

1 ? ae ? 1, a ? ? ? e 综上所述, g (a ) ? ? ………………15 分 ?1 ? ln a, a ? 1 ? e ?
22. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)抛物线的标准方程为 x ? 4 y ………………4 分
2

(Ⅱ)因为直线与圆相切, 所以

t ?1 1? k
2

? 1 ? k 2 ? t 2 ? 2t ………………6 分

把直线方程代入抛物线方程并整理得:

x 2 ? 4kx ? 4t ? 0

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由 ? ? 16 k ? 16t ? 16(t ? 2t ) ? 16t ? 0
2 2

得 t ? 0 或 t ? ?3 ………………8 分 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) , 则 x1 ? x2 ? 4k

y1 ? y 2 ? (kx1 ? t ) ? (kx2 ? t ) ? k ( x1 ? x2 ) ? 2t ? 4k 2 ? 2t
由 OC ? ? ( OM ? ON ) ? ? ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) ? (4k? , (4k ? 2t )? )
2

得 C (4k? , (4k ? 2t ) ? ) ………………10 分
2

因为点 C 在抛物线 x ? 4 y 上,
2

所以, 16 k ? ? 4(4k ? 2t ) ?
2 2 2

?? ? 1?

t t 1 ? 1? 2 ? 1? 2 2t ? 4 2k 2t ? 4t

因为 t ? 0 或 t ? ?3 , 所以 2t ? 4 ? 4 或 2t ? 4 ? ?2 所以 ? 的取值范围为 ( , 1) ? (1,

1 2

5 ) .………………14 分 4

命题人:孙优君 13968208855

方旭阳 13567400801

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