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江西省2015届高三上学期9月段考数学试卷(文科)


江西省 2015 届高三上学期 9 月段考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 M={(x,y)|y=x },N={y|x +y =2},则 M∩N=() A.{(1,1) , (﹣1,1)} B. ? C. D . 2. (5 分)已知命题 p:?x∈R,2 <3 ;命题 q:?x∈R,x =1﹣x ,则下列命题中为真命题 的是() A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬p∧¬q 3. (5 分)对数函数 f(x)=ln|x﹣a|在区间上恒有意义,则 a 的取值范围是() 2 A. B. (﹣∞,﹣1]∪},B={x|{x+m ≥1}若 A?B,则实数 m 的取值范围是: . 13. (5 分)设 a=log23,b=log46,c=log89,则 a,b,c 的大小关系是: . 14. (5 分)对于以下说法: (1)命题“已知 x,y∈R”,若 x≠2 或 y≠3,则“x+y≠5”是真命题; (2)设 f(x)的导函数为 f′(x) ,若 f′(x0)=0,则 x0 是函数 f(x)的极值点; (3)对于函数 f(x) ,g(x) ,f(x)≥g(x)恒成立的一个充分不必要的条件是 f(x)min≥g (x)max; (4)若定义域为 R 的函数 y=f(x) ,满足 f(x)+f(4﹣x)=2,则其图象关于点(2,1) 对称. 其中正确的说法序号是. 15. (5 分)对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d,有同学发现:若 f(x)的导函数图象的对 称轴是直线:x=x0,则函数 f(x)图象的对称中心是点(x0,f(x0) ) .根据这一发现,对 3 2 于函数 g(x)=x ﹣3x +3x+1+asin(x﹣1) (a∈R 且 a 为常数) ,则 g(﹣2012)+g(﹣2010) +g(﹣2008)+g(﹣2006)+…+g+g 的值为.
3 2 x x 3 2 2 2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤. 2x x+1 16. (12 分)已知函数 f(x)=2 ﹣2 +1. (1)求 f(log218+2log 6) ; (2)若 x∈,求函数 f(x)的值域. 17. (12 分)已知集合 A={x∈ R|0<ax+1≤5},B={x∈R|﹣ <x≤2}. (1)A,B 能否相等?若能,求出实数 a 的值,若不能,试说明理由? (2)若命题 p:x∈A,命题 q:x∈B 且 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

18. (12 分)已知函数 f(x)=x +ax,g(x)=bx +x. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点 C(1,m)处具有公共切线,求实数 m 的值; (2)当 b= ,a=﹣4 时,求函数 F(x)=f(x)+g(x)在区间上的最大值.

2

3

19. (12 分)已知函数 f(x)= x ﹣ax﹣lnx(x∈R) . (1)若函数 f(x)在区间使 h(x1)>g(x2)成立,求实数 m 的取值范围; (2)若 f(x)在

2

江西省 2015 届高三上学期 9 月段考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 2 2 2 1. (5 分)已知集合 M={(x,y)|y=x },N={y|x +y =2},则 M∩N=() A.{(1,1) , (﹣1,1)} B. ? C. D . 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 集合 M 为点集,集合 N 为单元素集合,即可确定出两集合没有公共元素. 解答: 解:∵M={(x,y)|y=x },N={y|x +y =2}, ∴M∩N=?. 故选:B. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)已知命题 p:?x∈R,2 <3 ;命题 q:?x∈R,x =1﹣x ,则下列命题中为真命题 的是() A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬p∧¬q 考点: 复合命题的真假. 专题: 阅读型;简易逻辑. 分析: 举反例说明命题 p 为假命题,则¬p 为真命题.引入辅助函数 f(x)=x +x ﹣1, 由函数零点的存在性定理得到该函数有零点, 从而得到命题 q 为真命题, 由复合命题的真假 得到答案. 解答: 解:因为 x=﹣1 时,2 >3 ,所以命题 p:?x∈R,2 <3 为假命题,则¬p 为真 命题. 3 2 3 2 令 f(x)=x +x ﹣1,因为 f(0)=﹣1<0,f(1)=1>0.所以函数 f(x)=x +x ﹣1 在(0, 1)上存在零点, 3 2 即命题 q:?x∈R,x =1﹣x 为真命题. 则¬p∧q 为真命题.
﹣1 ﹣1

2

2

2

x

x

3

2

3

2

x

x

故选 B. 点评: 本题考查了复合命题的真假, 考查了指数函数的性质及函数零点的判断方法, 解答 的关键是熟记复合命题的真值表,是基础题. 3. (5 分)对数函数 f(x)=ln|x﹣a|在区间上恒有意义,则 a 的取值范围是() A. B. (﹣∞,﹣1]∪上,|x﹣a|>0 恒成立.即在上|x﹣a|≠0 即可. 故选 C. 解答: 解:根据对数函数的性质,可知 f(x)=ln|x﹣a|在区间上恒有意义,则在区间上, |x﹣a|>0 恒成立. 即在上|x﹣a|≠0 即可,所以 a>1 或 a<﹣1. 故选 C. 点评: 本题主要考查对数函数的性质以及绝对数函数的意义, 要求熟练掌握相关函数的性 质.

4. (5 分)已知 f(x)= A. B. ﹣

,则 f(3)=() C.﹣1 D.3

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用分段函数的性质求解. 解答: 解:∵f(x)= ∴f(3)=f(3﹣2)+1 =f(1)+1 =f(1﹣2)+1+1 =f(﹣1)+2 =﹣sin(﹣ )+2=3. ,

故选:D. 点评: 本题考查函数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意分段函数的性质的合 理运用.
2

5. (5 分)已知幂函数 y=(m ﹣m﹣1)x m 的值为() A.2

在区间 x∈(0,+∞)上为减函数,则

B.﹣1

C.2 或﹣1

D.﹣2 或 1

考点: 幂函数的性质. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 由于幂函数 y=(m ﹣m﹣1)x m ﹣m﹣1=1,m ﹣2m﹣3<0.解出即可. 解答: 解:∵幂函数 y=(m ﹣m﹣1)x
2 2 2 2 2

2

在区间 x∈(0,+∞)上为减函数,可得

在区间 x∈(0,+∞)上为减函数,

∴m ﹣m﹣1=1,m ﹣2m﹣3<0. ∴m=2. 故选:A. 点评: 本题考查了幂函数的定义及其单调性,属于基础题. 6. (5 分)已知函数 f(x)在 R 上递增,若 f(2﹣x)>f(x ) ,则实数 x 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) B.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) C. (﹣1, 2) D. (﹣2,1) 考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得可得 2﹣x>x ,即 x +x﹣2<0,由此求得实数 x 的取值范围. 2 2 2 解答: 解:由于函数 f(x)在 R 上递增,f(2﹣x)>f(x ) ,可得 2﹣x>x ,即 x +x ﹣2<0, 求得﹣2<x<1, 故选:D. 点评: 本题主要考查函数的单调性的定义,一元二次不等式的解法,属于基础题.
2 2 2

7. (5 分) 设f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 且f (2) =0, 当 x>0 时, 有 >0 恒成立,则不等式 f(x)>0 的解集是() A.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) B.(﹣2,0)∪(0,2) C. (﹣2, 0) ∪ (2,+∞) D. (﹣∞,﹣2)∪(0,2) 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 因为 >0 恒成立, ;然后利用导函数的正负性,可判断函数

y═

在(0,+∞)内单调递增;再由 f(2)=0,易得 f(x)在(0,+∞)内的正负

性;最后结合奇函数的图象特征,可得 f(x)在(﹣∞,0)内的正负性.则解集即可求得. 解答: 解:当 x>0 时,有 >0,即有 y= 在区间(0.+∞)

上单调递增,且

=0,

所以当 0<x<2 时,f(x)<0,

当 x>2 时,f(x)>0, 根据函数 f(x)是奇函数, 得到 x<﹣2 时,f(x)<0, ﹣2<x<0 时,f(x)>0. 综上所述,当 x>2 或者﹣2<x<0 时,f(x)>0, 故选:C. 点评: 本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系, 同时考查了奇偶函数的图 象特征,属于中档题.

8. (5 分)已知函数 f(x)= 的() A.充分不必要条件 C. 充要条件

,则“﹣ ≤a≤0”是“f(x)在 R 上单调递增”

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 当 a=0 时,f(x)= ,在 R 上单调递增.当 a≠0 时,f(x)在 R 上

单调递增,利用二次函数与一次函数的单调性可得

,解出即可.

解答: 解:当 a=0 时,f(x)=

,在 R 上单调递增.

当 a≠0 时,f(x)在 R 上单调递增,

,解得



综上可得:“﹣ ≤a≤0”?“f(x)在 R 上单调递增”. 故选:C. 点评: 本题考查了一次函数与二次函数的单调性、 分类讨论的思想方法, 考查了推理能力 与计算能力,属于难题.

9. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣6x+4lnx+a(x>0) ,若方程 f(x)=0 有两个不同的实根, 则实数 a 的值为() A.a=5 或 a=8﹣4ln2 B. a=5 或 a=8+4ln2 C. a=﹣5 或 a=8﹣4ln2 D.a=5 或 a=8﹣4ln3 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先看定义域,再求导数并令导数为零,研究其极值情况,大体结合图象求解. 解答: 解: ,

2



得 0<x<1 或 x>2;由

得 1<x<2

∴f(x)在(0,1)和(2,+∞)上单调递增,f(x)在(1,2)上递减 知 y 极大=f(1)=a﹣5,y 极小=f(2)=4ln2﹣8+a, f(x)=0 有两个不同的实数根,则 或

解得 a=5 或 a=8﹣4ln2 故当 a=5 或 a=8﹣4ln2 时 f(x)=0 有两个不同的实数根. 故选 A. 点评: 此题不是单纯的二次函数的零点问题, 因此可以考虑利用导数研究其单调性、 极值 情况结合大体图象确定端点函数值的符号,极值的符号确定本题的解. 10. (5 分)已知 S(t)是由函数 f(x)= ﹣ 的图象,g(x)=|x﹣2|﹣2 的图象

与直线 x=t 围成的图形的面积,则函数 S(t)的导函数 y=S′(t) (0<t<4)的大致图象是 ()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 针对 x 的不同取值先去掉函数表达式中的绝对值符号, 在同一坐标系中画图, 结合 图象处理.

解答: 解:对于函数 f(x)=

﹣ =

,此函数中的两段都可

看成反比例函数经过平移得到,

且 x≥2 时不难验证图象过(2, )与(4,0) ;而 x≤2 时不难验证图象过(2, )与(0,0) ;

对于函数 g(x)=|x﹣2|﹣2=

,此函数中的两段都可看成直线的一部分,

x≥2 时不难验证图象过(2,﹣2)与(4,0) ;而 x≤2 时不难验证图象过(2,﹣2)与(0, 0) ; 利用上述条件在同一个平面直角坐标系内画 y=f(x)与 y=g(x)图象:

从图象可以看出, t 从 0 开始增大时, 直线 x=t 向右移动, ∵S (t) 是由函数 f (x) = ﹣ 的图象、g(x)=|x﹣2|﹣2 的图象与直线 x=t 围成的图形的面积, ∴S(t)是增函数,且增的速度变化是先慢中间快再慢, ∴S′(t)的图象只有 B 符合. 故选:B. 点评: 本题综合考查函数与函数图象,函数的 单调性与导数的关系,属于选择题中的高 档题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应横线上. 3 11. (5 分)曲线 y=x 在 P(1,1)处的切线方程为 y=3x﹣2. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题. 分析: 先求出函数 y=x 的导函数,然后求出在 x= 1 处的导数,从而求出切线的斜率,利 用点斜式方程求出切线方程即可. 2 解答: 解:y'=3x y'|x=1=3,切点为(1,1) 3 ∴曲线 y=x 在点(1,1)切线方程为 3x﹣y﹣2=0 故答案为:3x﹣y﹣2=0 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程, 考查运算求解能力, 属于基础 题.
3

12. (5 分)已知集合 A={y|y=x ﹣ x+1,x∈},B={x|{x+m ≥1}若 A?B,则实数 m 的取值范 围是:m≤﹣ .

2

2

考点: 集合的包含关 系判断及应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先把集合 A 与集合 B 化简,由 A?B,根据区间端点值的关系列式求得 m 的范围. 解答: 解:由于 A={ 此时 B={x|x≥﹣m +1},由 A?B,知 解得 故答案为 点评: 本题考查了集合的包含关系的应用, 解答的关键是根据集合的包含关系分析区间端 点值的大小. 13. (5 分)设 a=log23,b=log46,c=log89,则 a,b,c 的大小关系是:a>b>c. 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的运算法则和对数的换底公式比较大小即可. 解答: 解:因为 , 所以 , , ,且 .
2

}={y|

≤y≤2},

即 a>b>c. 故答案为:a>b>c 点评: 本题主要考查对数的基本运算,利用对数函数的单调性是解决本题的关键. 14. (5 分)对于以下说法: (1)命题“已知 x,y∈R”,若 x≠2 或 y≠3,则 “x+y≠5”是真命题; (2)设 f(x)的导函数为 f′(x) ,若 f′(x0)=0,则 x0 是函数 f(x)的极值点; (3)对于函数 f(x) ,g(x) ,f(x)≥g(x)恒成立的一个充分不必要的条件是 f(x)min≥g (x)max; (4)若定义域为 R 的函数 y=f(x) ,满足 f(x)+f(4﹣x)=2,则其图象关于点(2,1) 对称. 其中正确的说法序号是(3) (4) . 考点: 命题的真假判断与应用.

专题: 阅读型;函数的性质及应用;导数的综合应用;简易逻辑. 分析: 原命题与其逆否命题是等价命题,写出命题的逆否命题,即可判断(1) ; 极值点的导数为 0,但导数为 0 的点不一定为极值点.比如 y=x ,在 x=0 的点不是极值点, 即可判断(2) ; 对于函数 f(x) ,g(x)若满足 f(x)min≥g(x)max 恒成立,则 f(x)≥g(x)恒成立,若 f(x)≥g(x)恒成立,不一定有 f(x)min≥g(x)max,比如 f(x)=x+2,g(x)=x+1,即 可判断(3) ; 若 f(x)+f(2a﹣x)=2b,则函数 y=f(x)的图象关于点(a,b)对称,即可判断(4) . 解答: 解:对于(1) ,原命题与其逆否命题是等价命题, 若 x≠2 或 y≠3,则 x+y≠5 的逆否命题是:若 x+y=5,则 x=2 且 y=3 是假命题,故(1)错误; 对于(2) ,极值点的导数为 0,但导数为 0 的点不一定为极值点. 比如 y=x ,在 x=0 的点不是极值点,故(2)错; 对于(3) ,对于函数 f(x) ,g(x)若满足 f(x)min≥g(x)max 恒成立,则 f(x)≥g(x) 恒成立, 若 f(x)≥g(x)恒成立,不一定有 f(x)min≥g(x)max,比如 f(x)=x+2,g(x)=x+1, 故(3)正确; 对于(4) ,若 f(x)+f(2a﹣x)=2b,则函数 y=f(x)的图象关于点(a,b)对称,故(4) 正确. 故答案为: (3) (4) . 点评: 本题考查四种命题的真假及充分必要条件的判断, 函数的导数与极值的关系, 函数 的最值和对称性,属于易错题,和中档题. 15. (5 分)对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d,有同学发现:若 f(x)的导函数图象的对 称轴是直线:x=x0,则函数 f(x)图象的对称中心是点(x0,f(x0) ) .根据这一发现,对 3 2 于函数 g(x)=x ﹣3x +3x+1+asin(x﹣1) (a∈R 且 a 为常数) ,则 g(﹣2012)+g(﹣2010) +g(﹣2008)+g(﹣2006)+…+g+g 的值为 4028. 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 3 2 2 分析: 令 f(x)=x ﹣3x +3x+1,h(x)=asin(x﹣1) ,由 f′(x)=3x ﹣6x+3,f′(x)的 图象的对称轴是 x=1,f(x)的对称中心是(1,2) ,从而 f(﹣2012)+f=4,同理,得 f(﹣ 2010)+f=f(﹣2008)+f=…=f(0)+f(2)=4,h(﹣2012)+h=0,由此能求出 g(﹣2012) +g(﹣2010)+g(﹣2008)+g(﹣2006)+…+g+g 的值. 3 2 解答: 解:令 f(x)=x ﹣3x +3x+1, h(x)=asin(x﹣1) , 由 f′(x)=3x ﹣6x+3, f′(x)的图象的对称轴是 x=1, ∴f(x)的对称中心是(1,2) , ∴点(﹣2012,f(﹣2012) )与点)关于点(1,2)对称, 即 =2,
2 3 2 3 3

∴f(﹣2012)+f=4, 同理,得 f(﹣2010)+f=f(﹣2008)+f=…=f(0)+f(2)=4, ∵h(x)=asin(x﹣1)=0 图象关于点(1,0)对称,

∴h(﹣2012)+h=0, h(﹣2010)+h=h(﹣2008)+h=…=h(0)+h(2)=0, ∴g(﹣2012)+g(﹣2010)+g(﹣2008)+g(﹣2006)+…+g+g= 4028. 故答案为:4028. 点评: 本题考查函数值的求法, 是中档题, 解题时要认真审题, 注意函数性质的合理运用. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=2 ﹣2 (1)求 f(log218+2log 6) ; (2)若 x∈,求函数 f(x)的值域. 考点: 指数函数综合题;对数的运算性质. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)f(log218+2log
2x x+1 2x x+1

+1.

6)=f(﹣1) ,再代入解析式即可得到答案.

(2)函数 f(x)=2 ﹣2 +1. x 令 t=2 ,换元转化为二次函数求解. 解答: 解: (1)∵log218+2log 6=2log 函数 f(x)=2 ﹣2 ∴f(log218+2log
2x x+1

+1﹣2(log

+1)=﹣1,

+1.

6)=f(﹣1)═ ,
2x x+1

(2)函数 f(x)=2 ﹣2 令 t=2 ,则 t
2 x

+1.


2

f(x)=t ﹣2t+1=(t﹣1) 当 t=1 时 f(x)min=0,当 t=4 时,f(x)max=9, 所以函数 f(x)的值域 点评: 本题综合考察了二次函数,对数函数,指数函数的性质. 17. (12 分)已知集合 A={x∈R|0<ax+1≤5},B={x∈R|﹣ <x≤2}. (1)A,B 能否相等?若能,求出实数 a 的值,若不能,试说明理由? (2)若命题 p:x∈A,命题 q:x∈B 且 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 集合的相等;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: (1)集合相等,转化为元素间的相等关系求解 (2)p?q 得 A?B 且 A≠B,转化为集合的关系求解. 解答: 解: (1)若 A=B 显然 a=0 时不满足题意

当 a>0 时



当 a<0 时 故 A=B 时,a=2 (2)p?q 得 A?B 且 A≠B 0<ax+1≤5?﹣1<ax≤4 当 a=0 时,A=R 不满足.

显然 A≠B

当 a>0 时,



解得 a>2

当 a<0 时,



综上 p 是 q 的充分不必要条件,实数 a 的取值范围是 a>2,或 a<﹣8 点评: 本题考查集合间的关系,一般化为元素间的关系求解. 18. (12 分)已知函数 f(x)=x +ax,g(x)=bx +x. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点 C(1,m)处具有公共切线,求实数 m 的值; (2)当 b= ,a=﹣4 时,求函数 F(x)=f(x)+g(x)在区间上的最大值.
2 3

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究曲线 上某 点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)根据曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线, 可知切点处的函数值相等,切点处的斜率相等,故可求 a、b 的值; (2)当 b= ,a=﹣4 时时,则 F(x)=f(x)+g(x)= x +x ﹣3x,求导函数,确定函数 极值,再求出区间上的端点值,比较大小即可. 2 解答: 解: (1)f(x)=x +ax, 则 f'(x)=2x+a,k1=2+a, 3 g(x)=bx +x, 2 则 g'(x)=3bx +1,k2=3b+1, 由(1,c)为公共切点,可得:2+a=3b+1 ① 又 f(1)=a+1,g(1)=1+b, ∴a+1=1+b,即 a=b,代入①式可得:a= ,b= .
3 2

(2)当 b= ,a=﹣4 时,F(x)=f(x)+g(x)=)= x +x ﹣3x, 则 F′(x)=x +2x﹣3=(x+3) (x﹣1) , 令 F'(x)=0,解得:x1=﹣3,x2=1; 当 x∈(﹣∞,﹣3)?F'(x)>0?函数 F(x)单调递增, 当 x∈?F'(x)>0?函数 F(x)单调递增, ∵F(﹣3)=9,F(4)= ,
2

3

2

∴函数 F(x)=f(x)+g(x)在区间上的最大值为 点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性与最值,解题 的关键是正确求出导函数. 19. (12 分)已知函数 f(x)= x ﹣ax﹣lnx(x∈R) . (1)若函数 f(x)在区间. (2)f′(x)=x﹣a﹣ =
2 2

,x>0,

令 t(x)=x ﹣ax﹣1,此抛物线开口向上且 t(0)=﹣1<0 要使函数 f(x)在区间(1,2)上存在极小值 x0, 则函数 f(x)在(1,x0)递减, (x0,2)递增, 所以 ? ,

实数 a 的取值范围为



点评: 本题主要考查导数的应用, 在研究导数的取值情况时, 通常把导数的一部分看成我 们常见的函数处理.属于中档题. 20. (13 分)已知函数 f(x)= x ﹣ ax (x∈R,a>0) . (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)记 g(x)=f′(x) ,若对任意的 x1∈(2,+∞) ,都存在 x2∈(1,+∞)使得 g(x1)?g (x2)=1,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)先求导数,然后解不等式,要注意数形结合,分类讨论; (2)实际上是两个函数 y =g(x)与函数 y= 值域是 y= 值域的子集即可. 值域间的关系的判断,即 y=g(x)的
3 4

解答: 解: (1) ∵ ?

, ?f′(x)<0. ) ,减区间为( ) ; , )和(﹣∞,0) ,增区间为(0, ) . ?g ( x) >0∴ ?g (x) <0,

所以函数 f(x)的增区间为( (2)由题意 g(x)= 所以函数 y=g(x)的减区间为( 又∵ 且

设集合 A={g(x)|x∈(2,+∞)},集合 B={

x∈(1,+∞) ,g(x)≠0},

对任意的 x1∈(2,+∞) ,都存在 x2∈(1,+∞)使得 g(x1)g(x2)= 1?A?B, 当 即0 时,若 时, 不存在 x2 使得 g(x1)g(x2)=1,

不符合题意,舍去. 当 时,即 时,

A=(﹣∞,g(2) )?A?(﹣∞,0) ,因为 g(1)≥0 ∴g(x)在区间(1,+∞)上的取值包含(﹣∞,0) ,则(﹣∞,0)?B,∴A?B 满足题意, 当 ,即 时,g(1)<0 且 g(x)在(1,+∞)上递减,B=( )

A=(﹣∞,g(2) ) ,∴A?B 不满足题意, 综上满足题意的实数 a 的取值范围是 .

点评: 本题能够把问题转化为两个函数值域间的包含关系是解题的关键, 类型为: 对其中 一个自变量的任意的函数值,另一个变量总能存在至少一个与之对应.要注意整理和记忆.

21. (14 分)已知函数 f(x)=

,其中 a∈R.
2

(1)若 a=1 时,记 h(x)=mf(x) ,g(x)=(lnx) +2ex﹣2,存在 x1,x2∈(0,1]使 h (x1)>g(x2)成立,求实数 m 的取值范围; (2)若 f(x)在使 h(x1)>g(x2)成立,等价于 h(x)max>g(x)min,利用导数、函 数单调性可求得两函数的最值; (2)f′(x)= 单调性可判断函数最值情况; 解答: 解: (1)g′(x)=
﹣1

,按照 a=0,a >0,a<0 三种情况进行讨论,根据

+2e,g′(x)=0?x=e﹣1,
﹣1

x∈(0,e ) ,g'(x)<0,g(x)递减;x∈(e ,1) ,g'(x)>0,g(x)递增,

∴g(x)min=g(e )=1,∴h(x)=

﹣1



显然 m>0,则 h(x)在(0,1]上是递增函数,h(x)max=m, ∴m>1, 所以存在 x1,x2∈(0,1]使 h(x1)>g(x2)成立时,实数 m 的取值范围是(1,+∞) ; (2)解:f′(x)= ,

①当 a=0 时,f′(x)=



所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(﹣∞,0)上单调递减,f(x)在. ③当 a<0 时,f(x)与 f'(x)的情况如下: x (0,x1) x1 (x1,+∞) f'(x) ﹣ 0 + f(x) ↘ f(x1) ↗ 所以 f(x)的单调增区间是(﹣a,+∞) ;单调减区间是(0,﹣a) ,f(x)在(0,﹣a)单 调递减,在(﹣a,+∞)单调递增, 所以 f(x)在(0,+∞)上存在最小值 f(﹣a)=﹣1. 又因为 f(x)= =0,

若 f(x)在. 综上,a 的取值范围是(﹣∞,﹣1]∪(0,1]. 点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性、 最值等知识, 考查学生综合运用所学知识分 析问题解决问题的能力,综合性强,难度大,能力要求较高.


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