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浙江省东阳市南马高级中学2013届高三上学期第三次月考数学试题

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一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
2 1.全集 U ? x ? Z ? 1 ? x ? 3 , A ? x ? Z ? 1 ? x ? 3 , B ? x ? Z x ? x ? 2 ? 0 ,

?

?

?

?

?

?

则 (CU A) ? B ? A. ??1? B. ??1, 2? C. x ? 1 ? x ? 2

?

?

D. x ? 1 ? x ? 2

?

?

2.函数 y ? 3 sin x ? cos x 的最小值是 A. ? 3 B.-2 C. ? ( 3 ? 1) D.-1

3.已知 f ( x ) ? x 3 ? a sin x ? b 3 x ? 9(a, b ? R) ,且 f ( ?2013) ? 7 ,则 f (2013) ? A.11 B.12
2

C.13
2

D.14

4.已知 “命题 p : ( x ? m) ? 3( x ? m) ”是“命题 q : x ? 3x ? 4 ? 0 ”成立的必要不充分 条 件,则实数 m 的取值范围为 A. m ? 1或m ? ?7 B. m ? 1或m ? ?7 C. ?7 ? m ? 1 D. ?7 ? m ? 1

5.设直线 m、n 和平面 ?、? ,下列四个命题中,正确的是 A.若 m // ? , n // ? , 则m // n C.若 ? ? ? , m ? ? , 则m ? ? 6.函数 y=sin (2x+ A.向左平移 B.若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则? // ? D.若 ? ? ? , m ? ? , m ? ? , 则m //?

π )的图象可由函数 y=cos 2x 的图象 4 π 个单位长度而得到 8 π D.向右平移 个单位长度而得到 4
B.向右平移
D

π 个单位长度而得到 8 π C.向左平移 个单位长度而得到 4

7.如图,在四边形 ABCD 中,AB⊥BC,AD⊥DC.若| AB |=a, | AD |=b,则 AC ? BD = A.a2-b2 C.a2+b2
x

C

B.b2-a2 D.ab

A (第 7 题图)

B

8.已知函数 f ( x) ? 2 ? log 1 x ,且实数 a > b > c >0 满足 f (a ) ? f (b) ? f (c) ? 0 ,
2

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http://www.shijuan.cn 若实数 x 0 是函数 y = f (x ) 的一个零点,那么下列不等式中不可能成立的是 ... A. x 0 ? a B. x 0 ? a C. x 0 ? b D. x 0 ? c 9.设 S n 是公差为 d (d≠0)的无穷等差数列{a n}的前 n 项和,则下列命题错误的是 .. A.若 d<0,则数列{S n}有最大项 B.若数列{S n}有最大项,则 d<0 C.若数列{S n}是递增数列,则对任意的 n ? N*,均有 S n>0 D.若对任意的 n ? N*,均有 S n>0,则数列{S n}是递增数列. 10.如图,函数 y=f (x)的图象为折线 ABC,设 f 1 (x)=f (x), f n+1 (x)=f [f n(x)],n∈N*,则函数 y=f 4 (x)的图象为
y 1 y 1 1 O -1 y 1 -1 O -1 1 x x A -1 O -1 (第 10 题图) 1 O -1 y 1 -1 O -1 1 x x C y 1 B 1 x

A.

-1

B. -1

C.

D.

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)
11.某四棱柱的三视图(单位:cm)如图所示,则该 四棱柱的体积为 cm3。 12.设公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn。 若 a22+a32=a42+a52,则 S6=
2



13.设直线 x ? t 与函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ln x 的 图像分别交于点 M , N ,则当 MN 达到最小值时

t 的值为



? x ? y ? 0, ? 14.当实数 x,y 满足不等式组 ? x ? 0, (m 为常数) ?x ? y ? m ? 0 ?
时,2x+y 的最大值为 4,则 m= 。

15.设 O 为 ?ABC 的外心,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,则 ?ABC 的内角 C 的值为
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http://www.shijuan.cn 。 16.已知函数 f (x)= 取值范围是

x 2 ? ax ? 7 ? a ,a∈R.若对于任意的 x∈N*,f (x)≥4 恒成立,则 a 的 x ?1 。

? 1 ,x ?2 ? 17.定义在 R 上的函数 f ( x ) ? ?| x ? 2 | 若关于 x 的方程 f 2 ( x ) ? af ( x ) ? b ? 3 有三个不 ?1 ,x ?2 ?
2 2 2 同的实数解 x 1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x3 ?



三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分)
18. (本题满分 14 分) 已知函数 f (x)=3 sin2 ax+ 3 sin ax cos ax+2 cos2 ax 的周期为 π,其中 a>0。 (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)当 x ? [?

, ] 上时求 f (x)的单调递增区间及值域。 12 2

? ?

19. (本题满分 14 分) 在△ABC 中, 内角 A, C 的对边分别为 a, c, B, b, 已知 2a cos A=b cos C+c cos B。 (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 cos B- 3 sin C 的取值范围。

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20. (本小题满分 15 分) 如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直。 AB ∥ CD , AB ? BC , AB ? 2CD ? 2 BC , EA ? EB 。 (1)求证: AB ? DE ; (2)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值; (3)线段 EA 上是否存在点 F ,使 EC // 平面 FBD ?若存在,求出 说明理由。

EF ;若不存在, EA
E

B

A

C D 21. (本题满分 14 分) 已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-a,n∈N*。设公差不为零的等差数列{bn}满足:
b1=a1+2,且 b2+5,b4+5,b8+5 成等比。 (Ⅰ)求 a 及 bn; (Ⅱ)设数列{ log an}的前 n 项和为 Tn。求使 Tn>bn 的最小正整数 n 的值。
2

22. (本题满分 15 分) 已知函数 f (x)=x3+

3 (1-a)x2-3ax+1,a>0。 2

(Ⅰ)证明:对于正数 a,存在正数 p,使得当 x∈[0,p]时,有-1≤f (x)≤1; (Ⅱ)设(Ⅰ)中的 p 的最大值为 g(a),求 g(a)的最大值。

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2012 年高三数学第三次月考答题卷
一、选择题
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题
11. 14. 17. 12. 15. 13. 16.

三、计算题
18.

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19.

E

20.

B C D

A

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21.

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22.

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数学答案

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(Ⅰ 由题意得 ) f (x)=

3 3 (1-cos 2ax)+ sin 2ax+(1+cos 2ax) 2 2 3 1 5 = sin 2ax- cos 2ax+ 2 2 2 5 π =sin (2ax- )+ . 2 6
因 为 f (x) 周期为 π,a>0,所 a=1.

的 以

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19.(Ⅰ 由余弦定理得 )

a2 ? b2 ? c2 a2 ? c2 ? b2 +c ? =a, 2ab 2ac 1 π 所以 cos A= .又 A∈(0,π),故 A= . ………… 7 分 2 3 2π (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 C= -B,故 3 3 1 2π π cos B- 3 sin C=cos B- 3 sin ( -B)=- sin B- cos B=-sin (B+ ). 2 2 3 6 2π π π 5π 因为 0<B< ,所以 <B+ < , 3 6 6 6 1 π 所以-1≤-sin(B+ )<- . 2 6 1 所以 cosB- 3 sinC 的取值范围是[-1,- ). 2
2a cos A=b ?

20.

E

B C D

A

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22.(Ⅰ 由于 f ′(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x+1)(x-a),且 a>0, ) 故 f (x)在[0,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增. 又 f (0)=1, f (a)=-

1 3 3 2 1 a - a +1= (1-a)(a+2) 2-1. 2 2 2

当 f (a)≥-1 时,取 p=a. 此时,当 x∈ [0,p]时有-1≤f (x)≤1 成立. 当 f (a)<-1 时,由于 f (0)+1=2>0,f (a)+1<0, 故存在 p∈ (0,a)使得 f (p)+1=0. 此时,当 x∈ [0,p]时有-1≤f (x)≤1 成立. 综上,对于正数 a,存在正数 p,使得当 x∈ [0,p]时,有-1≤f (x)≤1. ………… 7 分

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