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2015年全国卷1文科高考真题数学卷word版(附答案)_图文

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 1 卷)文

一、选择题:每小题 5 分,共 60 分

1、已知集合 A ?{x x ? 3n ? 2, n? N}, B ? {6,8,10,12,14},则集合 A B 中的元素个数为

(A) 5 (B)4

(C)3

(D)2

2、已知点 A(0,1), B(3, 2) ,向量 AC ? (?4, ?3) ,则向量 BC ?

(A) (?7, ?4)

(B) (7, 4)

(C) (?1, 4)

3、已知复数 z 满足 (z ?1)i ?1? i ,则 z ? ( )

(D) (1, 4)

(A) ?2 ? i

(B) ?2 ? i

(C) 2 ? i

(D) 2 ? i

4、如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从1, 2,3, 4,5 中

任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( )

(A) 3 10

(B) 1 5

(C) 1 10

(D) 1 20

5、已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 1 ,E 的右焦点与抛物线 C : y2 ? 8x 的焦点重合, A, B 是 2

C 的准线与 E 的两个交点,则 AB ?

(A) 3

(B) 6

(C) 9

(D)12

6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:

“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思

为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆

底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多

少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放

的米约有( )

(A)14 斛 (B) 22 斛 (C) 36 斛 (D) 66 斛

7、已知 {an} 是公差为 1 的等差数列, Sn 为 {an} 的前 n 项和,若

S8 ? 4S4 ,则 a10 ? ( )

(A) 17 2

(B) 19 2

(C)10

(D)12

8、函数 f (x) ? cos(?x ??) 的部分图像如图所示,则 f (x) 的单调递

减区间为( )

(A) (k? ? 1 , k? ? 3), k ? Z

4

4

(B) (2k? ? 1 , 2k? ? 3), k ? Z

4

4

(C) (k ? 1 , k ? 3), k ? Z 44

(D) (2k ? 1 , 2k ? 3), k ? Z 44

9、执行右面的程序框图,如果输入的 t ? 0.01,则输出的 n ? ( )

(A) 5

(B) 6

(C)7

(D)8

10、已知函数

f

(x)

?

?2x?1 ?

?

2,

x

?1



?? log2 (x ?1), x ? 1

且 f (a) ? ?3,则 f (6 ? a) ?

(A) ? 7 4
(B) ? 5 4
(C) ? 3 4
(D) ? 1 4

11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图
和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16 ? 20? ,则 r ? ( )
(A)1 (B) 2 (C) 4 (D) 8

12、设函数 y ? f (x) 的图像与 y ? 2x?a 的图像关于直线 y ? ?x 对称,且

f (?2) ? f (?4) ?1,则 a ? ( )

(A) ?1

(B)1

(C) 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分

(D) 4

13、数列?an? 中 a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn 为?an? 的前 n 项和,若 Sn ? 126 ,则 n ?

.

? ? 14.已知函数 f ? x? ? ax3 ? x ?1 的图像在点 1, f ?1? 的处的切线过点 ?2, 7? ,则 a ?

.

? x? y?2?0

15.



x,y

满足约束条件

? ?

x

?

2

y

?1

?

0

,则 z=3x+y 的最大值为



??2x ? y ? 2 ? 0

? ? 16.已知 F 是双曲线 C : x2 ? y2 ? 1 的右焦点,P 是 C 左支上一点,A 0, 6 6 ,当 ?APF 周长最小时, 8

该三角形的面积为



三、解答题

17. (本小题满分 12 分)已知 a,b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B,C 的对边, sin2 B ? 2sin Asin C .

(I)若 a ? b ,求 cos B;

(II)若 B ? 90 ,且 a ? 2, 求 ?ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分)如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点, BE ? 平面ABCD ,
(I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (II)若 ?ABC ? 120 , AE ? EC, 三棱锥 E ? ACD 的体积为 6 ,求该三棱锥的侧面积.
3
19. (本小题满分 12 分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千
元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的宣传费 xi 和年销售量
yi ?i ?1, 2, ,8? 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

N 两点. (I)求 k 的取值范围;

(II)若 OM ?ON ? 12 ,其中 O 为坐标原点,求 MN .

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ? x? ? e2x ? a ln x .

(I)讨论 f ? x? 的导函数 f ?? x? 的零点的个数;

(II)证明:当 a ? 0 时 f ? x? ? 2a ? a ln 2 .
a

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ?1?2 ? ? y ? 2?2 ? 1,以坐标原点为极点,x 轴正半

轴为极轴建立极坐标系.

(I)求 C1, C2 的极坐标方程.

(II)若直线 C3

的极坐标方程为?

?

π 4

??

?R?

,设 C2 , C3 的交点为 M ,

N

,求 ?C2MN

的面积.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知函数 f ? x? ? x ?1 ? 2 x ? a ,a ? 0 .

(I)当 a ?1 时求不等式 f ? x? ?1 的解集;

(II)若 f ? x? 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 1 卷)文 答案

一、 选择题 (1)D (2)A (7)B (8)D

(3)C (9)C

(4)C (5)B (6)B (10)A (11)B (12)C

(I)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x ,哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回
归方程类型(给出判断即可,不必说明理由); (II)根据(I)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程;
(III)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z ? 0.2 y ? x ,根据(II)的结果回答下列问题: (i)当年宣传费 x =49 时,年销售量及年利润的预报值时多少? (ii)当年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大?
20. (本小题满分 12 分)已知过点 A?1, 0?且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:? x ? 2?2 ? ? y ? 3?2 ?1交于 M,

二、 填空题 (13)6 (14)1

(15)4

(16)12 6

三、 解答题

17、解:

(I)由题设及正弦定理可得 b2 =2ac.



a=b,可得

cosB=

2
a

?

c2

? b2

=

1

2ac 4

……6 分

(II)由(I)知 b2 =2ac.

因为 B= 90o ,由勾股定理得 a2 ? c2 =b2 .

故 a2 ? c2 =2ac ,的 c=a= 2 .
所以△ABC 的面积为 1. 18、解:

……12 分

(I)因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD.

因为 BE⊥平面 ABCD,所以 AC⊥BE,故 AC⊥平面 BED.

又 AC ? 平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 BED.

……5 分

(II)设 AB= x ,在菱形 ABCD 中,又∠ABC=120o ,可得

AG=GC= 3 x ,GB=GD= x .

2

2

因为 AE⊥EC,所以在 Rt△AEC 中,可的 EG= 3 x . 2

由 BE⊥平面 ABCD,知△EBG 为直角三角形,可得 BE= 2 x . 2

由已知得,三棱锥

E-ACD

的体积VE? ACD

=

1 3

×

1 2

AC·GD·BE=

6 24

x3

?

6
.
3

故 x =2

……9 分

从而可得 AE=EC=ED= 6 .

所以△EAC 的面积为 3,△EAD 的面积与 △ECD 的面积均为 5 .

故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 5 .
19、解:

……12 分

(I)由散点图可以判断,y=c+d x 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程式类型.

(II)令 w ? x ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程式.由于

8

? ? d=

i ?1

(wi ? w)( yi ?
8
2
(wi ? w)

y)

? 108.8 1.6

?

68 ,

i ?1

c ? y ? d w ? 563 ? 68? 6.8 ? 100.6 ,

所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y=100.6 ? 68w ,因此 y 关于 x 的回归方程为

y ? 100.6 ? 68 x

(Ⅲ)(i)由(II)知,当 x =49 时,年销售量 y 的预报值

y ? 100.6 ? 68 49=576.6 ,

年利润 z 的预报值
z=576.6?0.2 ? 49 ? 66.32
(ii)根据(II)的结果知,年利润 z 的预报值

……9 分

z=0.2(100.6+68 x )-x=-x ?13.6 x ? 20.12 .

所以当 x ? 13.6 =6.8 ,即 x =46.24 时, z 取得最大值. 2

故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大.

……12 分

20、解:

(I)由题设,可知直线 l 的方程为 y ? kx ?1.

2k ? 3 ?1

因为 l 与 C 交于两点,所以

?1 .

1? k2

解得 4 ? 7?k? 4?

7
.

3

3

所以 k 的取值范围为 ( 4 ? 7 , 4 ? 7 ) .

3

3

(II)设 M ? x1, y1 ?, N(x2, y2) .

将 y ? kx ?1代入方程 (x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1,整理得

……5 分

(1? k 2 )x2 ? 4(1? k)x ? 7 ? 0 .

所以

x1

?

x2

?

4(1? k) 1? k2

,

x1x2

?

7 1? k2

.

OM ?ON ? c1x2 ? y1y2

? ? ? 1? k2 x1x2 ? k ? x1 ? x2 ? ?1

4k ?1? k ?
? 1? k2 ?8.

l 由题设可得 ?

4k ?1? k ?
1? k2

? 8 =12,解得 k=1,所以

的方程是 y=x+1.

l 故圆心 C 在 上,所以 MN ? 2 .

……12 分

21、解:
(I) f ? x? 的定义域为 ?0, ???, f ?? x? ? 2e2x ? a (x?0) .
x
当 a ≤0 时, f ?? x??0,f ?? x? 没有零点;

当 a?0 时,因为 e2x 单调递增, ? a 单调递减,所以 f ?? x? 在 ?0, ??? 单调递增,又 f ??a??0 ,
x

当 b 满足 0<b< a 且 b< 1 时, f ?(b)?0 ,故当 a <0 时 f ?? x? 存在唯一零点.

4

4

……6 分

(II)由(I),可设 f ?? x? 在 ?0, ??? 的唯一零点为 x0 ,当 x ??0,x0 ? 时, f ?? x? <0;

当 x ?? x0,? ?? 时, f ?? x? >0.

故 f ? x? 在 ?0,? ?? 单调递减,在 ? x0,? ?? 单调递增,所以 x ? x0 时, f ? x? 取得最小值,最小值为

f ? x0 ? .

由于 2e2x0

?

a x0

? 0 ,所以

f

? x0 ? ?

a 2 x0

? 2ax0

? a1n 2 a

? 2a ? a1n 2 . a

故当 a?0 时, f ? x? ? 2a ? a1n 2 .
a

……12 分

(II)设 CE=1,AE= x ,由已知得 AB= 2 3 ,BE= 12 ? x2 .由射影定理可得, AE 2 ? CE ? BE ,

所以 x2 ? 12 ? x2 ,即 x4 ? x2 ?12 ? 0 .可得 x ? 3 ,所以∠ACB= 60o .

……10 分

23、解:

(I)因为 x ? ? cos? , y ? ? sin? ,所以 C1 的极坐标方程为 ? cos? ? ?2 ,

C2 的极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin? ? 4 ? 0 .

……5 分

(II)将? ? ? 代入 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin? ? 4 ? 0 ,得 ? 2 ? 3 2? ? 4 ? 0 ,解得 4

?1 ? 2 2, ?2 ? 2 .故 ?1 ? ?2 ? 2 ,即 MN ? 2

由于 C2

的半径为

1,所以

?C2MN

的面积为

1 2

.

24、解:

……10 分

(I)当 a ?1时, f ? x? ?1化为 x ?1 ? 2 x ?1 ?1>0 .

当 x ? ?1时,不等式化为 x ? 4>0 ,无解;

当 ?1<x<1时,不等式化为 3x ? 2>0 ,解得 2 <x<1; 3
当 x ?1,不等式化为- x +2>0,解得 1≤ x <2.

所以

f

?

x?

?

1的解集为

??? x︱23

<x<2?? ?

.

……5 分

?x ?12a, x<?1
(II)由题设可得, f ? x? ? ??3x ?1? 2a, ?1 ? x ? a,
???x ?1? 2a, x<a.

所以函数 f ? x? 的图像与 x 轴围成的三角形的三个丁点分别为

A

? ??

2a ? 3

1

,

0

? ??

,

B

?

2a

?

1,

0

?

,

C

?

a,

a

?

1?

,△ABC

的面积为

2 3

?

a

?

1?2

.

由题设得 2 ?a ?1?2 >6,故 a >2.
3
所以 a 的取值范围为 ?2,? ?? .

……10 分


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