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2015年全国卷1文科高考真题数学卷word版(附答案)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 1 卷)文
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分 1、已知集合 A ? {x x ? 3n ? 2, n ? N}, B ? {6,8,10,12,14},则集合 A (A) 5 (B)4 (C)3 (D)2 (C) (?1, 4) (D) (1, 4) 2、已知点 A(0,1), B(3, 2) ,向量 AC ? (?4, ?3) ,则向量 BC ? (A) (?7, ?4) (B) (7, 4) 3、已知复数 z 满足 ( z ? 1)i ? 1 ? i ,则 z ? ( )

10、已知函数 f ( x ) ? ?

? 2 x ?1 ? 2, x ? 1

B 中的元素个数为

(A) ?2 ? i (B) ?2 ? i (C) 2 ? i (D) 2 ? i 4、如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从1, 2,3, 4,5 中 任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( ) (A)

3 10

(B)

1 5

(C)

1 10

(D)

1 20

? ? log 2 ( x ? 1), x ? 1 且 f (a) ? ?3 ,则 f (6 ? a) ? 7 (A) ? 4 5 (B) ? 4 3 (C) ? 4 1 (D) ? 4



5、已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 C 的准线与 E 的两个交点,则 AB ?

1 2 ,E 的右焦点与抛物线 C : y ? 8x 的焦点重合, A, B 是 2

(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12 6、 《九章算术》 是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问题: “今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问 ”积及为米几何?”其意思 为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆 底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多 少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放 的米约有( ) (A) 14 斛 (B) 22 斛 (C) 36 斛 (D) 66 斛 7 、已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和,若

11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图 和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为 16 ? 20? ,则 r ? ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8

S8 ? 4S4 ,则 a10 ? ( ) 17 19 (A) (B) (C) 10 (D) 12 2 2 8、函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x ) 的单调递
减区间为( )

12、设函数 y ? f ( x) 的图像与 y ? 2 的图像关于直线 y ? ? x 对称,且 f (?2) ? f (?4) ? 1 ,则 a ? ( ) (A) ?1 (B) 1 (C) 2 (D) 4 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分
3

x?a

13、数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,若 Sn ? 126 ,则 n ? 14.已知函数 f ? x ? ? ax ? x ?1 的图像在点 1, f ?1? 的处的切线过点 ? 2, 7 ? ,则

.

?

?

a?

.

1 3 (A) ( k? ? , k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (B) (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (C) (k ? , k ? ), k ? Z 4 4 1 3 (D) (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4
9、执行右面的程序框图,如果输入的 t ? 0.01 ,则输出的 n ? ( ) (A) 5 (B) 6 (C)7 (D)8

? x? y?2?0 ? 15. 若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z=3x+y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
2 16.已知 F 是双曲线 C : x ?



y2 ? 1 的右焦点, P 是 C 左支上一点,A 0, 6 6 8

?

?

, 当 ?APF 周长最小时,

该三角形的面积为 . 三、解答题 2 17. (本小题满分 12 分)已知 a, b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的对边, sin B ? 2sin A sin C . (I)若 a ? b ,求 cos B; (II)若 B ? 90 ,且 a ? 2, 求 ?ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分)如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点, BE ? 平面ABCD ,

N 两点. (I)求 k 的取值范围; (II)若 OM ? ON ? 12 ,其中 O 为坐标原点,求 MN . 21. (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? e
2x

? a ln x .

(I)讨论 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 的零点的个数; (II)证明:当 a ? 0 时 f ? x ? ? 2a ? a ln

2 . a

(I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (II)若 ?ABC ? 120 , AE ? EC , 三棱锥 E ? ACD 的体积为

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

6 ,求该三棱锥的侧面积. 3

在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极点,x 轴正半
2 2

19. (本小题满分 12 分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千 元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的宣传费 xi 和年销售量

轴为极轴建立极坐标系. (I)求 C1 , C2 的极坐标方程. (II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

yi ?i ? 1, 2,

,8? 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

π ? ? ? R ? ,设 C2 , C3 的交点为 M , N ,求 ?C2 MN 的面积. 4

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ? a , a ? 0 . (I)当 a ? 1 时求不等式 f ? x ? ? 1 的解集; (II)若 f ? x ? 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 1 卷)文 答案
一、 选择题 (1)D (2)A (7)B (8)D 二、 (I)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x ,哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回 归方程类型(给出判断即可,不必说明理由); (II)根据(I)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (III)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z ? 0.2 y ? x ,根据(II)的结果回答下列问题: (i)当年宣传费 x =49 时,年销售量及年利润的预报值时多少? (ii)当年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 填空题 (14)1 (15)4 (16) 12 6 (3)C (9)C (4)C (5)B (6)B (10)A (11)B (12)C

(13)6 三、 解答题 17、解:

(I)由题设及正弦定理可得 b =2ac. 又 a=b,可得 cosB=

2

a ? c2 ? b2 1 = 4 2ac
2

2

……6 分

(II)由(I)知 b =2ac. 因为 B= 90 ,由勾股定理得 a ? c =b .
o 2 2 2

20. (本小题满分 12 分)已知过点 A ?1,0 ? 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C: ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 交于 M,
2 2

故 a ? c =2ac ,的 c=a= 2 . 所以△ABC 的面积为 1. ……12 分 18、解: (I)因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD.
2 2

因为 BE⊥平面 ABCD,所以 AC⊥BE,故 AC⊥平面 BED. 又 AC ? 平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 BED. (II)设 AB= x ,在菱形 ABCD 中,又∠ABC= 120 AG=GC=
o

……5 分 ,可得

x 3 x ,GB=GD= . 2 2

4? 7 4? 7 , ). 3 3 (II)设 M ? x1 , y1 ? , N ( x2 , y2 ) .
所以 k 的取值范围为 ( 将 y ? kx ? 1 代入方程 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,整理得

……5 分

3 因为 AE⊥EC,所以在 Rt△AEC 中,可的 EG= x. 2
由 BE⊥平面 ABCD,知△EBG 为直角三角形,可得 BE=

2 x. 2

(1 ? k 2 ) x2 ? 4(1 ? k ) x ? 7 ? 0 . 4(1 ? k ) 7 , x1 x2 ? 所以 x1 ? x2 ? . 2 1? k 1? k 2 OM ? ON ? c1x2 ? y1 y2

1 1 6 3 6 由已知得,三棱锥 E-ACD 的体积 VE ? ACD = × AC·GD·BE= . x ? 3 2 24 3 故 x =2 ……9 分 从而可得 AE=EC=ED= 6 .
所以△EAC 的面积为 3,△EAD 的面积与 △ECD 的面积均为 5 . 故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 5 . 19、解: (I)由散点图可以判断,y=c+d (II)令 w ?
8 i ?1 i

? ?1 ? k 2 ? x1 x2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 1

4k ?1 ? k ? ?8. 1? k 2 4k ?1 ? k ? ? 8 =12,解得 k=1,所以 l 的方程是 y=x+1. 由题设可得 ? 1? k 2 ?
故圆心 C 在 上,所以 MN ? 2 . 21、解:
2x (I) f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? , f ? ? x ? ? 2e ?

……12 分

l

……12 分

x 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程式类型.

x ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程式.由于
i

d=

? (w ? w)( y ? y) ? (w ? w)
i ?1 i 8
2

108.8 ? ? 68 , 1.6

当 a ≤0 时, f ? ? x ??0,f ? ? x ? 没有零点; 当 a ? 0 时,因为 e 单调递增, ?
2x

a ( x? 0) . x

a 单调递减,所以 f ? ? x ? 在 ? 0, ??? 单调递增,又 f ? ? a ??0 , x

c ? y ? d w ? 563 ? 68? 6.8 ? 100.6 , 所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y=100.6 ? 68w ,因此 y 关于 x 的回归方程为 y ? 100.6 ? 68 x
(Ⅲ) (i)由(II)知,当 x =49 时,年销售量 y 的预报值

当 b 满足 0<b<

a 1 且 b< 时, f ?(b)?0 ,故当 a <0 时 f ? ? x ? 存在唯一零点. 4 4
……6 分

(II)由(I) ,可设 f ? ? x ? 在 ? 0, ??? 的唯一零点为 x0 ,当 x ? ? 0,x0 ? 时, f ? ? x ? <0; 当 x ? ? x0, ? ?? 时, f ? ? x ? >0. 故 f ? x ? 在 ? 0, ? ?? 单调递减,在 ? x0, ? ? ? 单调递增,所以 x ? x0 时, f ? x ? 取得最小值,最小值为

y ? 100.6 ? 68 49=576.6 ,
年利润 z 的预报值

z=576.6 ? 0.2 ? 49 ? 66.32

……9 分

f ? x0 ? .
a a 2 2 ? 0 ,所以 f ? x0 ? ? ? 2ax0 ? a1n ? 2a ? a1n . x0 2 x0 a a 2 故当 a ? 0 时, f ? x ? ? 2a ? a1n . ……12 分 a
由于 2e
2 x0

(ii)根据(II)的结果知,年利润 z 的预报值

z=0.2(100.6+68 x )-x=-x ?13.6 x ? 20.12 . 13.6 =6.8 ,即 x =46.24 时, z 取得最大值. 所以当 x ? 2
故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大. 20、解: (I)由题设,可知直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 . 因为 l 与 C 交于两点,所以 解得 ……12 分

?

(II)设 CE=1,AE= x ,由已知得 AB= 2 3 ,BE= 12 ? x2 .由射影定理可得, AE ? CE ? BE , 所以 x2 ? 12 ? x2 ,即 x ? x ? 12 ? 0 .可得 x ? 3 ,所以∠ACB= 60 .
4 2 o

2

2k ? 3 ? 1 1? k 2

?1 .

……10 分 23、解: (I)因为 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,所以 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?2 ,

4? 7 4 ? ?k ? 3 3

7
.

C2 的极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 .

……5 分

(II)将 ? ?

?

4 ?1 ? 2 2, ?2 ? 2 .故 ?1 ? ?2 ? 2 ,即 MN ? 2 1 . 2

代入 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 ,得 ? 2 ? 3 2? ? 4 ? 0 ,解得

由于 C2 的半径为 1,所以 ?C2 MN 的面积为 24、解:

……10 分

(I)当 a ? 1 时, f ? x ? ? 1 化为 x ? 1 ? 2 x ?1 ?1 >0 . 当 x ? ?1 时,不等式化为 x ? 4>0 ,无解;

1 时,不等式化为 3x ? 2>0 ,解得 <x<1 ; 当 ?1<x<
当 x ? 1 ,不等式化为- x +2>0,解得 1≤ x <2. 所以 f ? x ? ? 1 的解集为 ? x ︱ <x<2? .

2 3

? 2 ? ? 3 ? ? x ? 12a, x< ? 1 ? (II)由题设可得, f ? x ? ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a, ?? x ? 1 ? 2a, x<a. ?

……5 分

所以函数 f ? x ? 的图像与 x 轴围成的三角形的三个丁点分别为

2 2 ? 2a ? 1 ? A? ,0 ? , B ? 2a ? 1,0 ? , C ? a, a ? 1? ,△ABC 的面积为 ? a ? 1? . 3 ? 3 ? 2 2 ? a ? 1? >6,故 a >2. 3 所以 a 的取值范围为 ? 2, ? ?? .
由题设得

……10 分


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