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一次函数题型总结---已修改


一次函数题型总结
函数定义
1、判断下列变化过程存在函数关系的是( A. x, y 是变量, y ? ?2 x ) B.人的身高与年龄 C.三角形的底边长与面积

D.速度一定的汽车所行驶的路程与时间 2、已知函数 y ? A.1

x ,当 x ? a 时, y = 1,则 a 的值为( 2x ? 1 1 B.-1 C.3 D. 2
) 。 y x O x y O y

)

3、下列各曲线中不能表示 y 是 x 的函数是(

y O x

O

x

正比例函数
1、下列各函数中,y 与 x 成正比例函数关系的是(其中 k 为常数)( A、y=3x-2 B、y=(k+1)x C、y=(|k|+1)x D、y= x
2

)

2、如果 y=kx+b,当 3、一次函数 y=kx+k+1,当 k=

时,y 叫做 x 的正比例函数 时,y 叫做 x 正比例函数

一次函数的定义
1、下列函数关系中,是一次函数的个数是( 1 x A、1 ①y= ②y= x 3 B、2 ③y=2 -x C 、3
-9
10

) 1 ⑤ y= +1 3x 。

④y=x -2 D、4

2

2、若函数 y=(3-m)xm

是正比例函数,则 m=

3、当 m、n 为何值时,函数 y=(5m-3)x2-n+(m+n) (1)是一次函数 (2)是正比例函数

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一次函数与坐标系
1.一次函数 y=-2x+4 的图象经过第 象与 x 轴交点坐标是 象限,y 的值随 x 的值增大而 . . (增大或减少)图

,与 y 轴的交点坐标是

2. 已知 y+4 与 x 成正比例,且当 x=2 时,y=1,则当 x=-3 时,y= 3.已知 k>0,b>0,则直线 y=kx+b 不经过第 A. ? 1 B. 1 象限.

4、若函数 y=-x+m 与 y=4x-1 的图象交于 y 轴上一点,则 m 的值是(

1 C. ? 4

1 D. 4

)

5.如图,表示一次函数 y=mx+n 与正比例函数 y=mnx(m,n 是常数,且 mn≠0)图像的是(

).

6、 已知一次函数 y ? (a ? 1) x ? b 的图象如图 1 所示, 那么 a 的取值范围是 ( A A. a ? 1 B. a ? 1 C. a ? 0 D. a ? 0 7.一次函数 y=kx+(k-3)的函数图象不可能是( )



y

O
图1

x

待定系数法求一次函数解析式
1.已知直线经过点(1,2)和点(3,0) ,求这条直线的解析式. 2.如图,一次函数 y=kx+b 的图象经过 A、B 两点,与 x 轴相交于 C 点.求: (1)直线 AC 的函数解析式; (2)设点(a,-2)在这个函数图象上,求 a 的值;
y 5 4 3 2 1 C B O 1 2 3 4 5 6 x A (2,4)

3、 如图,两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上,请根据图中给的数据信息,解答下列问题: (1)求整齐摆放在桌面上饭碗的高度 y(cm)与饭碗数 x(个)之间的一次函数解析式; (2)把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时,这摞饭碗的高度是多少?

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4、东从 A 地出发以某一速度向 B 地走去,同时小明从 B 地出发以另一速度向 A 地而行,如图所示,图中 的线段 y1 、 y 2 分别表示小东、小明离 B 地的距离(千米)与所用时间(小时)的关系。 ⑴试用文字说明:交点 P 所表示的实际意义。 ⑵试求出 A、B 两地之间的距离。 y(千米) y1 7.5 P y2

O

1

2 2.5 3

4 x(小时)

函数图像的平移
1.把直线 y ?

2 x ? 1 向上平移 3 个单位所得到的直线的函数解析式为 3



2、将直线 y=2x 向右平移 2 个单位所得的直线的解析式是( ) 。C A、y=2x+2 B、y=2x-2 C、y=2(x-2) D、y=2(x+2) 3、将函数 y=-6x 的图象 l1 向上平移 5 个单位得直线 l 2 ,则直线 l 2 与坐标轴围成的三角形面积为 .

4 、 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 将 直 线 y ? ?2 x ? 1 向 下 平 移 4 个 单 位 长 度 后 。 所 得 直 线 的 解 析 式 为 .

函数的增加性
1、已知点 A(x1,y1)和点 B(x2,y2)在同一条直线 y=kx+b 上,且 k<0.若 x1>x2,则 y1 与 y2 的关系是( ) A.y1>y2 B.y1=y2 C.y1<y2 D.y1 与 y2 的大小不确定 2、已知一次函数 y ? kx ? b 的图象交 y 轴于正半轴,且 y 随 x 的增大而减小,请写出符合上述条件的一个 .. 解析式 : . ... 3、写出一个 y 随 x 的增大而增大的一次函数的解析式: 4、在一次函数 y ? 2 x ? 3 中, y 随 x 的增大而 y 的最小值为 .

. (填“增大”或“减小” ) ,当

0 ? x ? 5 时,

函数图像与坐标轴围成的三角形的面积
1、函数 y=-5x+2 与 x 轴的交点是 ,与 y 轴的交点是 ,与两坐标轴围成的三角形面积 是 。 2.已知直线 y=x+6 与 x 轴、y 轴围成一个三角形,则这个三角形面积为 ___ 。 3、已知:在直角坐标系中,一次函数 y= ?

3 x ? 2 的图象分别与 x 轴、y 轴相交于 A、B. 3
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若以 AB 为一边的等腰△ABC 的底角为 30。点 C 在 x 轴上,求点 C 的坐标.

4、如图,直线 y=2x+3 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于点 B. 求 A,B 两点的坐标; 过 B 点作直线 BP 与 x 轴相交于 P,且使 OP=2OA, 求 Δ ABP 的面积.

5.在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形, 叫做此一次函数的坐标三角形.例如,图中的一次函数的图象与 x,y 轴分别交于点 A,B,则△OAB 为此函数的坐标三角形.

3 x+3 的坐标三角形的三条边长; 4 3 (2)若函数 y= ? x+b(b 为常数)的坐标三角形周长为 16, 4
(1)求函数 y= ? y B O
第 21 题图

求此三角形面积.

A

x

6. 在平面直角坐标系中,已知 A(8,0) 、 B(0,6) 、 C (0,?2) ,连接 AB,过 C 作直线 l 与 AB 交于 P,与 OA 交于 E,且 OE : OC ? 4 : 5 , 求△PAC 的面积。

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7. 我国现行个人工资收入所得税征收办法规定:月收入低于 800 元的部分不收税,月收入超过 800 元, 但低于 1300 元的部分征收 5%的所得税,??如某人月收入 1160 元,他应缴个人工资收入所得税为

?1160? 800?? 5% ? 18元
(1)当月收入大于 800 元而又小于 1300 元时,写出应缴所得税 y(元)与月收入 x(元)之间的关 系式;

(2)某人月收入为 960 元,他应缴纳所得税多少元?

(3)如果某人本月缴所得税 19.2 元,那么此人本月工资是多少元?

8. 如图,折线 ABC 是在某市乘出租车所付车费 y(元)与行车里程 x(km)?之间的函数关系图象. ①根据图象,写出当 x≥3 时该图象的函数关系式; ②某人乘坐 2.5km,应付多少钱? ③某人乘坐 13km,应付多少钱? ④若某人付车费 30.8 元,出租车行驶了多少千米?

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9.如图是某汽车行驶的路程 s(km)与时间 t(min)的函数关系图;观察图中所提供的信息,解答下列问题:

(1)汽车在前 9 分钟内的平均速度是多少? (2)汽车在中途停了多长时间? (3)当 16≤t≤30 时,求 s 与 t 的函数式.

10、已知直线 y=kx+b 经过点

,且与坐标轴围成的三角形的面积为

,求该直线的解析式.

11、某食品厂生产的一种巧克力糖每千克成本为 24 元,其销售方案有如下两种:

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方案一:若直接给本厂设在武汉的门市部销售,则每千克售价为 32 元,但门市部每月需上缴有 关费用 2400 元; 方案二:若直接批发给本地超市销售,则出厂价为每千克 28 元.若每月只能按一种方案销售,且 每种方案都能按月销售完当月产品,设该厂每月的销售量为 xkg. (1)你若是厂长,应如何选择销售方案,可使工厂当月所获利润更大? 一月 销售量(kg) 利润(元) 550 2000 二月 600 2400 三月 1400 5600

(2)厂长看到会计送来的第一季度销售量与利润关系的报表后(上表),发现该表填写的销售 量与实际有不符之处,请找出不符之处,并计算第一季度的实际销售量总量.

函数图像中的计算问题
1 、甲、乙两人以相同路线前往距离单位 10km 的培训中心参加学习.图中 l 甲、l 乙分别表示甲、乙两人前往 目的地所走的路程 S(km)随时间 t(分)变化的函数图象.以下说法:①乙比甲提前 12 分钟到达;②甲的平 均速度为 15 千米/小时;③乙走了 8km 后遇到甲;④乙出发 6 分钟后追上甲.其中正确的有( A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 )

2、 某市为了鼓励居民节约用水, 采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费, 月用水量不超过 20 m 时,
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3

按 2 元/ m 计费;月用水量超过 20 m 时,其中的 20 m 仍按 2 元/ m 收费,超过部分按 2.6 元/ m 计 费.设每户家庭用用水量为 x m 时,应交水费 y 元. (1)分别求出 0 ≤ x ≤ 20 和 x ? 20 时 y 与 x 的函数表达式; (2)小明家第二季度交纳水费的情况如下: 月份 交费金额 四月份 30 元 五月份 34 元 六月份 42.6 元
3

3

3

3

3

3

小明家这个季度共用水多少立方米?

应用题中的分段函数
1 某油库有一没储油的储油罐,在开始的 8 分钟时间内,只开进油管,不开出油管,油罐的进油至 24 吨 后,将进油管和出油管同时打开 16 分钟,油罐中的油从 24 吨增至 40 吨.随后又关闭进油管,只开出油 管,直至将油罐内的油放完.假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变.写出这段时间内油 罐的储油量 y(吨)与进出油时间 x(分)的函数式及相应的 x 取值范围.

2、为了扶持农民发展农业生产,国家对购买农机的农户给予农机售价 13%的政府补贴.某市农机公司筹 集到资金 130 万元,用于一次性购进 A、B 两种型号的收割机共 30 台.根据市场需求,这些收割机 可以全部销售,全部销售后利润不少于 15 万元.其中,收割机的进价和售价见下表: A 型收割机 进价(万元/台) 售价(万元/台) 5.3 6 B 型收割机 3.6 4

设公司计划购进 A 型收割机 x 台,收割机全部销售后公司获得的利润为 y 万元. (1)试写出 y 与 x 的函数关系式; (2)市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择? (3)选择哪种购进收割机的方案,农机公司获利最大?最大利润是多少?此种情况下,购买这 30 台 收割机的所有农户获得的政府补贴总额 W 为多少万元?
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一次函数与二元一次方程的关系
1、已知一次函数 y ? kx ? b 的图象如图(6)所示,当 x ? 1 时, y 的取值范围是( A. ?2 ? y ? 0 B. ?4 ? y ? 0 C. y ? ?2 D. y ? ?4 0 2 x ) y

-4 2、 一次函数 y1 ? kx ? b 与 y2 ? x ? a 的图象如图, 则下列结论① k ? 0 ; ②a ? 0; ③当 x ? 3 时, y1 ? y2 中,正确的个数是( A.0 B.1 C .2 D.3 O ,则一次函数 y=4x-1 与 y=2x+3 的图 3 第2题 ) y 图1

y2 ? x ? a
x

?4 x ? y ? 1 3、方程组 ? 的解是 ? y ? 2x ? 3
象交点为 。

y1 ? kx ? b

4、如图,直线 y 1 =kx+b 过点 A(0《2) ,且与直线 y 2 =mx 交于点 P(1,m) ,则不等式组 mx>kx+b >mx-2 的解集是 .

5、若点 A(2,-3)、B(4,3)、C(5,a)在同一条直线上,则 a 的值是( A、6 或-6 B、6 C、-6 D、6 和 3 6、如图,直线 l1 : y ? x ? 1 与直线 l2 : y ? mx ? n 相交于点



P( a ,2) ,则关于 x 的不等式 x ? 1 ≥ mx ? n 的解集为



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y 2 O a P

l1
x

(第 13 题)

l2

函数图像平行
1.在同一平面直角坐标系中,对于函数①y=-x-1,②y=x+1,③y=-x+1,④y=-2(x+1)的图象,下列说 法正确的是( ) A.通过点(-1,0)的是①③ B.交点在 y 轴上的是②④ C.相互平行的是①③ D.关于 x 轴对称的是②④ 2、已知:一次函数 y=(1-2m)x+m-2,问是否存在实数 m,使 (1)经过原点 (2)y 随 x 的 增大而减小 (3)该函数图象经过第一、三、四象限 (4)与 x 轴交于正半轴 (5)平行于直线 y=-3x-2 (6)经过点(-4,2)

3、已知点 A(-1,-2)和点 B(4,2) ,若点 C 的坐标为(1,m) , 问:当 m 为多少时,AC+BC 有最小值?

一次函数与方案设计问题
一次函数是最基本的函数,它与一次方程、一次不等式有着密切联系,在实际生活、生产中有广泛的应用, 尤其是利用一次函数的增减性及其有关的知识可以为某些经济活动中的方案设计和选择做出最佳的决 策.下面以近几年来全国各地的中考题为例说明一次函数在方案设计中的重大作用. 二、营销方案的设计 例2 一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份 0.7 元,销售价是每份1元,卖不掉的报纸还可 以 0.20 元的价格退回报社.在一个月内(以 30 天计算) ,有 20 天每天可卖出 100 份,其余 10 天每天只能
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卖出 60 份,但每天报亭从报社订购的份数必须相同.若以报亭每天从报社订购的份数为自变量 x ,每月 所获得的利润为函数 y . (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式,并指出自变量 x 的取值范围; (2)报亭应该每天从报社订购多少份报纸,才能使每月获得的利润最大?最大利润是多少?

三、优惠方案的设计 例3 某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运到B市销售.现有三家运输公司可供选择,这 三家运输公司提供的信息如下: 运输 单位
运输速 度(千 米 时) 甲公司 乙公司 丙公司 / 运输费 用(元 / 米) 千 包装与 装卸时 间(小 时) 包装与 装卸费 用(元)

60 50 100

6 8 10

4 2 3

1500 1000 700

解答下列问题: (1)若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的2倍,求A,B两市的距离 (精确到个位) ; (2)如果A,B两市的距离为 s 千米,且这批水果在包装与装卸以及运输过程中的损耗为 300 元/ 小时,那么要使果品公司支付的总费用(包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和)最小,应选择哪家 运输公司?

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四.调运方案的设计 例4 A城有化肥 200 吨,B城有化肥 300 吨,现要把化肥运往C,D两农村,如果从A城运往C, D两地运费分别是 20 元/吨与 25 元/吨,从B城运往C,D两地运费分别是 15 元/吨与 22 元/吨,现 已知C地需要 220 吨,D地需要 280 吨,如果个体户承包了这项运输任务,请你帮他算一算,怎样调运花 钱最小? 分析: 根据需求, 库存在A, B两城的化肥需全部运出, 运输的方案决定于从某城运往某地的吨数. 也 就是说.如果设从A城运往C地 x 吨,则余下的运输方案便就随之确定,此时所需的运费 y (元)也只与 x (吨)的值有关.因此问题求解的关键在于建立 y 与 x 之间的函数关系. 练习题: 1.某工厂现有甲种原料 360 千克,乙种原料 290 千克,计划利用这两种原料生产 A,B 两种产品, 共 50 件.已知生产一件 A 种产品需用甲种原料 9 千克、乙种原料 3 千克,可获利润 700 元;生产一件 B 种产品,需用甲种原料 4 千克、乙种原料 10 千克,可获利润 1200 元. (1)要求安排 A,B 两种产品的生产件数,有哪几种方案?请你设计出来; (2)生产 A,B 两种产品获总利润是 y (元),其中一种的生产件数是 x ,试写出 y 与 x 之间的函数关 系式,并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?

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一次函数动点问题问题
1 如图,直线 l1 的解析表达式为 y ? ?3x ? 3 ,且 l1 与 x 轴交于点 D ,直线 l2 经过点 A,B ,直线 l1 , l2 交 于点 C . (1)求点 D 的坐标; (2)求直线 l2 的解析表达式; (3)求 △ ADC 的 面积; (4)在直线 l2 上存在异于点 C 的另一点 P ,使得

△ ADP 与 △ ADC 的面积相等,请直接 写出点 P 的坐标. ..

2 如图,以等边△OAB 的边 OB 所在直线为 x 轴,点 O 为坐标原点,使点 A 在第一象限建立平面直角坐标系, 其中△OAB 边长为 6 个单位,点 P 从 O 点出发沿折线 OAB 向 B 点以 3 单位/秒的速度向 B 点运动,点 Q 从 O 点出发以 2 单位/秒的速度沿折线 OBA 向 A 点运动,两点同时出发,运动时间为 t(单位:秒) ,当两点相 遇时运动停止.

y A

y A

y A

O

Bx

O

Bx

O

B x

① 点 A 坐标为_____________,P、Q 两点相遇时交点的坐标为________________; ② 当 t=2 时, S△OPQ ? ____________;当 t=3 时, S△OPQ ? ____________; ③ 设△OPQ 的面积为 S,试求 S 关于 t 的函数关系式;
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④ 当△OPQ 的面积最大时,试求在 y 轴上能否找一点 M,使得以 M、P、Q 为顶点的三角形是 Rt△,若能 找到请求出 M 点的坐标,若不能找到请简单说明理由。

经典例题: 1、如图,点 A、B、C 的坐标分别是(0,4) , (2,4) , (6,0).点 M 是折线 ABC 上一个动点, MN⊥x 轴于 N ,设 ON 的长为 x,MN 左侧部分多边形的面积为 S. ⑴写出 S 与 x 的函数关系式; ⑵当 x=3 时,求 S 的值.

2、如图,已知在平面直角坐标系中,直线 l :y=-

1 x+2 分别交两坐标轴于 A、B 两点,M 是 2

线段 AB 上一个动点,设 M 的横坐标为 x,△OMB 的面积为 S; ⑴写出 S 与 x 的函数关系式; ⑵若△OMB 的面积为 3,求点 M 的坐标; ⑶当△OMB 是以 OB 为底的等腰三角形时,求它的面积; ⑷画出函数 s 图象.

y

l
O

A M x

B

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