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第二讲 高中数学解题基本方法


第二讲

高中数学解题基本方法

【配方法】
(本讲对应学生用书第4~9页)

配方法
例1 已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).

若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围. 【解答】(1) 因为f(x)+2x>0的解集为(1,3),所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3)且a<0.于 是f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.
? 1 ? 2 a ? a 2 ? 4a ? 1 ? x? 2 a ? a 由f(x)=ax -2(1+2a)x+3a=a ? ,a<0,可得f(x)的最大值为2

? a 2 ? 4a ? 1 ? 0, ?a ? a 2 ? 4a ? 1 ?a ? 0, a .由 ? 解得a<-2- 3 或-2+ 3 <a<0.

故实数a的取值范围是(-∞,-2- 3 )∪(-2+ 3 ,0). 【点评】二次函数,一元二次不等式和一元二次方程之间具有非常密切的关 系:一元二次不等式的解集的端点就是其对应的一元二次方程的根,也就是二次函 数与x轴的交点.因而在解题时要充分利用它们之间的关系.

例2

是否存在实数a,使函数f(x)=x2-2ax+a的定义域为[-1,1]时,值域为[-2,

2]?若存在,求a的值;若不存在,请说明理由. 【解答】f(x)=(x-a)2+a-a2. 当a<-1时,f(x)在[-1,1]上为增函数,

? f (-1) ? 1 ? 3a ? -2, ? 所以 ? f (1) ? 1-a ? 2, 解得a=-1(舍去);
当-1≤a≤0时,

? f (a) ? a-a2 ? -2, ? ? f (1) ? 1-a ? 2, 解得a=-1;
当0<a≤1时,

? f (a) ? a-a 2 ? -2, ? ? f (-1) ? 1 ? 3a ? 2 ? a不存在;
当a>1时,f(x)在[-1,1]上为减函数,

? f (-1) ? 1 ? 3a ? 2, ? ? a不存在. 所以 ? f (1) ? 1-a ? -2
综上可得a=-1.

【对应训练】
1.函数y=3x2-x+2,x∈[1,3]的值域为 【答案】[4,26]
? 1 ? 23 ? x- ? 【解析】因为y=3x2-x+2=3 ? 6 ? + 12 ,所以函数y=3x2-x+2在[1,3]上单调递增.
2

.

所以当x=1时,原函数有最小值为4;当x=3时,原函数有最大值为26.所以函数 y=3x2-x+2,x∈[1,3]的值域为[4,26].

2.在正项等比数列{an}中,已知a1a5+2a3a5+a3a7=25,则a3+a5= 【答案】5 【解析】由题知 a3 +2a3a5+ a5 =(a3+a5)2=25,所以a3+a5=5.
2 2

.

1 3.函数f(x)= 1-x(1-x) 的最大值是

.

4 【答案】 3
1 ? 1? 3 4 ? x- ? ? 【解析】f(x)= ? 2 ? 4 ≤ 3 .
2

4.已知函数f(x)=-x2+4x+a(x∈[0,1]),若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值 为 【答案】1 【解析】因为f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a,且x∈[0,1],所以f(x)min=f(0)=a=-2,所 以a=-2,f(x)max=f(1)=-12+4×1-2=1. 5.设函数f(x)=x2-3x+a,若函数f(x)在区间(1,3)内有零点,则实数a的取值范围 为 . .

? 9? ? 0, ? 【答案】 ? 4 ?
? 3? 9 ? 3? x- ? ? ? x- ? 2 2 ? ? 4 【解析】由f(x)=0得a=-x +3x=+ .因为x∈(1,3),所以- ? 2 ? +
2 2

9 ? 9? ? 9? ? ? 0,? ? 0, ? 4 ? 4 ? ,所以a∈ ? 4 ? .

【定义法】
定义法
所谓定义法,就是直接用数学定义解题 .数学中的定理、公式、性质和法则等, 都是由定义和公理推演出来的.定义是揭示概念内涵的逻辑方法,它通过指出概念

所反映的事物的本质属性来明确概念.简单地说,定义是基本概念对数学实体的高 度抽象.用定义法解题,是最直接的方法. 例1 已知△ABC的三边a,b,c(a>b>c)成等差数列,A,C两点的坐标分别

为(-1,0),(1,0),试确定顶点B所在的曲线. 【分析】由a,b,c(a>b>c)成等差数列,得BC+BA=2AC为定值,从而动点B 在以C,A为焦点的椭圆上,可用定义法求出椭圆方程(再结合基他条件去除多余的 点). 【解答】设点B的坐标为(x,y),因为a,b,c(a>b>c)成等差数列, 所以a+c=2b,即BC+BA=4.

x2 y 2 由椭圆定义知,点B轨迹方程为 4 + 3 =1.
又因为a>b>c,所以(x-1)2+y2>(x+1)2+y2,所以x<0.

x2 y 2 所以点B的轨迹是椭圆的一半,其方程为 4 + 3 =1(x<0).
又当x=-2时,点B,A,C在同一直线上,不能构成三角形ABC,所以x≠-2.

x2 y 2 所以顶点B的轨迹方程为 4 + 3 =1(-2<x<0),轨迹是两段椭圆弧.

3 5 例2 设数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*.已知a1=1,a2= 2 ,a3= 4 ,且当n≥2
时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1. (1) 求a4的值;

1 ? ? ?an?1 - an ? 2 ? 为等比数列; (2) 求证: ?
(3) 求数列{an}的通项公式.

? 3 5 ? ? 3? ?1 ? ? ? a4 ? ?1 ? ? ? +5×? 2 ? =8× 【解答】(1) 当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,即4 ? 2 4

? 3 5? 7 ?1 ? ? ? ? 2 4 ? +1 ,解得a4= 8 .
(2) 因为4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2),所以4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n≥2),

5 即4an+2+an=4an+1(n≥2).因为4a3+a1=4× 4 +1=6=4a2,所以4an+2+an=4an+1.因为
1 an ? 2 - an ?1 2 4an? 2 -2an?1 4an?1 -an -2an?1 2an?1 -an 1 ? ? 1 1 an ?1 - an ?an?1 - an ? 2 ?是 2 = 4an?1 -2an = 4an?1 -2an = 2(2an?1 -an ) = 2 ,所以数列 ?

1 1 以a2- 2 a1=1为首项、 2 为公比的等比数列.
? ? ? ? ? an ? an a1 ? n ? n ?1? ?? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? 是以 2 - ? ? =4,所以数列 ?
n

an ?1 ?1? ?1? 1 ? ? ? ? (3) 由(2)知an+1- 2 an= ? 2 ? ,即 ? 2 ?
n -1

n ?1

an ?1? ?1? ? ? ? ? =2为首项、4为公差的等差数列,所以 ? 2 ? =2+(n-1)×4=4n-2,即an=(4n-2)×? 2 ?
?1? ?1? ? ? ? ? =(2n-1)×? 2 ? ,所以数列{an}的通项公式是an=(2n-1)×? 2 ? .
n -1 n -1

n

【对应训练】
5 1.若复数 1-2i +m(i为虚数单位)为纯虚数,则实数m=
【答案】-1 .

5(1 ? 2i) 5 【解析】因为 1-2i +m= (1-2i)(1 ? 2i) +m=1+m+2i为纯虚数,所以1+m=0,解得m=-1.

3 2.已知角α的终边经过点P(x,-6),且tan α=- 5 ,则x的值为
【答案】10

.

-6 3 【解析】根据三角函数的定义得tan α= x =- 5 ,所以x=10.

1 a 3.已知数列{an}中,a1=1,an= n -1 + 2 (n≥2),则数列{an}的前9项和等于
【答案】27

.

1 1 1 a 【解析】 由an= n -1 + 2 (n≥2)得an-an-1= 2 (n≥2),所以数列{an}是以1为首项、 2 为

9?8 1 公差的等差数列,因此S9=9×1+ 2 × 2 =27.
? 2 3? ? ? 1, 3 ? ? ? ,则椭圆的标准方程为 4.已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E ?

.

x2 y 2 【答案】 3 + 2 =1
【解析】由题意知c=1,设右焦点为F'(1,0),所以2a=EF+EF'=

?2 3 ? 2 3 (1 ? 1) ? ? ? 3 -0 ? ? ? ? + 3 =2 3 ,所以a= 3 ,b2=a2-c2=2.所以所求椭圆的标准方
2

2

x2 y 2 程为 3 + 2 =1.

5.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=

.

1 【答案】- n

1 1 【解析】由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1· Sn,两边同时除以Sn+1· Sn,得 Sn ?1 - S n =-1,故

?1? 1 1 ? ? S 数列 ? n ? 是以-1为首项,-1为公差的等差数列,则 S n =-1-(n-1)=-n,所以Sn=- n .

x2 y 2 3 2 2 6.已知椭圆C: a + b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为 3 ,过
F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4 3 ,则C的方程为 ( )

x2 y 2 A. 3 + 2 =1
【答案】A

x2 B. 3 +y2=1

x2 y 2 C. 12 + 8 =1

x2 y 2 D. 12 + 4 =1

【解析】根据题意,因为△AF1B的周长为4 3 ,所以

c AF1+AB+BF1=AF1+AF2+BF1+BF2=4a=4 3 ,所以a= 3 .又因为椭圆的离心率e= a
x2 y 2 3 = 3 ,所以c=1,所以b2=a2-c2=3-1=2,故椭圆C的方程为 3 + 2 =1.

【换元法】
换元法
换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件 联系起来、隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来,或者变为熟悉的形 式,把复杂的计算和推证简化.换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等. 局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字 母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.

π? ? 1 ? 2 x- ? 3?. 例1 已知函数f(x)=sin xcos x- 2 sin ?
(1) 求f(x)的最小正周期;

? π? ?0, ? (2) 求f(x)在 ? 2 ? 上的最大值与最小值.
π? 1 ? 1 ? 2 x- ? 3 ? = 2 sin 2x【解答】(1) f(x)=sin xcos x- 2 sin ? 1? ? ?? 1 1 1 3 3 ? sin 2 x ? cos ? cos 2 x sin ? 2? 3 3 ? = 2 sin 2x- 4 sin 2x+ 4 cos 2x= 4 sin 2x+ 4 cos 2x=

π? ? 1 ? 2 x+ ? 3 ?, 2 sin ?
则f(x)的最小正周期为π.

π ? π 4π ? ? π? π 1 0, ? ?? , ? ? 2 3 ? ? ? 3 3 ? ,所以 3 2 (2) 令t=2x+ ,则f(t)= sin t,因为x∈ ,所以t=2x+
? 3 ? ? 3 1? , 1? ,? ?? 2 4 2? ? ,所以f(t)∈ ? sin t∈ ? .

? π? 1 π π π 0, ? ? 则f(x)在 ? 2 ? 上的最大值为 2 ,此时2x+ 3 = 2 ,即x= 12 ;

? π? π 4π π 3 0, ? ? f(x)在 ? 2 ? 上的最小值为- 4 ,此时2x+ 3 = 3 ,即x= 2 .

5 例2 已知函数f(x)=2 - 2 · 2x+1-6.
2x

(1) 当x∈[0,4]时,求f(x)的最大值和最小值; (2) 若x∈[0,4]时,f(x)+12-a· 2x≥0恒成立,求实数a的取值范围. 【解答】(1) 因为f(x)=(2x)2-5· 2x-6, 设2x=t,因为x∈[0,4],则t∈[1,16], 所以f(x)=h(t)=t2-5t-6,t∈[1,16].

? 5? ?5 ? 1,? 16? ? ? , 因为当t∈ ? 2 ? 时,函数h(t)单调递减;当t∈ ? 2 ? 时,函数h(t)单调递增.

? 5 ? 49 ? ? 所以f(x)min=h ? 2 ? =- 4 ,f(x)max=h(16)=170,即为所求最大值和最小值.
(2) 因为f(x)+12-a· 2x≥0恒成立, 设t=2x∈[1,16],

6 所以a≤t+ t -5恒成立.
6 令g(t)=t+ t -5,则g(t)在[1, 6 ]上单调递减,在[ 6 ,16]上单调递增,
所以g(t)min=g( 6 )=2 6 -5, 所以a≤g(t)min=2 6 -5, 所以a的取值范围是

2 6-5? ? -? , ?.

【对应训练】
?2 ? ? ? 1? 1.已知f ? x ? =lg x,则f(x)的解析式为
.

2 【答案】f(x)=lg x-1 (x>1) 2 2 2 2 【解析】令t= x +1,则x= t -1 ,t>1,所以f(t)=lg t -1 ,所以f(x)=lg x-1 (x>1).

2.函数 y=x+4 1-x 的值域是 【答案】(-∞,5]

.

【解析】设t= 1-x ,t≥0,则x=1-t2,所以原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t≥0), 所以y≤5,所以原函数的值域为(-∞,5].

3.已知x,y满足x2+y2+2x-4y+1=0,则z=x+y的最大值为 【答案】1+2 2

.

【解析】方程x2+y2+2x-4y+1=0可化为(x+1)2+(y-2)2=4,它表示圆心为(-1,2),半 径为2的圆,故可设x=-1+2cos θ,y=2+2sin θ,则z=x+y=2cos θ+2sin θ+1=2 2 sin

π? ? ?? ? ? 4 ? +1,故z的最大值为1+2 2 . ?

g 4.函数f(x)=log2 x · lo 2 (2x)的最小值为

.

1 【答案】- 4 1 1 【解析】f(x)= 2 log2x· 2(log2x+1)=(log2x)2+log2x.令t=log2x,则f(t)=t2+t,当t=- 2 , 1 2 即x= 2 时,f(x)取得最小值为- 4 .

【待定系数法】
待定系数法
要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些 未知系数的方法叫待定系数法.待定系数法解题的关键是依据已知条件,正确列出 等式或方程.使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一 些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个问题是否可用待定系数法求解, 主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用 待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析 几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系 数法求解.

例1 析式.

已知一个二次函数f(x),且f(0)=-5,f(-1)=-4,f(2)=5,求函数f(x)的解

【解答】设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
?0 ? 0 ? c ? -5, ? ?a-b ? c ? -4, ?4a ? 2b ? c ? 5, ?

根据已知条件,得

解得a=2,b=1,c=-5. 因此f(x)=2x2+x-5. 【点评】求二次函数解析式可用待定系数法,已知图象上任意三点的坐标时, 二次函数解析式设为一般式y=ax2+bx+c(a≠0);已知顶点坐标时,二次函数解析式 设成顶点式y=a(x-m)2+n(a≠0)比较简便;已知抛物线与x轴的两个交点的坐标,或一 个交点的坐标及对称轴方程或顶点的横坐标时,二次函数解析式设成两点式y=a(xx1)(x-x2)(a≠0)比较简便.

例2

(1) 一次函数y=kx+b中,当-3≤x≤1时,对应的y的值为1≤x≤9,求此一

次函数的解析式. (2) 已知f(x)是二次函数,且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求f(x)的解析式. 【分析】(1) 根据条件,找出一次函数的图象所经过的点,然后求出待定系数 k,b即可;(2) 由已知f(x)是二次函数,所以可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),设法求出a, b,c即可. 【解答】(1) 由一次函数的性质可知, ①若k>0,y随x的增大而增大,一次函数y=kx+b过(-3,1),(1,9)两点,所以

?-3k ? b ? 1, ?k ? 2, ? ? ?k ? b ? 9,解得 ?b ? 7, 所以y=2x+7. ?-3k ? b ? 9, ?k ? -2, ? ? k ? b ? 1 , ? ②若k<0,y随x的增大而减小,同理可得 解得 ?b ? 3,
所以y=-2x+3.

综上可知,一次函数的解析式为y=2x+7或y=-2x+3. (2) 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=2,得c=2.

1 3 由f(x+1)-f(x)=x-1,得2ax+a+b=x-1,所以2a=1,a+b=-1,所以a= 2 ,b=- 2 . 1 3 2 故f(x)= 2 x - 2 x+2.
【点评】 (1) 根据条件,将定义域和值域问题转化为求一次函数过点问题是 解此题的关键,此题易忽视②而出现漏解的情况.(2) 解析式类型已知的,一般用待 定系数法,对于二次函数问题要注意一般式y=ax2+bx+c(a≠0),顶点式y=a(x-h)2+k 和零点式y=a(x-x1)(x-x2)的选择.

例3

(1) 求经过两点A(-1,4),B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程.

(2) 求经过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程. 【分析】(1) 设出圆的标准方程,用待定系数法求出a,b,r,但要注意圆心 的特殊位置;也可用交点法求出圆心坐标,再用两点间距离公式求半径,从而求得 圆的方程.(2) 直接将三点坐标代入圆的一般式方程,解方程组求出D,E,F即可. 【解答】(1)方法一 因为圆心在y轴上,所以可设圆的标准方程是x2+(y-b)2=r2.

因为圆经过A,B两点,

?(-1)2 ? (4-b)2 ? r 2, ?b ? 1, ? 2 ? 2 2 2 3 ? (2b ) ? r , ? 所以 解得 ?r ? 10.
所以所求圆的方程是x2+(y-1)2=10.

方法二

2-4 1 3-(-1) 线段AB的中点为(1,3),kAB= =- 2 ,

所以弦AB的垂直平分线方程为y-3=2(x-1),即y=2x+1.

? y ? 2 x ? 1, ? 由 ? x ? 0, 得(0,1)为所求圆的圆心.
由两点间距离公式得圆半径r为
(0 ? 1) 2 ? (1-4) 2

= 10 ,

所以所求圆的方程为x2+(y-1)2=10. (2) 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A,B,C三点坐标代入,
? D -E ? F ? -2, ? ? D ? 4 E ? F ? -17, ?4 D-2 E ? F ? -20, ?

整理得

解得

? D ? -7, ? ? E ? -3, ? F ? 2, ?

所以所求圆的方程为x2+y2-7x-3y+2=0. 【点评】(1) 求圆的标准方程就是求圆心坐标和圆的半径,方法一是先设出圆 的标准方程,而后用待定系数法求出圆心坐标和圆半径.方法二抓住圆的性质及题 目的特点,求出线段AB的垂直平分线方程并与y轴的方程联立组成方程组,先得出 了圆心的坐标,而后得出圆的半径. (2) 两题中求圆的方程选用了不同形式.如果由已知条件易求得圆心坐标、半径 或需要利用圆心坐标列方程,常选用标准方程;如果已知条件与圆心坐标、半径无 直接关系常选用一般方程,其解法为待定系数法.

【对应训练】
1.已知f(x)=ax+7,g(x)=x2+ 2 x+b,且f(x)+g(x)=x2+2 2 x+9,试求a,b的值. 【解答】f(x)+g(x)=ax+7+x2+ 2 x+b=x2+( 2 +a)x+(7+b),
? 2 ? a ? 2 2, ? ? ? ?7 ? b ? 9,



解得a= 2 ,b=2.

2.设双曲线C的两个焦点为(- 2 ,0),( 2 ,0),一个顶点是(1,0),则双曲线C的 方程为 【答案】x2-y2=1 .

y2 2 【解析】由题意设双曲线的方程为x2- b =1(b>0),又因为1+b2=( 2 )2,所以b2=1,
即双曲线C的方程为x2-y2=1.

3.已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)的解析式 为 【答案】f(x)=2x+7 【解析】设f(x)=ax+b(a≠0),则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a2b=ax+b+5a=2x+17,所以a=2,b=7,所以f(x)=2x+7. .

1 4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于 2 ,则椭圆C的方程是
( )
2 x2 y B. 4 + 3 =1

x2 y 2 A. 3 + 4 =1
【答案】D

x2 y 2 C. 4 + 2 =1

x2 y 2 D. 4 + 3 =1

?c ? 1, ? ?a2 -b2 ? 1, c 1 ? x2 y 2 ? ?e ? a ? 2 2 2 ? ?a ? 2 ? 【解析】设椭圆方程为 a + b =1(a>b>0),由题知 ?
? ? a ? 2, x2 y 2 ? ? ?b ? 3, 所以椭圆C的方程是 4 + 3 =1.

x2 y 2 2 2 5.已知顶点在原点的抛物线的准线过双曲线 a - b =1(a>0,b>0)的一个焦点,且

?3 ? ? ,6 ? ? ,求抛物线与双曲线 与双曲线实轴垂直,又抛物线与双曲线的一个交点为 ? 2
方程. 【解答】由题设知,抛物线以双曲线的右焦点为焦点,准线过双曲线的左焦点, 所以p=2c.设抛物线方程为y2=4c· x,

?3 ? ? ,6 ? ?, 因为抛物线过点 ? 2

3 所以6=4c·2 ,
所以c=1,故抛物线方程为y2=4x.

?3 ? x2 y 2 ? ,6 ? 2 2 ?, 又双曲线 a - b =1过点 ? 2

9 6 2 2 所以 4a - b =1.又a2+b2=c2=1,

9 6 2 2 所以 4a - 1-a =1. 1 所以a = 4 或a2=9(舍去).
2

3 所以b2= 4 ,
4 y2 故双曲线方程为4x2- 3 =1.
6.求过点(2,-3),且与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点的椭圆方程.

x2
【解答】椭圆9x2+4y2=36的焦点坐标为(0,± 5 ),故可设所求的椭圆方程为 ? +

y2 ? ? 5 =1(λ>0),将点(2,-3)代入得λ=10或λ=-2(舍去). x2 y 2 所以所求的椭圆方程为 10 + 15 =1.

【相消法】

相消法
相消法在数列求和中有着广泛的应用,如裂项相消、错位相消、累加和累乘等. 例1 已知Sn为数列{an}的前n项和,且an>0, an +2an=4Sn+3.
2

(1) 求{an}的通项公式;

1 (2) 设bn= an an ?1 ,求数列{bn}的前n项和.
【分析】(1) 先用数列第n项与前n项和的关系求出数列{an}的递推公式,可以 判断数列{an}是等差数列,利用等差数列的通项公式即可写出数列 {an}的通项公式; (2)根据(1)得数列{bn}的通项公式,再用裂项相消法求其前n项和. 【解答】(1) 当n=1时, a1 +2a1=4a1+3,因为an>0,所以a1=3. 当n≥2时, an +2an- an -1 -2an-1=4Sn+3-4Sn-1-3=4an,即(an+an-1)(an-an-1-2)=0.因为 an>0,所以an-an-1=2, 所以数列{an}是以3为首项,2为公差的等差数列, 所以an=2n+1.
2 2 2

1 1? 1 1 ? ? ? (2) 由(1)知,bn= (2n ? 1)(2n ? 3) = 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ? ,

1 所以数列{bn}的前n项和为b1+b2+…+bn= 2
1 ?? 1 ? 1 1 ? ?? 2 n ? 1 2 n ? 3 ? ? ? = 6 - 4n ? 6 .

?? 1 1 ? ? 1 1 ? ?? 3 - 5 ? ? - ? ? + ? 5 7 ? +…+ ??

【点评】观察数列的形式,看使用什么方法求和方便.使用裂项法求和时,要 注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被 消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源和目的.

例2

设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q.已

知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.

(1) 求数列{an},{bn}的通项公式;

an (2) 当d>1时,记cn= bn ,求数列{cn}的前n项和Tn.

? an ? ? ? b 【分析】一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列 ? n ?
的前n项和时,可采用错位相消法求和,一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公 比,然后作差求解. 【解答】(1) 由题意有

?10a1 ? 45d ? 100, ?2a1 ? 9d ? 20, ? ? a d ? 2, ?a1d ? 2, 即? 1
?a1 ? 9, ? ?a1 ? 1, ? 2 d? . ? ? 9 解得 ?d ? 2 或 ?

1 ? ?an ? 9 (2n ? 79), ? ? n -1 ?an ? 2n-1, ? ?2? bn ? 9?? ? . ? ? bn ? 2n-1 ?9? ? ? 故 或
(2) 由d>1,知an=2n-1,bn=2n-1,

2n-1 n-1 故cn= 2 ,于是

3 5 2n-1 2 n-1 Tn=1+ 2 + 2 +…+ 2 , ①
1 1 3 5 2n-1 2 3 2 Tn= 2 + 2 + 2 +…+ 2n . ② 1 1 1 1 2n-1 2n ? 3 2 n -2 n n 由①-②可得 2 Tn=2+ 2 + 2 +…+ 2 - 2 =3- 2 ,

2n ? 3 n -1 故Tn=6- 2 .

【点评】错位相消法在近年高考中多个省份进行了考查.运用时,要注意如何 错位,注意同次项的对应.本质上错位相消是将问题向等比数列转化的过程.

【对应训练】
1 1.已知数列{an}的前n项和为Sn,若an= n(n ? 1) ,则S5等于
A.1 【答案】B ( )

5 B. 6

1 C. 6

1 D. 30

1 1 1 1 1 1 1 1 n ( n ? 1) 【解析】由an= = n - n ?1 ,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=1- 2 + 2 - 3 + 3 - 4

1 1 5 +…+ 5 - 6 = 6 .
2.已知数列{an}中,a1=1,an+1=an-n,则{an}的通项公式为 .

-n 2 ? n ? 2 2 【答案】an=
【解析】由题意知an+1-an=-n,则n≥2时,a2-a1=-1,a3-a2=-2,a4-a3=-3,…,an-an1=-(n-1),将上面n-1个等式相加得an-a1=(-1)+(-2)+(-3)+…+[-(n-1)],所以an=

-n 2 ? n ? 2 2 ,当n=1时也符合此式.

3.在数列{an}中,a1=1,(n+1)an+1=nan,则an=

.

1 【答案】 n
an ?1 an a2 a3 a4 an n a2 ·a3 ·…· an -1 = 【解析】由(n+1)an+1=nan得 an = n ?1 ,所以n≥2时, a1 = a1 ·

1 2 3 n-1 1 1 2 ·3 ·4 ·…· n = n ,所以an= n (n=1时也符合此式).

4.已知{an} 是各项均为正数的等比数列, {bn}是等差数列,且 a1=b1=1 , b2+b3=2a3, a5-3b2=7. (1) 求{an}和{bn}的通项公式; (2) 设cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和.

?2q 2 -3d ? 2, ? 4 【解答】(1) 设{an}的公比为q,{bn}的公差为d,由题意知q>0,且 ?q -3d ? 10, 解
得q=2,d=2,所以{an}的通项公式为an=2n-1,n∈N*,{bn}的通项公式为bn=2n-1, n∈N*. (2) 由(1)有cn=(2n-1)2n-1, 设{cn}的前n项和为Sn,则 Sn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-1)×2n-1, 2Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n, 两式相减得-Sn=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3, 所以Sn=(2n-3)2n+3.

【分离常数法】
分离常数法
在含有两个量(一个常量和一个变量)的关系式(不等式或方程)中,要求变量的 取值范围,可以将变量和常量分离(即变量和常量各在式子的一端),从而求出变量 的取值范围.

3x ? 1 例1 求函数y= x-2 的值域.

3x ? 1 3(x-2) ? 7 7 x-2 =3+ x-2 , 【解答】(分离常数法)y= x-2 =

7 7 因为 x-2 ≠0,所以3+ x-2 ≠3, 3x ? 1 所以函数y= x-2 的值域为{y|y≠3}.
【点评】分离常数法是求常见函数值域的有效方法,但要注意各种方法所适 用的函数形式,还要注意函数定义域的限制.二次分式型函数求值域,多采用分离 出整式利用基本不等式法求解.

例2

若对满足条件x+y+3=xy(x>0,y>0)的任意x,y,(x+y)2-a(x+y)+1≥0恒 .

成立,则实数a的取值范围是 【解答】方法一

由(x+y)2-a(x+y)+1≥0恒成立,通过分离参数,得a≤(x+y)+

1 x? y .
? y ? 0, ? y ?3 ? x ? ? 0, ? y -1 ? 由x+y+3=xy(x>0,y>0)进一步分析,得到
所以必须有y>1,同理必须有x>1. 由x+y+3=xy(x>1,y>1)变形,得(x-1)(y-1)=4(x>1,y>1), 所以(x-1)+(y-1)≥2
(x-1)(y -1)

=4,

当且仅当x=y=3时,取“=”,即x+y≥6. 令t=x+y,则t≥6,

1 1 x ? y 那么(x+y)+ =t+ t .

1 设f(t)=t+ t ,t≥6,

1 t 2 -1 2 2 则f'(t)=1- t = t >0,

1 1 37 从而f(t)=t+ t 在[6,+∞)上单调递增,则f(t)min=f(6)=6+ 6 = 6 . 37 所以a≤ 6 ,
37 ? ? ? -? , ? 6 ?. 即实数a的取值范围是 ?

方法二

当x+y≥6时,

令t=x+y,则t≥6, 设f(t)=t2-at+1,则f(t)≥0在t≥6时恒成立,
?a ?a ? ? 6, ? ? 6, ?2 ?2 ? f (6) ? 0 ? f (6) ? 0. 所以 ? 或?

37 所以a≤ 6 ,
37 ? ? ? -? , ? 6 ?. 即实数a的取值范围是 ?
【点评】利用函数性质法求解恒成立问题,关键是研究函数的性质,由于导 数知识的应用,拓展了这类问题的命题深度和思维广度,解答问题时,一般的解题 思路是先对函数求导,判断导函数的符号,从而确定函数在所给区间上的单调性, 得到区间上对应的函数最值.

【对应训练】
x2 2 1.函数y= x ? 1 (x∈R)的值域为
【答案】[0,1) .

【解析】(1) 方法一
2

x2 1 1 2 2 2 (分离常数法)由y= x ? 1 =1- x ? 1 ,因为0< x ? 1 ≤1,所以-

1 1≤- x ? 1 <0,所以0≤y<1,故函数值域为[0,1).
y y x2 2 (逆求法)由y= x ? 1 ,得x2= 1-y ,因为x2≥0,所以 1-y ≥0,所以0≤y<1,故

方法二

函数值域为[0,1). 2.已知命题p“ ? x∈(0,+∞),mx2+4x-1=0”是真命题,则实数m的取值范围 是 .

【答案】{m|m≥-4}

1 4 1 2 【解析】因为命题p是真命题,所以m= x - x 有正实数根.令t= x ,则t>0,
m=f(t)=t2-4t=(t-2)2-4≥-4,所以实数m的取值范围是{m|m≥-4}. 3.若方程4x-2x+1-a=0在[-1,1]上有解,则实数a的取值范围为 【答案】[-1,0]

.

?1 ? ?1 ? , 2? ? ? t ? 2? ? x 2 ? 与函数y=a的图象如图所 【解析】令2 =t,则t∈ ? 2 ? ,作出函数y=t -2t ? 2
示.由图可得当-1≤a≤0时,方程有解,故a的取值范围为[-1,0].

(第3题)


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