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海淀区2015-2016学年第一学期期末高一数学试题及答案

海淀区高一年级第一学期期末练习


学校 班级
本试卷共 100 分.考试时间 90 分钟.


姓名 成绩

2016.1

三 题号 一 二 15 分数 一.选择题:本大题共 8 小题,共 32 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 若集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2} , B ? {x | x ? 1} ,则 A A. (1, 2) 2. sin( ? B. [?1, 2) C. [?1,1] 16 17 18

B?
D. [1, 2)





9? ) 的值为 2
B. ?1 C. 0 D.





A. 1

2 2


3. 已知 ? 是第二象限的角, P ( x, 6) 为其终边上的一点,且 sin ? ? A. ?4
2

B. ?4

C. ?8

3 ,则 x ? ( 5 D. ?8


4. 化简 1 ? sin 160 ? A. cos 20 B. ? cos 20 C. ? cos 20 D. ? | cos 20 |



5. 已知 A(1,2) ,B(3,7) ,a ? ( x, ?1) , 且 AB / / a , 则





2 ,且 AB 与 a 方向相同 5 2 C. x ? ,且 AB 与 a 方向相反 5
A. x ?

B. x ? ?

2 ,且 AB 与 a 方向相同 5 2 D. x ? ? ,且 AB 与 a 方向相反 5

6. 已知函数:① y ? tan x ,② y ? sin x ,③ y ? sin x ,④ y ? cos x ,则其中周期为 ? , 且在 (0, ) 上单调递增的是 2 A. ①② B.①③

?

( C.①②③ D.①③④



1

7. 先把函数 y ? cos x 的图象上所有点先向右平移

?
3

个单位, 再把所得各点的横坐标缩短到

原来的

1 倍(纵坐标不变) ,得到的函数图象的解析式为( 2



A. y ? cos(2 x ?

?
3

)

B. y ? cos(2 x ?

?
3

)

C. y ? cos( x ?

1 2

?
3

)

D. y ? cos( x ?

1 2

?
3

)

8. 若 m 是函数 f ( x) ?

x ? 2x ? 2 的一个零点,若 x1 ? ? 0, m? , x2 ? ? m, ?? ? ,则
) B. f (m) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) D. f ( x2 ) ? f (m) ? f ( x1 )

f ( x1 ) , f ( x2 ) , f ( m) 的大小关系为(
A. f ( x1 ) ? f (m) ? f ( x2 ) C. f (m) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 )

二.填空题:本大题共 6 小题,每空 4 分,共 24 分. 把答案填写在题中横线上. 9. 若 log2 x ? 1 ,则 x 的取值范围是_______________. 10. 若函数 f ( x) ? x ? 3x ? 4 在 x ?[?1,3] 上的最大值和最小值分别为 M , N ,
2

则 M ? N ? _______________. 11. 若向量 a ? (2,1), b ? (1, ?2) ,若 ma ? nb ? (5, ?5) (m, n ? R) , 则 m ? n 的值为_______________. 12. 如图,在平行四边形 ABCD 中, AC, BD 相交于点 O , E 为线段 AO 的中点. 若 BE ? ? BA ? ? BD

(?, ? ? R) ,则 ? ? ? ? _________ .

13.已知 f ( x ) ? sin(? x ? ? ) , (其中 ? ? 0 )在 (0, ) 上单 调递增,且 f ( ) ? f ( ) ? 0 , f (0) ? ?1 ,则 ? ? _______________.

?

?

?

3

6

3

14. 已知函数 y ? f ( x) , 若对于任意 x ? R , f (2 x) ? 2 f ( x) 恒成立, 则称函数 y ? f ( x) 具 有性质 P ; (1)若函数 y ? f ( x) 具有性质 P ,且 f (4) ? 8 ,则 f (1) ? ______________; (2)若函数 y ? f ( x) 具有性质 P ,且在 (1, 2] 上的解析式为 y ? cos x ,那么 y ? f ( x) 在

(1,8] 上有且仅有______________个零点.
2

三.解答题:本大题共 4 小题,共 44 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? x2 ? mx ? 3 的两个零点为 ?1 和 n . (1)求 m, n 的值; (2)若 f (3) ? f (2a ? 3) ,求 a 的值.

16. (本小题满分 12 分)
x 已知函数 f ( x ) 是定义 R 在奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ?1 .

(1)求当 x ? 0 时 f ( x ) 的解析式; (2)若 f (a) ? 3 ,求 a 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

?. 6?

(Ⅰ) 求函数 f ( x ) 的单调递增区间与对称轴方程; (Ⅱ) 当 x ? ?0, ? 时,求 f ( x ) 的最大值与最小值. 2 18. (本小题满分 8 分) 如果 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,使得对任意的 x ? R ,均有 f (? x) ? ? f ( x) ,则 称该函数 y ? f ( x) 是“ X - 函数”. (Ⅰ)分别判断下列函数: ①y?2 ; ② y ? x ? 1 ;③ y ? x 2 ? 2 x ? 3 是否为“ X - 函
x

? π? ? ?

数”?(直接写出结论) (Ⅱ)若函数 y ? sin x ? cos x ? a 是“ X - 函数” ,求实数 a 的取值范围;

? x 2 ? 1, x ? A (Ⅲ)已知 f ( x) ? ? 是“ X - 函数” ,且在 R 上单调递增,求所有可能的 ? x , x?B
集合 A 与 B .

3

海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案 数
阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数. 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.

2016.1



一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.
1.D 8.分析: 因为 m 是 f ( x) ? 2.B 3C 4.A 5.D 6.B 7.B 8.D

x ? 2x ? 2 的一个零点,
x

则 m 是方程 x ? 2 ? 2 ? 0 的一个解, 即 m 是方程 x ? 2 ? 2 的一个解,
x

所以 m 是函数 g ( x) ?

x 与 h( x) ? 2x ? 2 图象的一个交点的横坐标,

如图所示,若 x1 ? ? 0, m? , x2 ? ? m, ?? ? , 则 f ( x2 ) ? g( x2 ) ? h( x2 ) ? 0 ? f (m) ,

f ( x1 ) ? g( x1 ) ? h( x1 ) ? 0 ? f (m) ,
所以 f ( x2 ) ? f (m) ? f ( x1 ) .

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分, 第 14 题每空 2 分.
9. (2, ??) 10.

39 4

11. ?2

12.

3 4

13. 2

14. 2; 3

14.分析: (1) (2 分)因为函数 y ? f ( x) 具有性质 P , 所以对于任意 x ? R , f (2 x) ? 2 f ( x) 恒成立, 所以 f (4) ? f (2 ? 2) ? 2 f (2) ? 2 f (2 ?1) ? 4 f (1) ,因为 f (4) ? 8 ,所以 f (1) ? 2 . (2) (2 分)若函数 y ? f ( x) 具有性质 P ,且在 (1, 2] 上的解析式为 y ? cos x , 则 函 数 y ? f ( x) 在 (2, 4] 上 的 解 析 式 为 y ? 2 cos

x , 在 (4,8] 上 的 解 析 式 为 2

x y ? 4 cos , 4
4

所以 y ? f ( x) 在 (1,8] 上有且仅有 3 个零点,分别是

? , ? , 2? . 2

三、解答题: 本大题共 4 小题,共 44 分.
15.解: (Ⅰ)因为二次函数 f ( x) ? x2 ? mx ? 3 的两个零点为 ?1 和 n , 所以, ?1 和 n 是方程 x 2 ? mx ? 3=0 的两个根.

( , ?1 ) ? n ? ?3 , 则 ?1 ? n ? ?m
所以 m ? ?2 , n ? 3 . (Ⅱ)因为函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 的对称轴为 x ? 1 . 若 f (3) ? f (2a ? 3) ,

--------------------------4 分 --------------------------6 分

3 ? 2a ? 3 ? 1 或 2a ? 3 ? 3 2 得 a ? 1或 a ? 3. 综上, a ? 1 或 a ? 3 .

?x 16. 解: (Ⅰ)当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x) ? 2 ?1 .

--------------------------9 分 --------------------------12 分

--------------------------2 分 --------------------------4 分 -------------------6 分 --------------------------8 分 -----------------10 分

因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (? x) ? ? f ( x) . 所以 ? f ( x) ? 2
?x

?1 ,即当 x ? 0 时, f ( x) ? ?2? x ? 1 .

(Ⅱ)因为 f (a) ? 3 , f (2) ? 3 ,

所以 f (a) ? f (2) . 又因为 f ( x ) 在 R 上是单调递增函数, 所以 a ? 2 .

--------------------------12 分

说明:若学生分 a ? 0 和 a ? 0 两种情况计算,每种情况计算正确,分别给 3 分. 17.解:(Ⅰ) 因为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ? 由?

? ?

??

?, 6?
--------------------------2 分

?

2 6 2 π π 得 ? ? k? ? x ? ? k ? , 6 3

? 2 k? ? 2 x ?

?

?

?

? 2 k? , k ? Z ,

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ? 由 2x ?

π ? π ? ? k? , ? k? ? , k ? Z . -------------3 分 6 3 ? ?
---------------5 分
5

?
6

?

?
2

? k? , k ? Z ,

得x?

π k? ? ,其中 k ? Z . -----------------------6 分 3 2 π ? ? 5? (Ⅱ) 因为 0 ? x ? ,所以 ? ? 2 x ? ? . --------------------------8 分 2 6 6 6 1 ? 得: ? ? sin(2 x ? ) ? 1 . --------------------------10 分 2 6
所以 f ( x ) 的对称轴方程为 x ? 所以,当 2 x ? 当 2x ?

π k? ? . 3 2

?

?
6

?

?

6

??

?

6

即 x ? 0 时, f ( x ) 的最小值为 ?1 ,

2

即x?

?
3

时, f ( x ) 的最大值为 2 .

--------------------------12 分

18.解: (Ⅰ)①、②是“ X - 函数” ,③不是“ X - 函数”. (说明:判断正确一个或两个函数给 1 分) (Ⅱ)由题意,对任意的 x ? R , f (? x) ? ? f ( x) ,即 f (? x) ? f ( x) ? 0 . 因为 f ( x) ? sin x ? cos x ? a , 所以 f (? x) ? ? sin x ? cos x ? a . 故 f ( x) ? f (? x) ? 2cos x ? 2a . 由题意,对任意的 x ? R , 2 cos x ? 2a ? 0 ,即 a ? ? cos x . --------------------4 分 故实数 a 的取值范围为 (??, ?1) U (1, ??) . (Ⅲ) (1)对任意的 x ? 0 (a)若 x ? A 且 ? x ? A ,则 ?x ? x , f (? x) ? f ( x) , 这与 y ? f ( x) 在 R 上单调递增矛盾, (舍) , (b)若 x ? B 且 ? x ? B ,则 f (? x) ? ? x ? ? f ( x) , 这与 y ? f ( x) 是“ X ? 函数”矛盾, (舍). 此时,由 y ? f ( x) 的定义域为 R ,故对任意的 x ? 0 , x 与 ?x 恰有一个属于 A ,另一 个属于 B . (2) 假设存在 x0 ? 0 ,使得 x0 ? A ,则由 x0 ?
6

-------------------2 分

---------------------------5 分

x0 ?x ? ,故 f ( x0 ) ? f ? 0 ? . 2 ? 2?

(a)若 (b)若

x x2 x0 2 ? 1 ? f ( x0 ) ,矛盾, ? A ,则 f ( 0 ) ? 0 ? 1 ? x0 2 2 4
x0 x x 2 ? B ,则 f ( 0 ) ? 0 ? 0 ? x0 ? 1 ? f ( x0 ) ,矛盾. 2 2 2

综上,对任意的 x ? 0 , x ? A ,故 x ? B ,即 (??,0) ? B ,则 (0, ??) ? A . (3)假设 0 ? B ,则 f (?0) ? ? f (0) ? 0 ,矛盾. 故 0 ? A 故 A ? [0, ??) , B ? (??,0) . 经检验 A ? [0, ??) , B ? (??,0) .符合题意

-------

7