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武汉艺术生文化课华英艺考高三数学百日提百分:专题训练二十四 分类讨论思想

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高考专题训练二十四
班级_______ 姓名_______ 时间:45 分钟

分类讨论思想
总得分_______

分值:75 分

一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项 中,选出符合题目要求的一项填在答题卡上.

1.已知数列{an}满足:a1=m(m 为正整数),an+ a6=1,则 m 所有可能的取值为( A.4 或 5 C.5 或 32 ) B.4 或 32 D.4,5 或 32

?an, 当an为偶数时, 2 1=? ?3an+1, 当an为奇数时.



a5 解析:若 a5 为偶数,则 a6= =1,即 a5=2. 2 a4 若 a4 为偶数,则 a5= =2,∴a4=4; 2 1 若 a4 为奇数,则有 a4= (舍). 3 若 a3 为偶数,则有 a3=8;若 a3 为奇数,则 a3=1. 若 a2 为偶数,则 a2=16 或 2; 7 若 a2 为奇数,则 a2=0(舍)或 a2= (舍). 3 若 a1 为偶数,则 a1=32 或 4; 1 若 a1 为奇数,有 a1=5 或 a1= (舍). 3 若 a5 为奇数,有 1=3a5+1;所以 a5=0,不成立. 综上可知 a1=4 或 5 或 32. 答案:D 点评:本题考查了分类讨论的应用,要注意数列中的条件是 an 为奇数或偶数,而 不是 n 为奇数或偶数. 2. 已知二次函数 f(x)=ax2+2ax+1 在区间[-3,2]上的最大值为 4, a 等于( 则 )

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A.-3 C.3

B.-

3 8

3 D. 或-3 8

解析:当 a<0 时,在 x∈[-3,2]上,当 x=-1 时取得最大值,得 a=-3; 3 当 a>0 时,在 x∈[-3,2]上,当 x=2 时取得最大值,得 a= . 8 答案:D 3.对一切实数,不等式 x2+a|x|+1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,-2) C.[-2,2] B.[-2,+∞) D.[0,+∞) )

a 解析:本题是不等式恒成立问题,可以构造函数,把函数转化为 y=x+x型,通过 求解函数的最值得到结论. 由不等式 x2+a|x|+1≥0 对一切实数恒成立. ①当 x=0 时, 1 则 1≥0, 显然成立; ②当 x≠0 时, 可得不等式 a≥-|x|- 对 x≠0 的一切实数成立. 令 |x|
? 1? 1 f(x)=-|x|- =-?|x|+|x|?≤-2.当且仅当|x|=1 时,“=”成立. |x| ? ?

∴f(x)max=-2,故 a≥f(x)max=-2. 答案:B 4. 0<b<1+a, 若关于 x 的不等式(x-b)2>(ax)2 的解集中的整数恰有 3 个, 则( )

A.-1<a<0 C.1<a<3

B.0<a<1 D.3<a<6

解析:(x-b)2-(ax)2>0,(x-b-ax)(x-b+ax)>0. 即[(1-a)x-b][(1+a)x-b]>0. ①

b b b 令 x1= ,x2= .∵0<b<1+a,则 0< <1,即 0<x2<1. 1-a 1+a 1+a
? ? b ? ? b 当 1-a>0 时,若 0<a<1,则不等式①的解集为?-∞,1+a?∪?1-a,+∞?,不 ? ? ? ?

符合题意.

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? ? b ? ? b 若-1<a<0,不等式的解集为?-∞,1-a?∪?1+a,+∞?,不符合题意. ? ? ? ?

当 1-a<0 时,即 a>1 时,需 x1= 综上,1<a<3.故选 C. 答案:C

b <-2,a+1>b>-2(1-a),∴a<3. 1-a

5. 已知 a=(-1, -2), b=(1, 若 a 与 b 的夹角为钝角, λ 的取值范围是( λ). 则
? 1? A.?-∞,-2? ? ? ? ? 1 ? C.?-2,2?∪(2,+∞) ? ? 1 ? B.?-2,+∞? ? ?

)

D.(2,+∞)

1 解析:∵〈a,b〉为钝角,∴a· b<0,即有 λ>- .又当 λ=2 时,a 与 b 反向.故选 2 C. 答案:C
?a ? 6.对任意两实数 a,b 定义运算“*”如下,a*b=? ? ?b

?a≤b?, ?a>b?,

则函数 f(x)=log1
2

(3x-2)*log2x 的值域为( 2 B.[log2 ,0] 3 D.R

)

A.(-∞,0] 2 C.[log2 ,+∞) 3

? 1 ? 解析:根据题目给出的情境,得 f(x)=log 1 (3x-2)*log2x=log2?3x-2? *log2x=
2

?

?

?log2 1 ? 3x-2 ?log2x

?x≥1?, ?0<x<1?.

)由于 y=log2x 的图象定义域上为增函数, 可得 f(x)的值域为(-

∞,0].故选 A. 答案:A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上.

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7.若函数 f(x)=4x+a·x+a+1 在(-∞,+∞)上存在零点,则实数 a 的取值范围 2 为________. 解析:设 2x=t(t>0),则函数可化为 g(t)=t2+at+a+1,t∈(0,+∞),函数 f(x) 在(-∞,+∞)上存在零点,等价于函数 g(t)在(0,+∞)上有零点. (1)当函数 g(t)在(0,+∞)上存在两个零点时,实数 a 应满足

? a ?-2>0, ?g?0?=a+1>0,

Δ=a2-4?a+1?≥0, 解得-1<a≤2-2 2.

(2)当函数 g(t)在(0,+∞)上存在一个零点,另一个零点在(-∞,0)时,实数 a 应 满足 g(0)=a+1<0,解得 a<-1. (3)当函数 g(t)的一个零点是 0 时,g(0)=a+1,a=-1,此时可求得函数 g(t)的另 一个零点是 1,符合题目要求.综合(1)(2)(3)知 a 的取值范围是 a≤2-2 2. 答案:a≤2-2 2 8.连掷两次骰子得到的点数为 m 和 n,记向量 a=(m,n),与向量 b=(1,-1) π 的夹角为 θ,则 θ∈(0, ]的概率是________. 2 解析:∵m>0,n>0,∴a=(m,n)与 b=(1,-1)不可能同向. π ∴夹角 θ≠0.∴θ∈(0, ]?a· b≥0,∴m≥n. 2 当 m=6 时,n=6,5,4,3,2,1; 当 m=5 时,n=5,4,3,2,1; 当 m=4 时,n=4,3,2,1; 当 m=3 时,n=3,2,1; 当 m=2 时,n=2,1; 当 m=1 时,n=1; ∴概率是 6+5+4+3+2+1 7 = . 12 6×6

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7 答案: 12 9.当点 M(x,y)在如图所示的△ABC 内(含边界)运动时,目标函数 z=kx+y 取得 最大值的一个最优解为(1,2).则实数 k 的取值范围是________.

解析:如图,延长 BC 交 y 轴于点 D,目标函数 z=kx+y 中 z 的几何意义是直线 kx+y-z=0 在 y 轴上的截距,由题意得当此直线经过点 C(1,2)时,z 取得最大值,显 然此时直线 kx+y-z=0 与 y 轴的交点应该在点 A 和点 D 之间,而 kAC= =kBC= 1,1]. 2-1 =1,kBD 1-0

2-0 =-1,直线 kx+y-z=0 的斜率为-k,所以-1≤-k≤1,解得 k∈[- 1-3

答案:[-1,1] x 2 y2 10.设 F1,F2 为椭圆 + =1 的两个焦点,P 为椭圆上一点.已知 P,F1,F2 9 4 是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则 解析:若∠PF2F1=90° , 则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2. ∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 5. |PF1| 的值为________. |PF2|

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解得|PF1|=

14 4 |PF1| 7 ,|PF2|= .∴ = . 3 3 |PF2| 2

若∠F1PF2=90° ,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2. 解得|PF1|=4,|PF2|=2.∴ |PF1| 7 综上, = 或 2. |PF2| 2 7 答案: 或 2 2 三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. an-1 11.(12 分)已知 a>0,且 a≠1,数列{an}的前 n 项和为 Sn,它满足条件 S =1 n 1 -a.数列{bn}中,bn=an· n. lga (1)求数列{bn}的前 n 项和 Tn; (2)若对一切 n∈N*,都有 bn<bn+1,求 a 的取值范围. an-1 1 分 析 : (1) 本 题 从 S = 1 - a 可 以 得 出 Sn , 进 而 由 an 和 Sn 的 关 系 an = n
?S1 ?n=1?, ? ? )可求出数列{an}的通项,也就求出了{bn}的通项公式.(2)应注意 ? ?Sn-Sn-1 ?n≥2?.

|PF1| =2. |PF2|

分 a>1 和 0<a<1 讨论. an-1 a?an-1? a?a1-1? 1 解:(1) S =1-a,∴Sn= .当 n=1 时,a1=S1= =a;当 n≥2 a-1 a-1 n a?an-1? a?an-1-1? 时,an=Sn-Sn-1= - =an. a-1 a-1 ∴an=an(n∈N*).此时,bn=an· n=n·nlga. lga a ∴Tn=b1+b2+?+bn=lga(a+2a2+3a3+?+nan).设 un=a+2a2+3a3+?+ nan,∴(1-a)un=a+a2+a3+?+an-nan+1=

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a?an-1? nan+1 a?an-1? n+1 -na .∴un= - . a-1 a-1 ?a-1?2 n·n+1 a?an-1? a ∴Tn=lga[ - ]. a-1 ?a-1?2 (2)由 bn<bn+1?nanlga<(n+1)an+1lga. n ①当 a>1 时,由 lga>0,可得 a> . n+1 ∵ n n <1(n∈N*),a>1,∴a> 对一切 n∈N*都成立,此时 a 的范围为 a>1. n+1 n+1

? n ? n ②当 0<a<1 时,由 lga<0 可得 n>(n+1)a,即 a< ,即 a<?n+1?min. n+1 ? ?



1 1 1 n n ≥ ,∴a< 时,对一切 n∈N*,a< 都成立,此时,a 的范围为 0<a< . 2 2 n+1 2 n+1

1 由①②知:对一切 n∈N*,都有 bn<bn+1 的 a 的范围是 0<a< 或 a>1. 2
?x1 y1? y2 x 2 12. 分)设 A(x1, 1), 2, 2)是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上两点. (13 y B(x y 已知 m=? b , a ?, a b ? ? ?x2 y2? 3 n=? b , a ?,若 m· n=0 且椭圆的离心率 e= ,短轴长为 2,O 为坐标原点. 2 ? ?

(1)求椭圆的方程; (2)若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c)(c 为半焦距),求直线 AB 的斜率 k; (3)试问△AOB 的面积是否为定值?如果是, 请给予证明; 如果不是, 请说明理由.

3 c 分析:(1)由 e=a= 及 b=1 可求 a.(2)设出 AB 的直线方程,代入椭圆方程,结 2 合根与系数的关系及条件 m· n=0,解出 k 值.(3)应分 kAB 不存在及 kAB 存在两种情况 讨论求解. a2-b2 3 y2 c 解: (1)∵2b=2, ∴b=1, ∴e=a= a = .∴a=2, c= 3.椭圆的方程为 + 2 4 x2=1. (2)由题意,设 AB 的方程为 y=kx+ 3,

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?y=kx+ 3, 由?y2 2 ? 4 +x =1,
∴x1+x2=

整理得(k2+4)x2+2 3kx-1=0.

-2 3k -1 ,x1x2= 2 . 2 k +4 k +4

由已知 m· n=0 得:
2 ? k2? x1x2 y1y2 1 3 3 k +4 + 2 =x1x2 + (kx1 + 3)(kx2 + 3)= ?1+ 4 ? x1x2 + k(x1 +x2)+ = b2 a 4 4 4 4 ? ?

? 1 ? 3 -2 3k 3 ?- 2 ?+ k· 2 + =0.解得 k=± 2. 4 k +4 4 ? k +4?

(3)①当直线 AB 斜率不存在时,即 x1=x2, y1=-y2,由 m· n=0 得
2 y1 2 2 2 x1- =0?y1=4x1.

4

又 A(x1,y1)在椭圆上,所以 ∴|x1|=

2 4x1 2 x1+ =1,

4

2 1 1 ,|y1|= 2,S= |x1||y1-y2|=1= |x1|· 1|=1,所以三角形面积为定值. 2|y 2 2 2

y2 ②当直线 AB 斜率存在时,设 AB 的方程为 y=kx+b,代入 +x2=1,得:(k2+ 4 -2kb b2-4 y1 y2 4)x + 2kbx+ b - 4= 0.所以 x1 + x2 = 2 , x1x2 = 2 , x1x2 + = 0?x1x2 + 4 k +4 k +4
2 2

?kx1+b??kx2+b? =0,代入整理得 2b2-k2=4, 4 |b| 4k2-4b2+16 1 |b| 1 4b2 2 ∴S= · |AB|= |b| ?x1+x2? -4x1x2= = =1. 2 1+k2 2 2|b| k2+4 所以△ABC 的面积为定值. 点评:本题是平面向量与解析几何的交汇题,综合考查了椭圆方程,离心率,定 值等知识与方法,当直线位置不确定时,应注意分斜率存在与斜率不存在讨论.

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