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2.3.4平面向量共线的坐标表示


2.3.4 平面向量共线的坐标表示

问题提出

1.平面向量的基本定理是什么? 1.平面向量的基本定理是什么? 平面向量的基本定理是什么
是同一平面内的两个不共线向量, 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量, 则对于这一平面内的任意向量a, 则对于这一平面内的任意向量 ,有且只有 一对实数λ 一对实数 1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. =

2.用坐标表示向量的基本原理是什么? 2.用坐标表示向量的基本原理是什么? 用坐标表示向量的基本原理是什么 是与x 设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向 、 是与 量,若a=xi+yj,则a=(x,y). = + , =(x,

探究: 探究:平面向量共线的坐标表示

思考1 如果向量 , 共线 其中b≠0), 共线( 思考1:如果向量a,b共线(其中 ), 那么a, 满足什么关系 满足什么关系? 那么 ,b满足什么关系? a=λb. = 思考2:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),若向 思考2 , , 量a,b共线(其中b≠0),则这两个向量 , 共线(其中 ),则这两个向量 共线 ), 的坐标应满足什么关系?反之成立吗? 的坐标应满足什么关系?反之成立吗? 向量a,b(b≠0)共线 ?x y2 = x2 y 向量 , ( ) 1 1

思考3 已知点P 思考3:已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2), 若点P分别是线段P 的中点、三等分点, 若点P分别是线段P1P2的中点、三等分点, 如何用向量方法求点P的坐标? 如何用向量方法求点P的坐标?
y
P P1 O P P

P2

x

思考4 一般地,若点P 思考4:一般地,若点P1(x1,y1), 是直线P 上一点, P2(x2,y2),点P是直线P1P2上一点, uuu r uuu r 那么点P 且 PP = λPP ,那么点P的坐标有何计算 1 2 公式? 公式? y
P P1 O P2

x

? x1 +λx2 y1 +λy2 ? P? , ? 1+λ ? ? 1+λ

已知向量a=(4 2), =(6 =(4, =(6, 例1 已知向量 =(4,2),b=(6,y), 的值. 且a∥b,求y的值. ∥ , y=3 例2 已知点A(-1,-1),B(1,3), 已知点A( A(1),B(1,3), C(2,5),试判断A 三点是否共线? C(2,5),试判断A、B、C三点是否共线?
uuu 2 uuu r r AB = AC 3

,A、B、C三点共线. 三点共线.

r r r r 1. 若 = (2, 3), b = (4, ?1+ y), 且 / /b, a a y =( )
A. 6 B. 5 C. 7 D. 8

课堂练习

2. 若A(x, -1),B(1, 3),C(2, 5)三点共线, 三点共线, , , 三点共线 的值为( ) 则x的值为 的值为 A. -3 B. -1 C. 1 D. 3

课堂练习
3. 若AB = i + 2 j, DC = (3? x)i +(4? y) j (其 i, j的 向 别 x轴 y轴 方 相 中 方 分 与 、 正 向 且 单 向 ), 同 为 位 量 AB DC 线 则 、 与 共 , x y 值 能 别 ( 的 可 分 为
A. 1, 2 B. 2, 2

)
C. 3, 2 D. 2, 4

课堂练习
4. 已 a = (4, 2), b = (6, y), 且 // b, a 知 y . 则 =
5. 已 a = (1, 2), b = (x, 1), 若 + 2b a 知 与 a ?b 行 则 的 为 2 平 , x 值 .

6. 已知平行四边形 已知平行四边形ABCD四个顶点的坐 四个顶点的坐 标为A(5, 7),B(3, x),C(2, 3),D(4, x), 标为 , , , , . 则x=

课堂小结
1. 平面向量共线的坐标表示; 平面向量共线的坐标表示; 2. 平面上两点间的中点坐标公式及 定点坐标公式; 定点坐标公式;

作业: 作业:

习题2.3 习题 A组:4,5,6.


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