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2012年上海春季高考数学试卷


2012 年上海市普通高等学校春季招生统一考试

数学试卷
考生注意: 1.本试卷共 23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂(选择题)或写(非选择题) 在答题纸上,在试卷上作答一律不得分. 3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码 贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.

一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格 填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知集合 A ? 1, 2, k ? , B ? 2,5? ,若 A 2.函数

?

?

B ? ?1, 2,3, 5? ,则 k ?



y ? x ? 1 的定义域为
y 2 ? 8x 的焦点坐标为

. .

3.抛物线

4.若复数 iz ? 1 ? i ( i 为虚数单位),则 z 5.函数 f ( x ) ? sin(2 x ? 6.方程 4 ? 2
x x ?1

?

. .

?
4

) 的最小正周期为


? 0 的解为

7.若 (2 x ? 1) 8.若 f ( x ) ?

5

? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ? a5 x5 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ?




( x ? 2)( x ? m) 为奇函数,则实数 m = x

9.函数

y ? log2 x ?

4 ( x ? ?2,4?) 的最大值为 log2 x



10.若复数

z ? i ? 2 ( i 为虚数单位),则 z 在复平面内所对应的图形的面积为



11.某校要从 2 名男生和 4 名女生中选出 4 人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者中, 男、女生都有的概率为
2

(结果用数值表示). .

12.若不等式 x ? kx ? k ? 1 ? 0 对 x ? ?1,2? 恒成立,则实数 k 的取值范围是 13.已知等差数列 ?a n ? 的首项及公差均为正数,令 bn 当 bk 是数列 ?b n ? 的最大项时, k = 14.若矩阵 ? 共有 .

? a n ? a 2012?n (n ? N * , n ? 2012) ,

a11 a12 ? a11 a12 ? 满足; ,且 a , a , a , a ? ? 1,1 ? 0 ,则这样的互不相等的矩阵 ? ? 11 12 21 22 ? a21 a22 ? a21 a22 ?
个.

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1

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.

15.已知椭圆 c1 :

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 , c2 : ? ? 1 ,则( 12 4 16 8

).

(A) c1 与 c 2 顶点相同 (C) c1 与 c 2 短轴长相等

(B) c1 与 c 2 长轴长相等 (D) c1 与 c 2 焦距相等

16.记函数 y ? f ( x ) 的反函数 y ? f ?1 ( x ) .如果函数 y ? f ( x ) 的图像过点 (1,0) ,那么函数 的图像过点 ( y ? f ?1 ( x)? 1 (A) (0,0) (B) (0, 2) ). (C) (1,1) (D) (2,0) ).

17.已知空间三条直线 l、m、n ,若 l 与 m 异面,且 l 与 n 异面,则( (A) m 与 n 异面 (C) m 与 n 平行 (B) m 与 n 相交

(D) m 与 n 异面 、 相交 、 平行均有可能

18.设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,若实数 x、y、z 满足 xOA ? yOB ? zOZ ? 0 ( x 2 ? y 2 ? z 2 ? 0) , 则“ xyz ? 0 ”是“点 O 在 ?ABC 的边所在直线上”的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 ).

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共有两个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.

如图,正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面边长为 1,高为 2, M 为线段 AB 的中点,求: (1)三棱锥 C1 ? MBC 的体积; (2)异面直线 CD 与 MC1 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).

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20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为 30 千米(忽略内、外环线长度的差异). (1)当 9 列列车同时在内线上运行时,内、外环线乘客候车时间为 10 分钟,求内、外环线列车的 最小平均速度; (2)当新调整的方案要求内线环线列车平均速度为 25 千米/小时,外环线列车平均速度为 30 千米/小时, 现内、外环线共有 18 列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过 1 分钟, 问:内、外环线应各投入几列列车运行?

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

y2 ? 1. 已知双曲线 C1 : x ? 4
2

(1)求与双曲线 C1 有相同的焦点,且过点 P(4, 3) 的双曲线 C2 的标准方程; (2)直线 l : y ? x ? m 分别交双曲线 C1 的两条渐近线与 A、 B 两点,当 OA ? OB ? 3 时,求实数 m 的值.

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3

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知数列 ?a n ? 、 ?b n ? 、 ?c n ? 满足 (an?1 ? an )(bn +1 ? bn ) ? cn (n ? N * ) . (1)设 cn ? 3n ? 6 , ?a n ? 是公差为 3 的等差数列,当 b1 ? 1 时,求 b2 、 b3 的值; (2)设 cn ? n , an ? n ? 8n .求正整数 k ,使得对一切 n ? N ,均有 bn ? bk ;
3 2
*

(3)设 cn ? 2 ? n, an ?
n

1 ? ( ?1)n .当 b1 ? 1 时,求数列 ?b n ? 的通项公式. 2

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23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分. 定义向量 OM =(a,b) 的“相伴函数”为 f ( x) ? a sin x ? b cos x ;函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x 的 “相伴向量”为 OM =(a,b) (其中 O 为坐标原点).记平面内所有的“相伴向量”构成集合为 S . (1)设 g ( x ) ? 3sin( x ?

?
2

) ? 4sin x ,求证: g ( x ) ? S ;

(2)已知 h( x ) ? cos( x ? ? ) ? 2cos x ,且 h( x ) ? S ,求其“相伴向量”的模; (3)已知 OM =(a,b)(b ? 0) 为圆 C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 上一点,向量 OM 的“相伴函数” f ( x ) 在 x ? x0 处 取到最大值,当点 M 在圆 C 上运动时,求 tan 2 x0 的取值范围.

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5

参考答案
一、填空题 1、 3 8、 ?2 二、选择题 题 号 代 号 三、解答题 19、解:
(1) S△MBC ? ?1?

2、 [ ?1, ? ∞) 9、 5

3、 (2, 0) 10、 2π .

4、 1 ? i 11、

5、 π 12、 (-?, 2]

6、 x ? 1 13、 1006

7、 1 14、 8

14 15

15

16

17

18

D

B

D

C

1 2

1 1 1 1 1 1 ? ,又 C1C 为三棱锥 C1 ? MBC 的高, ?VC1 ?MBC ? S△MBC ? C1C ? ? ? 2 ? . 2 4 3 3 4 6

( 2)

CD // AB ,??C1 MB 为异面直线 CD 与 MC1 所成的角(或其补角).

联结 BC1 ,

AB ? 平面 BCC1 B1 ,? AB ? BC1 ,
5 1 .? tan ?C1 MB ? ? 2 5 ,??C1MB ? arctan2 5 , 1 2 2

在 Rt△MBC1 中, BC1 ? 4 ? 1 ? 5,MB ?

即异面直线 CD 与 MC1 所成角的大小为 arctan2 5 .
20、解: (1)设内环线列车运行的平均速度为 v 千米/小时.由题意可知,

30 ? 60 ? 10 ,解得 v ? 20 . 9v

所以,要使内环线乘客最长候车时间为 10 分钟,列车的最小平均速度是 20 千米/小时.

( 2) [解法一] 设内环线投入 x 列列车运行,则外环线投入 (18 ? x ) 列列车运行,内、外环线乘客最长候车 时 间 分 别 为 t1 、 t 2 分 钟 , 则 t1 ?
t1 ? t2 ? 72 60 ? ? 1, x 18 ? x

30 60 30 72 , t2 ? , 于 是 有 ? 60 ? ? 60 ? 25x x 30(18 ? x) 18 ? x

? x 2 ? 150 x ? 1296 ? 0, 150 ? 17316 ?114 ? 18180 ? ?x? 即? 2 解得 ,又 x ? N* ,所以 x ? 10 . 2 2 x ? 114 x ? 1296 ? 0, ? ?

所以,当内环线投入 10 列,外环线投入 8 列列车运行时,内、外环线乘客最长候车时间之差不超过 1 分 钟. [解法二] 设内环线投入 x 列列车运行,则外环线投入 (18 ? x ) 列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间
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分别为 t1 、 t 2 分钟,则 t1 ? 于是有 t1 ? t2 ?

30 60 30 72 , t2 ? , ? 60 ? ? 60 ? 25x x 30(18 ? x) 18 ? x

72 60 72 60 ? ? 1 ,记 f ( x) ? ? ( x ? 18,x ? N* ) ,则 f ( x ) 是单调递减函数, x 18 ? x x x ? 18

又 f (9) ? 1.33 , f (10) ? ?0.30 , f (11) ? ?2.03 ,所以 x ? 10 . 所以,当内环线投入 10 列,外环线投入 8 列列车运行时,内、外环线乘客最长候车时间之差不超过 1 分 钟. 21、解: (1)双曲线 C1 的焦点坐标为

?

5, 0 , ? 5, 0 ,
2 ? ? a ? 4, ? 双 曲 线 C2 的 标 准 方 程 为 ? 2 ? ?b ? 1.

? ?

?

?a 2 ? b2 ? 5, x 2 y2 ? 设 双 曲 线 C2 的 标 准 方 程 为 2 ? 2 ? 1 , 则 ?16 3 解得 a b ? 2 ? 2 ? 1, ?a b

x2 ? y2 ? 1 . 4
(2)双曲线 C1 的渐近线方程为 y ? 2 x , y ? ?2 x .

? 2 y2 ? x ? ? 0, 设 A( x1 , 2 x1 ) , B( x2 , ? 2 x2 ) . ? 得 3x 2 ? 2mx ? m2 ? 0 ,由 Δ ? 16m2 ? 0 ,得 m ? 0 . 4 ?y ? x ? m ?

x1 x2 ? ?
22、解:

m2 , OA ? OB ? x1x2 ? (2 x1 )(?2 x2 ) ? ?3x1x2 ,? m2 ? 3 ,即 m ? ? 3 3

(1) an?1 ? an ? 3 ,?bn?1 ? bn ? n ? 2 . b1 ? 1 ,? b2 ? 4 , b3 ? 8 . (2) an?1 ? an ? 2n ? 7 ,?bn?1 ? bn ?

n3 . 2n ? 7
.

由 bn?1 ? bn ? 0 ,解得 n ? 4 ,即 b4 ? b5 ? b6 ?

由 bn?1 ? bn ? 0 ,解得 n ? 3 ,即 b1 ? b2 ? b3 ? b4 .

?k ? 4 .
(3) an?1 ? an ? (?1)n?1 ,?bn?1 ? bn ? (?1)n?1 (2n ? n) ,?bn ? bn?1 ? (?1)n (2n?1 ? n ? 1) (n ? 2,n ? N* ) (*) 由(*)得: b2 ? b1 ? 21 ? 1 ,
b3 ? b2 ? (?1)(22 ? 2) ,

…,
bn?1 ? bn?2 ? (?1)n?1 (2n?2 ? n ? 2) ,

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bn ? bn?1 ? (?1)n (2n?1 ? n ? 1) .

当 n ? 2k (k ? N* ) 时,以上各式相加得
2 bn ? b1 ? ( 2? 2 ? ? 2 ? n2 ? n? 1

2 ?) 2? ) ? ? 1? 2 ? n ? ( ? n

?( ?

n ?1 2? 2 ? ( 2 )n 2 ? 2n n ? 1) ? ? 1? ( ? 2) 2 3 2

?bn ?

2 ? 2n n 2n n 5 ? ?1 ? ? ? 3 2 3 2 3 2 ? 2n?1 n ? 1 2n n 13 ? ? 1 ? (2n ? n) ? ? ? ? . 3 2 3 2 6

当 n ? 2k ? 1(k ? N* ) 时, bn ? bn?1 ? (?1)n?1 (2n ? n) ?
? 2n n 13 ? ? ? , n ? 2k ? 1, ? ? 3 2 6 bn ? ? n (k ? N* ). 2 n 5 ? ? ? , n ? 2k, ? ?3 2 3

23、解:
π? ? (1)[证明] g( x ) ? 3sin ? x ? ? ? 4sin x ? 4sin x ? 3cos x, 2? ?

其“相伴向量” OM ? (4, 3) ,? g( x) ? S.

(2) h( x ) ? cos( x ? α) ? 2cos x
? (cos x cos α ? sin x sin α) ? 2cos x
? ? sin α sin x ? (cos α ? 2)cos x,

? 函数 h ( x ) 的“相伴向量” OM ? (? sin α, cos α ? 2) ,则 OM ? (? sin α )2 ? (cos α ? 2)2 ? 5 ? 4cos α .

(3) OM 的“相伴函数” f ( x) ? a sin x ? b cos x ? a2 ? b2 sin( x ? φ),其中 cos φ ?

a a ?b
2 2

, sin φ ?

b a ? b2
2

.

π π 当 x ? φ ? 2k π ? ,k ? Z 时, f ( x ) 取到最大值,故 x0 ? 2k π ? ? φ,k ? Z, 2 2
π a ? ? ? tan x0 ? tan ? 2k π ? ? φ ? ? cot φ ? , 2 b ? ?

2 t ax n0 ?t a n x 2 ? 0 ? 2 1 ? t a nx0

a b ? 2 , 2 b a ?a? ? 1? ? ? a b ?b? 2?

b ? 3 ? ? 3? b 为直线 OM 的斜率,由几何意义知, ? ?? , 0 ? 0, ? ?. ? ? a ? a ? ? 3 ? ? 3 ?

令m ?

? 3 ? ? 2 3? b ,则 tan2 x0 ? . ,m ? ?? , 0 ? 0, ? ? ? 3 ? 1 3 a ? ? ? ? ? ? m? m
2 m? 1 m

当?

3 ? m ? 0 时,函数 tan 2 x0 ? 3

单调递减,?0 ? tan2 x0 ? 3 ;

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当0? m ?

3 时,函数 tan 2 x0 ? 3

2 m? 1 m

单调递减,?? 3 ? tan2 x0 ? 0 .

综上所述, tan 2 x0 ? ? ? ? 3, 0

? ? 0,

3? ?.

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