kl800.com省心范文网

20112 高等代数选讲 期末试卷 试卷A(金融、计算、数本091)

莆田学院期末考试试卷
课程名称: 高等代数选讲 适用年级/专业: 学历层次 本科

(A)卷
金融、计算、数本 091 考试用时 120 分钟

2011 —— 2012 学年第 二 学期
试卷类别 开卷(√)闭卷()

《考生 注意:答案要全部抄到答题纸上,做在试卷上不给分 》 ... ....................... . 一、 (每小题 10 分,共 50 分) 一般的教材上正交变换的定义为: 设 ? 为欧式空间 V ( R ) 的一个线性变换, 如果 ? 保 持向量的内积不变,即
(? (? ), ? (? )) ? (? , ? ) , ?? , ? ?V ( R)

(*)

则称 ? 为正交变换。 1、 如果 ? 为欧式空间 V ( R ) 的一个变换且保持向量的内积不变,即(*)式成立,那么 ? 是否为通常教材所讲的正交变换?以适当的方式回答。 2、 设 ? 为欧式空间 V ( R ) 的正交变换,证明 ? 保持向量的长度不变。如果 ? 为欧式空 间 V ( R ) 的一个变换且保持向量的长度不变,那么 ? 是否为通常教材所讲的正交变 换?以适当的方式回答。 3、 设 ? 为欧式空间 V ( R ) 的正交变换,证明 ? 保持向量的距离不变。如果 ? 为欧式空 间 V ( R ) 的一个变换且保持向量的距离不变,那么 ? 是否为通常教材所讲的正交变 换?以适当的方式回答。 4、 我们所用的教材的例 9.13 要证明正交变换的特征值等于 1 或-1.对这个命题的正 确与否,你有什么样的看法?以适当的方式回答。 5、 请给出 1 或-1 是 n 维欧式空间 Vn ( R) 上的正交变换 ? 的特征值的充分条件各一个。

试卷第 1 页 共 2 页

二、 (共 30 分) 设 ? 为 n 维欧式空间的一个线性变换,证明:如果 ? 满足下列三个条件中的任意两 个,那么 ? 必满足第三个。 ① ? 是正交变换。 ② ? 是对称变换。 ③ ? 是对合变换。 1、(18 分) 请给出完整的证明。 2、(12 分) 当 ? 为一般的欧式空间上的线性变换的,上述结论是否成立?如果成立给 出证明。如果不成立,请以适当的方式加以说明。

三、 (20 分) 至少用两种方法证明下列命题: 设 f ( x), g ( x) ? P[ x] ,则 ( f ( x), g ( x))n ? ( f n ( x), g n ( x)) 。

试卷第 2 页 共 2 页