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2014届山西省山西大学附中高三9月月考理科数学试卷(带解析)


2014 届山西省山西大学附中高三 9 月月考理科数学试卷(带解析)
一、选择题 1.已知集合 A. 【答案】B 【解析】 试题分析:因为, ,所以, ,故选 . 考点:集合的运算,简单不等式解法. 2.若复数 A. B. 的实部与虚部相等,则实数 C. D. ( ) , = B. C. D. ,则 ( )

【答案】A 【解析】 试题分析:因为, 考点:复数的概念,复数的代数运算. 3.从甲、乙等 名志愿者中选出 名,分别从事 , , , 四项不同的工作,每人承担一 项.若甲、乙二人均不能从事 工作,则不同的工作分配方案共有( ) A. 种 B. C. 种 D. 种 ,而其实部与虚部相等,所以, ,选 .

【答案】B 【解析】 试题分析:根据题意,分两种情况讨论: ①、甲、乙中只有 1 人被选中,需要从甲、乙中选出 1 人,担任后三项工作中的 1 种,由其 他三人担任剩余的三项工作,有 种选派方案. ②、甲、乙两人都被选中,则在后三项工作中选出 2 项,由甲、乙担任,从其他三人中选出 2 人,担任剩余的两项工作,有 种选派方案, 综上可得,共有 36+36=72 中不同的选派方案,故选 . 考点:排列组合应用

4. A.120

( B.210

)展开式中只有第 6 项系数最大,则其常数项为( ) C.252 D.45

【答案】B 【解析】 试题分析:由展开式中只有第 6 项的系数 ∵ 展开式的通项为 ,故选 . 考点:二项式系数的性质 最大可得展开式有 11 项即 令 可得 ,此时

5.设不等式组

表示的平面区域为 .若圆

不经过区域 上

的点,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】

试题分析:作出不等式组

表示的平面区域,

得到如图

及其内部,其中

.

∵圆 ∴由图可得,当半径满足 ∵ ,

表示以 或

为圆心,半径为 的圆, 时,圆 不经过区域 上的点, ,

∴当



时,圆 不经过区域 上的点,故选 .

考点:圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域. 6.已知图①中的图象对应的函数为 y=f(x),则图②的图象对应的函数为( ).

A. 【答案】C 【解析】

B.

C.

D.

试题分析:设所求函数为 故选 C. 考点:函数的图象 7.函数 A.1 B.2 C.3



,C 选项符合题意.

的零点个数为( ) D.4

【答案】B 【解析】 试题分析:令 图象可知,函数 得 的零点有两个,故选 . ,结合函数 的

考点:函数的零点,对数函数的图象和性质. 8.已知 关于 的一元二次不等式 的 的值之和是( ) A.13 B.18 C.21 D.26 的解集中有且仅有 3 个整数,则所有符合条件

【答案】C 【解析】 试题分析:设 若关于 的一元二次不等式 则 解得 ,即 ,又 , ,其图象是开口向上,对称轴是 x=3 的抛物线,如图所示. 的解集中有且仅有 3 个整数,

则所有符合条件的 的值之和是 6+7+8=21. 故选 C.

考点:一元二次不等式解法,二次函数的图象和性质. 9.已知函数 论正确的是( ) A. B. C. D. 是奇函数 的单调递增区间是 ,其中 为实数,若 对 恒成立,且 .则下列结

【答案】D 【解析】 试题分析:∵ ∵ ∴ ∵ ∴ 错; ∵ ∵ ,∴ 错; , .∴ 对; , .不妨取 , , ,∴ 错; , 对 x∈R 恒成立,∴ , .

故选 . 考点:三角函数图象和性质 10.抛一枚均匀硬币,正反每面出现的概率都是 ,反复这样投掷,数列 ,若 ,则事件 “ 定义如下: ” 的概率是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 试题分析:事件 其概率 事件“ 表示反复抛掷 8 次硬币,其中出现正面的次数是 5 次, . ”表示前两次全正或全负,则概率为 ,故选 B. 考点:独立重复试验事件的概率 11.已知 A. B. 的外接圆半径为 1,圆心为 O,且 C. D. ,则 的值为( )

【答案】A 【解析】 试题分析:因为 因此 即 所以 考点:平面向量的线性运算、数量积. 12.已知 为平面内两定点,过该平面内动点 其中 为常数,则动点 的轨迹不可能是 ( A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线 作直线 ) 的垂线,垂足为 .若 , , ,所以 ,又向量 , ,故选 . ,所以 ,

【答案】C 【解析】

试题分析:以 设 因为 所以 即 当 当 当 且

所在直线为 轴, ; , , ,当

中垂线为 轴,建立坐标系,

时,轨迹是圆.

时,是椭圆的轨迹方程;

时,是双曲线的轨迹方程. 时,是直线的轨迹方程;

综上,方程不表示抛物线的方程. 故选 C. 考点:圆锥曲线的标准方程 二、填空题 1.三棱锥 及其三视图中的主视图和左视图如图所示,则棱 的长为___ ______.

【答案】 【解析】 试题分析:由主视图知 由左视图知 在 Rt△ BCE 中, . 故答案为 . 平面 , ,在 中, ,设 中点为 E,则 ,且 ;

考点:三视图,距离计算. 2.观察下列算式: , , , … … … … 若某数 按上述规律展开后,发现等式右边含有“ ”这个数,则 _______. ,

【答案】45 【解析】 试题分析:由题意可得第 行的左边是 ,右边是 个连续奇数的和, 设第 行的第一个数为 ,则有 , 以上 故 个式子相加可得 ,可得 , , ,

故可知 2013 在第 45 行, 故答案为 45. 考点:归纳推理 3.已知 为 【答案】2 【解析】 试题分析:∵ ∴ 故曲线方程为 当 当 当 时,方程化为 时,方程化为 时,无意义, 和直线 与的图象, 当且仅当 ,即 时,方程化为 , , , 时, 取得最小值 8, ; 当 取得最小值时,直线 与曲线 的交点个数

由圆锥曲线可作出方程 由图象可知,交点的个数为 2.

考点:基本不等式,直线与圆锥曲线的位置关系. 4.已知 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 , 考查下列结论:① ;② 数列.其中正确的是_________ . 【答案】①③④ 【解析】 试题分析:令 令 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ 以此类推 (共 个)= , ∴ .∴ ,故④正确. 故答案为:①③④. 考点:数列的概念,抽象函数. 三、解答题 1.已知数列 满足 , ,数列 满足 . 故③正确. ,则 ,则 ,所以 , . 为偶函数;③数列 为等比数列;④数列 为等差 ,满足 ,

.故①正确. , ,f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x), 是 R 上的奇函数.故②不正确. ,∴ ,

(1)证明数列 (2)求数列

是等差数列并求数列 的前 n 项和 .

的通项公式;

【答案】(1)证明:见解析. 【解析】 试题分析:(1)利用 ,进一步确定得到 ,两式相减确定数列 是等差数列,

进一步得到通项公式.(2)根据 典型的题目,应熟练掌握其一般解法. 试题解析:(1)证明:由 ∴ 所以数列 ∴ (2) 是等差数列,首项 6分 7分 ① ② ①②得 9分 ,得 2分 ,公差为 ,

可选用“错位相减法”求和,这是一类相当

4分

11 分 12 分 考点:等差数列,“错位相减法”求和. 2.现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为 ,每命中一次得 1 分,没有命

中得 0 分;向乙靶射击一次,命中的概率为 ,命中得 2 分,没有命中得 0 分.该射手每次射击的结 果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (I)求该射手恰好命中两次的概率; (II)求该射手的总得分 【答案】(I) (II) . 的分布列及数学期望 ;

的分布列是

0

1

2

3

4

. 【解析】 试题分析:(I)此类题的一般解法是,标记事件,计算概率,注意到记:“该射手恰好命中两次” 为事件 ,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件 ,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件 ,“该射 手射击乙靶命中”为事件 .可得, 进一步利用 计算即得. (II)注意到 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.利用独立事件同时发生的概率计算公式可得.细心计算 是关键. 试题解析:(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件 ,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件 ,“该射 手第二次射击甲靶命中”为事件 ,“该射手射击乙靶命中”为事件 . 由题意知, 所以 , ,

. (II)根据题意,

6分 的所有可能取值为 0,1,2,3,4. , . , , , 11 分



的分布列是 0 1 2 3 4

12 分
所以 . 14 分

考点:独立事件同时发生的概率,随机变量的分布列及数学期望. 3.设 . 是抛物线 上相异两点, 到 y 轴的距离的积为 且

(1)求该抛物线的标准方程. (2)过 Q 的直线与抛物线的另一交点为 R,与 轴交点为 T,且 Q 为线段 RT 的中点,试求 弦 PR 长度的最小值. 【答案】(1) 【解析】 试题分析:(1)确定抛物线的标准方程,关键是确定 的值.利用 再根据 P、Q 在抛物线上,得到 p=1. (2)设直线 PQ 过点
2

.(2)直线 PQ 垂直于 x 轴时|PR|取最小值

.

,可得
,得 4p2=4,



,集合已知条件

,且方程为

,应用联立方程组 的方程组,确定 得到 ,利用“弦长

消去 x 得 y 2my 2a=0,利用韦达定理,建立 公式”求解. 试题解析: (1)∵ · =0,则 x1x2+y1y2=0,

1分

又 P、Q 在抛物线上,故 y12=2px1,y22=2px2,故得 +y1y2=0, y1y2= 4p
2

3分 又|x1x2|=4,故得 4p =4,p=1.
2

所以抛物线的方程为:

5分

(2)设直线 PQ 过点 E(a,0)且方程为 x=my+a 联立方程组 消去 x 得 y 2my 2a=0 ∴ ① 7分
2

设直线 PR 与 x 轴交于点 M(b,0),则可设直线 PR 方程为 x=ny+b,并设 R(x3,y3), 同理可知 ② 9分

由①、②可得 由题意,Q 为线段 RT 的中点,∴ y3=2y2,∴b=2a 又由(Ⅰ)知, y1y2= 4,代入①,可得 2a= 4 ∴ ∴ 当 n=0,即直线 PQ 垂直于 x 轴时|PR|取最小值 考点:抛物线标准方程,直线与抛物线的位置关系. 4.设 (1)求 的值; (2) 若 (3)求证: 【答案】(1) 0. (2) (3) 结合(2) 得到 时, . 成立.令 , , 恒成立,求 的范围. ,曲线 在点 处的切线与直线 垂直. 14 分 . ∴ a=2.故 b=4. 11 分

累加可得. 【解析】 试题分析:(1)求导数,并由 题.本题中设 . (3) 结合(2) 时, 成立.令 得到 , 得到 的值; (2)恒成立问题,往往转化成求函数的最值问 ,即转化成 .利用导数研究函数的最值可得

累加可得. 试题解析:(1) 2分

由题设 , (2) 设 ,

, . , ,即 4分 ,即 . 6分

①若 ②若 当 方程 ,即



,这与题设 的判别式

矛盾.

8分

时,

.



上单调递减,

,即不等式成立. 当 当 综上所述, (3) 由(2)知,当 不妨令 所以 , 11 分 . 时, 时, 时,方程 , ,其根 单调递增, 10 分 成立.

9分 , ,与题设矛盾. ,

12 分

累加可得

14 分 考点:导数的几何意义,利用导数研究函数的性质,利用导数证明不等式.


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