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利用空间向量解决立体几何问题


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戴氏教育大邑南校区

高中数学

授课老师: 黄静

课题一

利用空间向量解决立体几何问题

立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题:一是位置关系,它主要 包括线线垂直,线面垂直,线线平行,线面平行;二是度量问题,它主要 包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角等。教材上 讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角,而如何用 向量证明线面平行,计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多, 给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的 困难,下面主要就这四方面问题谈一下自己的想法,起到一个抛砖引玉的 作用。

一、怎样利用向量证明线面平行。
方法:利用共面向量定理,如果两个向量 a,b 不共线,则向量 c 与向量 a,b 共 面的充要条件是存在实数对 x,y,使 c=xa+yb。 具体做法:若要证直线 l 与平面α 平行,只要在α 内找到二个不共线向量 a,b 在 l 上取向量 c,证得 c=xa+yb(x,y∈R)即可。 例 1、对于任何空间四边形,试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行 于同一平面。 分析 要证明 EF、BC、AD 平行于同一平面 (E、F 分别为 AB、CD 的中点) ,只要证明相应 向量 EF 与 AD、BC 共面即可。证明:如图,利用 多边形加法法则可得, A E B D F C

EF = EA + AD + DF , EF = EB + BC + CF …①。又 E、F

分别是 AB、CD 的中点,故有 EA =- EB , DF =- CF …② 将②代入①后,两式相加得 2 EF = AD + BC ,∴ EF = 平行于同一平面。 1 1 AD + BC 即 EF 与 BC 、 AD 共面,∴EF 与 AD、BC 2 2

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注:本题若用立体几何知识去证明,有一定的难度,由此体会向量法证明的优越性。 例 2、如图,已知 a⊥α ,a⊥b,b¢α ,求证 b∥α 。 证明:在α 内作不共线向量 m,n ∵a、m、n 不共面,∴b=xa+ym+zn。 两边同乘 a 得 a·b=x·a·a+y·a·m+z·a·n ∵a⊥b,a⊥m,a⊥n,∴a·b=0,a·m=0,a·n=0 得 x·a·a=0 而 a≠0,∴x=0,即 b=ym+zn ∴b、m、n 为共面向量,又 b¢α ,b∥α 。 例 3、 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E 是 A1B 上的点, F 是 AC 上的点, 且 A1E=2EB, CF=2AF, 求证:EF∥平面 A1B1CD。 证明: EF = EB + BA + AF …(1)
EF = EA 1+ A1 D + DC

b a m

?

n

D1

C1

+ CF …(2)

A1 D F A E

B1 C

(1)×2+(2)并注意到 EA1 =-2 EB ,
CF =-2 AF , BA =- DC ,

1 1 得 EF = A1 D - DC 3 3 而 EF¢平面 A1B1CD,∴EF∥平面 A1B1CD。 ∴ EF , A1 D 、 DC 为共面向量。

B

二、怎样用向量求点到面的距离
方法一:直接作出距离,然后用向量进行计算 例 4:直三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1= 3 ,底面Δ ABC 中,∠C=90°,AC=BC=1,求 点 B1 到平面 A1BC 的距离。 解:如图建立空间直角坐标系,由已知得直棱柱各顶点坐标如下:

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z A(1,0,0, ) ,B(0,1,0) ,C(0,0,0) A1(1,0, 3 ) ,B1(0,1, 3 )C1(0,0, 3 ) ∴ A1 B =(-1,1,- 3 ) A1C =(-1,0,- 3 ) x
B1 A1 =(1,-1,0)过 B1 作 B1H⊥平面 A1BC,H 为垂足,

A1 H A B1

C1

C

B
y 连 A1H,由于 A1 B , A1 H 及 A1C 共面且 A1 B , A1C 不共线,根据共面向量定理可设 。 A1 H A1H=m A1 B +n A1C (m,n)为待定实数) ∴ A1 H =m(-1,1,3 )+n(-1,0,3 )=(-m-n,m,3 m- 3 n)

∴ B1 H = B1 A1 1+ A1 H =(1,-1,0)+(-m-n,m,=(1-m-n,-1+m,3 m- 3 n)

3 m- 3 n)

∵ B1 H ⊥ A1 B 且 B1 H ⊥ A1C ∴ B1 H · A1 B =0 且 B1 H · A1C =0 ∴ 5m+4n-2=0 4m+4n-1=0 3 ∴ B1 H =( ,0,4 ∴︱ B1 H ︱= 3 ) 4 3 4 ) =
2

m=1 3 n=4

3 2 ( ) +(4

3 2

方法二:先求出平面的方程,然后用点到平面的距离公式: ︱A x0+B y0+C z0+D︱ 点 P(x0,y0,z0)到平面 AX+BY+CZ+D=0 的距离 d 为:d= 2 2 2 A +B +C 解:建系设点同上(略) ,设平面 A1BC 的方程为 ax+by+cz+d=0(a,b,c,d 不全为零), 把点 A1,B,C 三点坐标分别代入平面方程得 d=0 b+d=0 a=- 3 c b=0

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a+ 3 c+d=0

d=0

z ∴平面 A1BC 的方程为 3 cx+cz=0 由于 c≠0,否则 a,b,c,d 都为零。 ∴方程变为 3 x+z=0 设点 B1 到平面 A1BC 的距离为 d,则 ︱ 3 x0+1 x0+ 3 ︱ 3 d= = 2 2 ( 3) +1 x A A1 H B1 C C1

B
y

三、怎样利用向量求线面所成的角
方法一:先求点到面的距离,然后解直角三角形 具体做法:如图,求直线 l 与平面α 的夹角,可先在直线 l 上取一点 P,先用上面 的方法求出点 P 到α 的距离 PO,然后解直角三角形 PAO 求出∠PAO 的大小。 方法二:转化为求直线与平面法向量夹角的余角 例 5:直三棱柱 ABC- A1B1C1 的侧棱 AA1= 3 ,底面△ABC 中,∠C=90°,AC=BC=1, 求直线 A1B1 与平面 A1BC 所成角。 解:建系设点同上(略) 设平面 A1BC 的法向量为 n=( x0,y0,z0) 由于 x0,y0,z0 不全为零,不妨设 z0≠0,x 则由 n⊥平面 A1BC 得 n⊥ A1 B 且 n⊥ A1C ∴n· A1 B =0 且 n· A1C =0 ∴ - x0+y0- 3 z0=0 - x0- 3 z0=0 A A1 H B1 C z C1

B
y

?

x0=- 3 z0 y0=0

∴法向量 n=(- 3 z0,0,z0)

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∵ A1 B1 =(-1,1,0) n·A1B1 ∴|cos< A1 B1 ,n>|=| | |n|·| A1B1| =| 3 z0 4 z0 · 2
2

|=

6 4

由于线线所成角不大于 90°, ∴直线 A1B1 与法向量所在直线所成角为 arccos ∴A1B1 与平面 A1BC 所成角为 π 6 - arccos 2 4 6 4

四、怎样利用向量求二面角的大小
方法一:转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个 向量的夹角(注意:要特别关注两个向量的方向)

如图:二面角α -l-β 的大小为θ , A,B∈l,AC ? α ,BD ? β , AC⊥l,BD⊥l 则θ =< AC , BD >=< CA , DB > C B

l A D

?

?

例 6,直三棱柱 ABC- A1B1C1 的侧棱 AA1= 3 ,底面△ABC 中,∠C=90°,AC=BC=1, 求二面角 A-A1B-C 的大小。 z 解:建系设点同上(略) 过点 A 作 AD⊥A1B,CE⊥A1B,D,E 分别为垂足 设 A1 D =λ A1 B x A A1 P B1 E C B y C1

则 AD = AA1 + A1 D =(0,0, 3 )+λ (-1,1,- 3 ) =(-λ ,λ , 3 - 3 λ ) ∵ AD ? A1 B A1 B ∴ AD · A1 B =0 ∴λ +λ - 3 ( 3 - 3 λ )=0

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3 λ = 5 3 3 2 3 ∴ AD =(- , , ) 5 5 5 1 4 3 同理可求得 CE =( , , ) 5 5 5 AD·CE = |AD|·|CE| 30 20 · 5 5 6 4 6 4 15 25 6 4

∴cos< AD , CE >=

=

∴< AD , CE >=arccos

即二面角 A-A1B-C 的大小为 arccos

方法二:先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离,然后通过解 直角三角形求角。

如图:已知二面角α -l-β ,在α 内取一点 P, 过 P 作 PO⊥β ,及 PA⊥l,连 AO,则 AO⊥l 成立,∠PAO 就是二面角的平面角 用向量可求出|PA|及|PO|,然后解三角形 PAO 求出∠PAO。 l A

?
P

O

?

方法三:转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。 如图(1)P 为二面角α -l-β 内一点,作 PA⊥α , PB⊥β ,则∠APB 与二面角的平面角互补。 如图(2)建系设点同上(略) ,取 AB 中点 E, 连接 CE,则 CE⊥AB,又平面 ABC⊥平面 A1ABB1, ∴CE⊥平面 A1ABB1 图(1)

?
A

P B

?

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∴向量 EC 为平面 A1AB 的法向量,由已知可得 1 1 1 1 E( , ,0)C(0,0,0)∴ EC =(- ,- ,0) 2 2 2 2 又过 B1 作 B1H⊥平面 A1BC,则向量 B1 H B1H 为平面 A1BC 3 3 的法向量,由前面的方法可求得 B1 H =( ,0,4 4 EC·B1H ∴cos< EC , B1 H >= = |EC|·|B1H| 2 2 ∴< EC , B1 H >=arccos(6 ) 4 3 8 12 4 6 4 )x A A1 H C1 B1 B

z

C

y

=-

·

由于 EC , B1 H 同时指向二面角内部 ∴二面角的大小为π -arccos(6 4 )=arccos ( 6 4 )


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