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2014-2015学年八年级(下)期末数学试卷(五四学制)


2014-2015 学年八年级(下)期末数学试卷(五四学制)
一、选择题(每小题有且只有一个正确答案,请把正确答案的字母代号填在下列表格内) 1.若式子 A. x>2 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是( B. x≥2 ) C. x1=﹣1,x2=2 D. x1=1,x2=﹣2 C . x≠ 2 ) D. x≥0

2.方程(x﹣1) (x+2)=0 的解是( A. x=1 B. x=﹣2 3.已知 3x=4y,则 的值为( A.
2

) C. D.

B.

4.已知方程 x +kx﹣6=0 的一个根是 2,则它的另一个根为( A. 1 B. ﹣2 C. 3

) D . ﹣3 )

5.如图,已知∠1=∠2,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC∽△ADE 的是(

A.
2

B.

C. ∠B=∠D

D. ∠C=∠AED

6.用配方法解方程 x ﹣2x﹣3=0,下列变形正确的是( ) 2 2 2 A. (x﹣2) =4 B. (x﹣1) =3 C. (x﹣1) =4 7.已知二次根式 A. 5 与 B. 6 是同类二次根式,则 a 的值可以是( C. 7

D. (x+1) =4 ) D. 8 )

2

8.已知点 P 是线段 AB 的一个黄金分割点(AP>PB) ,则 PB:AB 的值为( A. B. C. D.

9. 如图, 菱形 ABCD 的对角线 AC、 BD 的长分别是 6cm、 8cm, AE⊥BC 于点 E, 则 AE 的长是 (



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A.

cm

B.

cm

C.

cm

D. 5

cm

10.如图,在矩形 ABCD 中,AC、BD 相交于点 O,AE 平分∠BAD 交 BC 于 E,若∠EAO=15°, 则∠BOE 的度数为( )

A. 85°

B. 80°

C. 75°

D. 70°

11.如图,身高 1.6 米的学生小李想测量学校的旗杆的高度,当他站在 C 处时,他头顶端的影子正 好与旗杆顶端的影子重合,并测得 AC=2 米,BC=8 米,则旗杆的高度是( )

A. 6.4 米

B. 7 米
2

C. 8 米
2

D. 9 米 的值为( D. 或2 )

12.若实数 a,b(a≠b)分别满足方程 a ﹣7a+2=0,b ﹣7b+2=0,则 A. B. C. 或2

二、填空题(请把正确答案填在题中的横线上) 13.若方程 x +kx+9=0 有两个相等的实数根,则 k= 14.已知 =2a+1,那么 a 的取值范围是
2





15.某药店开展促销活动,有一种药品连续两次降价,其标价如表,则平均每次降价的百分率是 x, 则列出关于 x 的方程是 . 某药品 原价 60 元/盒
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现价 48.6 元/盒 16.若 n(n≠0)是关于 x 的方程 x +mx+2n=0 的根,则 m+n 的值为
2



17.如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在 AB、AC 上,∠ADE=∠C,如果 AE=4cm,△ACE 的面积 2 2 是 4cm ,四边形 BCED 的面积是 5cm ,那么 AB 的长是 .

18.如图,在矩形 ABCD 中,截去一个正方形 ABFE 后,使剩下的矩形对开后与原矩形相似,那么 原矩形中 AD:AB= .

三、解答题(请写出完整的解题步骤) 19.计算: (1) (2)
2

﹣4 ﹣(2+ ).
2

20.解方程:2x ﹣3x﹣1=0. 21.若关于 x 的二次方程(m+1)x +5x+m ﹣3m=4 的常数项为 0,求 m 的值. 22. 如图, △ABC 中, AB=AC, BE⊥AC 于 E, D 是 BC 中点, 连接 AD 与 BE 交于点 F, 求证: △AFE ∽△BCE.
2 2

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23.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利 10 元,每天可售出 500 千克.经市场调查 发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价 1 元,日销售量将减少 20 千克.现该商场要保证每天 盈利 6000 元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元? 24.如图,在直角坐标系中,△ABO 三个顶点及点 P 的坐标分别是 O(0,0) ,A(4,2) ,B(2,4) , P(4,4) ,以点 P 为位似中心,画△DEF 与△ABO 位似,且相似比为 1:2,请在网格中画出符合条 件的△DEF.

25.如图,AD 是△ABC 的中线,点 E 是 AD 的中点,点 F 是 BE 延长线与 AC 的交点,求

的值.

26.观察下列等式: ① = = ;



=

=





=

=



;…

回答下列问题: (1)化简: (2)化简: = = ; ; (n 为正整数) ;

(3)利用上面所揭示的规律计算:
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+…+

+



27.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是 AB 边上的高,∠BAC 的平分线 AE 交 C 于 F,EG⊥ AB 于 G,请判断四边形 GECF 的形状,并证明你的结论.

28.如图 1,正方形 ABCD 中,E、F 分别在 AD、DG 上,EF 的延长线交 BC 的延长线于 G 点,且 ∠AEB=∠BEG; (1)求证:∠ABE= ∠BGE; (2)如图 2,若 AB=5,AE=2,求 S△BEG; (3)如图 3,若 E、F 两点分别在 AD、DC 上运动,其它条件不变,试问:线段 AE、EF、FC 三者 之间是否存在确定的数量关系?若存在,请写出它们之间的数量关系,并证明;若不存在,请说明 理由.

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2014-2015 学年八年级(下)期末数学试卷(五四学制)
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题有且只有一个正确答案,请把正确答案的字母代号填在下列表格内) 1.若式子 A. x>2 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是( B. x≥2 C . x≠ 2 ) D. x≥0

考点:二次根式有意义的条件. 分析:二次根式的被开方数是非负数. 解答: 解:依题意得:x﹣2≥0, 解得 x≥2. 故选:B. 点评:考查了二次根式的意义和性质.概念:式子 开方数必须是非负数,否则二次根式无意义. 2.方程(x﹣1) (x+2)=0 的解是( A. x=1 B. x=﹣2 )

(a≥0)叫二次根式.性质:二次根式中的被

C. x1=﹣1,x2=2

D. x1=1,x2=﹣2

考点:解一元二次方程-因式分解法. 专题:计算题. 分析:方程利用两数相乘积为 0,两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程来求解. 解答: 解:方程(x﹣1) (x+2)=0, 可得 x﹣1=0 或 x+2=0, 解得:x1=1,x2=﹣2, 故选 D. 点评:此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

3.已知 3x=4y,则 的值为( A. B.

) C. D.

考点:比例的性质. 分析:根据等式的性质,可得答案. 解答: 解:3x=4y, 等式的两边都除以 3y,得 = , 故选:A. 点评:本题考查了比例的性质,利用了等式的性质 2,等式的两边都乘以(或除以)同一个不为零 的整式,结果不变.
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4.已知方程 x +kx﹣6=0 的一个根是 2,则它的另一个根为( A. 1 B. ﹣2 C. 3

2

) D . ﹣3

考点:一元二次方程的解;根与系数的关系. 分析:设方程的另一个根是 m,根据韦达定理,可以得到两个的积等于﹣6,且两根的和等于﹣k, 即可求解. 解答:解: 设方程的另一个根是 m, 根据韦达定理, 可以得到: 2m=﹣6 且 2+m=﹣k. 解得 m=﹣3. 故 选 D. 点评:本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系,即韦达定理.利用韦达定理可以简化求根 的计算. 5.如图,已知∠1=∠2,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC∽△ADE 的是( )

A.

B.

C. ∠B=∠D

D. ∠C=∠AED

考点:相似三角形的判定. 专题:几何综合题. 分析:根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析,从而得到最后答案. 解答: 解:∵∠1=∠2 ∴∠DAE=∠BAC ∴A,C,D 都可判定△ABC∽△ADE 选项 B 中不是夹这两个角的边,所以不相似, 故选 B. 点评: 此题考查了相似三角形的判定: ①如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似; ②如果两个三角形的两条对应边的比相等,且夹角相等,那么这两个三角形相似; ③如果两个三角形的两个对应角相等,那么这两个三角形相似. 6.用配方法解方程 x ﹣2x﹣3=0,下列变形正确的是( ) 2 2 2 A. (x﹣2) =4 B. (x﹣1) =3 C. (x﹣1) =4 考点:解一元二次方程-配方法. 分析:把常数项移项后,再在等式的两边同时加上 1,进行配方. 解答: 解:由原方程,得 2 x ﹣2x+1=3+1, 2 即(x﹣1) =4. 故选:C.
2

D. (x+1) =4

2

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点评:此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一 元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为 1,一次项的系数是 2 的倍数. 7.已知二次根式 A. 5 与 B. 6 是同类二次根式,则 a 的值可以是( C. 7 ) D. 8

考点:同类二次根式. 专题:常规题型. 分析:根据题意,它们的被开方数相同,将各选项的值代入求解即可. 解答: 解:A、当 a=5 时, B、当 a=6 时, C、当 a=7 时, D、当 a=8 时, =2 = =2 ,与 = ,故 A 选项错误;

是同类二次根式,故 B 选项正确;

,故 C 选项错误; ,故 D 选项错误.

故选:B. 点评:本题考查同类二次根式的概念,同类二次根式是化为最简二次根式后,被开方数相同的二次 根式称为同类二次根式. 8.已知点 P 是线段 AB 的一个黄金分割点(AP>PB) ,则 PB:AB 的值为( A. B. C. D. )

考点:黄金分割. 分析:把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分 割叫做黄金分割,它们的比值 解答: 解:根据题意得 AP= 所以 PB=AB﹣AP= 所以 PB:AB= . AB, 叫做黄金比. AB,

故选 A. 点评:本题考查了黄金分割:把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC(AC>BC) ,且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项(即 AB:AC=AC:BC) ,叫做把线段 AB 黄金分割,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割 点;其中 AC= AB≈0.618AB,并且线段 AB 的黄金分割点有两个.

9. 如图, 菱形 ABCD 的对角线 AC、 BD 的长分别是 6cm、 8cm, AE⊥BC 于点 E, 则 AE 的长是 (



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A.

cm

B.

cm

C.

cm

D. 5

cm

考点:菱形的性质. 分析:根据菱形的性质得出 BO、CO 的长,在 RT△BOC 中求出 BC,利用菱形面积等于对角线乘积 的一半,也等于 BC×AE,可得出 AE 的长度. 解答: 解:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴CO= AC=3cm,BO= BD=4cm,AO⊥BO, ∴BC= ∴S 菱形 ABCD= =5cm, = ×6×8=24cm ,
2

∵S 菱形 ABCD=BC×AE, ∴BC×AE=24, ∴AE= cm.

故选:B. 点评:此题考查了菱形的性质,也涉及了勾股定理,要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法,及 菱形的对角线互相垂直且平分. 10.如图,在矩形 ABCD 中,AC、BD 相交于点 O,AE 平分∠BAD 交 BC 于 E,若∠EAO=15°, 则∠BOE 的度数为( )

A. 85°

B. 80°

C. 75°

D. 70°

考点:矩形的性质. 分析:由矩形的性质得出 OA=OB,再由角平分线得出△ABE 是等腰直角三角形,得出 AB=BE,证 明△AOB 是等边三角形,得出∠ABO=60°,OB=AB,得出 OB=BE,由三角形内角和定理和等腰三 角形的性质即可得出结果. 解答: 解:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠BAD=∠ABC=90°,OA= AC,OB= BD,AC=BD, ∴OA=OB,
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∵AE 平分∠BAD, ∴∠BAE=45°, ∴△ABE 是等腰直角三角形, ∴AB=BE, ∵∠EAO=15°, ∴∠BAO=45°+15°=60°, ∴△AOB 是等边三角形, ∴∠ABO=60°,OB=AB, ∴∠OBE=90﹣60°=30°,OB=BE, ∴∠BOE= (180°﹣30°)=75°. 故选:C. 点评:本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形 内角和定理;熟练掌握矩形的性质,并能进行推理论证与计算是解决问题的关键. 11.如图,身高 1.6 米的学生小李想测量学校的旗杆的高度,当他站在 C 处时,他头顶端的影子正 好与旗杆顶端的影子重合,并测得 AC=2 米,BC=8 米,则旗杆的高度是( )

A. 6.4 米

B. 7 米

C. 8 米

D. 9 米

考点:相似三角形的应用. 专题:压轴题. 分析:因为人和旗杆均垂直于地面,所以构成相似三角形,利用相似比解题即可. 解答: 解:设旗杆高度为 h, 由题意得 ,h=8 米.

故选:C. 点评:本题考查了考查相似三角形的性质和投影知识,解题时关键是找出相似的三角形,然后根据 对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题.
2 2

12.若实数 a,b(a≠b)分别满足方程 a ﹣7a+2=0,b ﹣7b+2=0,则 A. B. C. 或2

的值为( D. 或2



考点:根与系数的关系. 2 2 2 分析:由实数 a, b 满足条件 a ﹣7a+2=0, b ﹣7b+2=0, 可把 a, b 看成是方程 x ﹣7x+2=0 的两个根, 再利用根与系数的关系即可求解. 2 2 解答: 解:由实数 a,b 满足条件 a ﹣7a+2=0,b ﹣7b+2=0,
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∴可把 a,b 看成是方程 x ﹣7x+2=0 的两个根, ∴a+b=7,ab=2, ∴ = = = = .

2

故选 A. 点评:本题考查了根与系数的关系,属于基础题,关键是把 a,b 看成方程的两个根后再根据根与系 数的关系解题. 二、填空题(请把正确答案填在题中的横线上) 2 13.若方程 x +kx+9=0 有两个相等的实数根,则 k= ±6 . 考点:根的判别式. 专题:计算题. 2 2 分析:根据根判别式△=b ﹣4ac 的意义得到△=0,即 k ﹣4×1×9=0,然后解方程即可. 2 解答: 解:∵方程 x +kx+9=0 有两个相等的实数根, 2 ∴△=0,即 k ﹣4?1?9=0,解得 k=±6. 故答案为±6. 2 2 点评:本题考查了一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根的根判别式△=b ﹣4ac:当△>0,方程有两 个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根. 14.已知 =2a+1,那么 a 的取值范围是 a≥﹣ .

考点:二次根式的性质与化简. 分析:直接利用二次根式的性质得出 2a+1≥0 求出即可. 解答: 解:∵ ∴2a+1≥0, 解得:a≥﹣ . 故答案为:a≥﹣ . 点评:此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确掌握二次根式的性质是解题关键. 15.某药店开展促销活动,有一种药品连续两次降价,其标价如表,则平均每次降价的百分率是 x, 2 则列出关于 x 的方程是 60(1﹣x) =48.6 . 某药品 原价 60 元/盒 现价 48.6 元/盒 考点:由实际问题抽象出一元二次方程. 专题:增长率问题. =2a+1,

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分析:可先表示出第一次降价后的价格,那么第一次降价后的价格×(1﹣降低的百分率)=48.6,把 相应数值代入即可求解. 解答: 解:第一次降价后的价格为 60(1﹣x) ,两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基 础上降低 x, 为 0(61﹣x)×(1﹣x) ,则列出的方程 60(1﹣x) =48.6. 2 故答案为:60(1﹣x) =48.6; 点评:此题主要考查了一元二次方程的应用中求平均变化率的方法.若设变化前的量为 a,变化后 2 的量为 b,平均变化率为 x,则经过两次变化后的数量关系为 a(1±x) =b. 16.若 n(n≠0)是关于 x 的方程 x +mx+2n=0 的根,则 m+n 的值为 ﹣2 . 考点:一元二次方程的解. 分析:利用方程解的定义找到相等关系 n +mn+2n=0,再把所求的代数式化简后整理出 m+n=﹣2, 即为所求. 2 解答: 解:把 n 代入方程得到 n +mn+2n=0, 将其变形为 n(m+n+2)=0, 因为 n≠0 所以解得 m+n=﹣2. 点评:本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义. 17.如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在 AB、AC 上,∠ADE=∠C,如果 AE=4cm,△ACE 的面积 2 2 是 4cm ,四边形 BCED 的面积是 5cm ,那么 AB 的长是 6cm .
2 2 2

考点:相似三角形的判定与性质. 分析:由∠ADE=∠C, ∠A 是公共角, 根据有两角对应相等的三角形相似, 即可证得△ADE∽△ACB, 又由相似三角形面积的比等于相似比的平方,即可得 积为 4,四边形 BCDE 的面积为 5,即可求得 AB 的长. 解答: 解:∵∠AED=∠B,∠A 是公共角, ∴△ADE∽△ACB, ∴ =( ),
2

=(

) ,然后由 AE=2,△ADE 的面

2

∵△ADE 的面积为 4,四边形 BCED 的面积为 5, ∴△ABC 的面积为 9, ∵AE=4,

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∴ =(

),

2

解得:AB=6cm. 故答案为:6cm. 点评:此题考查了相似三角形的判定与性质.此题比较简单,注意掌握有两角对应相等的三角形相 似与相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用. 18.如图,在矩形 ABCD 中,截去一个正方形 ABFE 后,使剩下的矩形对开后与原矩形相似,那么 原矩形中 AD:AB= 或2 .

考点:相似多边形的性质. 分析:用 AD 和 AB 表示出 DE,然后分两种情况利用相似多边形对应边成比例列式计算即可得解. 解答: 解:∵四边形 ABFE 是正方形, ∴DE=AD﹣AB, ∵剩下的矩形对开后与原矩形相似, ∴ = ,



=
2


2

整理得,2AD ﹣2AD?AB﹣AB =0, 解得 AD= ∴AD:AB= AB,AD= , AB(舍去) ,



=



=



整理得 AD=2AB, ∴AD:AB=2, 综上所述,AD:AB= 故答案为: 或 2.
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或 2.

点评:本题考查了相似多边形的性质,主要利用了相似多边形对应边成比例的性质,难点在于要分 情况讨论. 三、解答题(请写出完整的解题步骤) 19.计算: (1) (2) ﹣4 ﹣(2+ ).
2

考点:二次根式的混合运算. 分析: (1)先进行二次根式的化简,然后合并; (2)先进行二次根式的化简以及完全平方公式,然后合并. 解答: 解: (1)原式=3 + ﹣2 =2 ; (2)原式= ﹣ ﹣7﹣4 =﹣4﹣5 . 点评:本题考查了二次根式的混合运算,解答本题的关键是掌握二次根式的化简以及同类二次根式 的合并. 20.解方程:2x ﹣3x﹣1=0. 考点:解一元二次方程-公式法. 专题:计算题;压轴题. 分析:利用公式法解方程即可求解. 2 解答: 解:2x ﹣3x﹣1=0, a=2,b=﹣3,c=﹣1, ∴△=9+8=17, ∴x= x1= , ,x2= .
2

点评:此题这样考查了利用公式法解一元二次方程,解题的关键 是熟练掌握求根公式即可解决问 题. 21.若关于 x 的二次方程(m+1)x +5x+m ﹣3m=4 的常数项为 0,求 m 的值. 考点:一元二次方程的一般形式. 专题:计算题. 分析:根据方程中常数项为 0,求出 m 的值,检验即可. 2 2 解答: 解:∵关于 x 的二次方程(m+1)x +5x+m ﹣3m﹣4=0 的常数项为 0, 2 ∴m ﹣3m﹣4=0,即(m﹣4) (m+1)=0, 解得:m=4 或 m=﹣1, 当 m=﹣1 时,方程为 5x=0,不合题意;
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2 2

则 m 的值为 4. 点评:此题考查了一元二次方程的一般形式,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 22. 如图, △ABC 中, AB=AC, BE⊥AC 于 E, D 是 BC 中点, 连接 AD 与 BE 交于点 F, 求证: △AFE ∽△BCE.

考点:相似三角形的判定. 专题:证明题. 分析:根据等腰三角形的性质,由 AB=AC,D 是 BC 中点得到 AD⊥BC,易得∠ADC=∠BEC=90°, 再证明∠FAD=∠CBE,于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论. 解答: 证明:∵AB=AC,D 是 BC 中点, ∴AD⊥BC, ∴∠ADC=90°, ∴∠FAE+∠AFE=90°, ∵BE⊥AC, ∴∠BEC=90°, ∴∠CBE+∠BFD=90°, ∵∠AFE=∠BFD, ∴∠FAD=∠CBE, ∴△AFE∽△BCE. 点评:本题考查了相似三角形的判定:有两组角对应相等的两个三角形相似.也考查了等腰三角形 的性质,证题的关键是挖掘题目的隐藏条件:对顶角相等. 23.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利 10 元,每天可售出 500 千克.经市场调查 发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价 1 元,日销售量将减少 20 千克.现该商场要保证每天 盈利 6000 元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元? 考点:一元二次方程的应用. 专题:销售问题;压轴题. 分析:设每千克水果应涨价 x 元,得出日销售量将减少 20x 千克,再由盈利额=每千克盈利×日销售 量,依题意得方程求解即可. 解答: 解:设每千克水果应涨价 x 元, 依题意得方程: (500﹣20x) (10+x)=6000, 2 整理,得 x ﹣15x+50=0, 解这个方程,得 x1=5,x2=10. 要使顾客得到实惠,应取 x=5. 答:每千克水果应涨价 5 元. 点评:解答此题的关键是熟知此题的等量关系是:盈利额=每千克盈利×日销售量.
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24.如图,在直角坐标系中,△ABO 三个顶点及点 P 的坐标分别是 O(0,0) ,A(4,2) ,B(2,4) , P(4,4) ,以点 P 为位似中心,画△DEF 与△ABO 位似,且相似比为 1:2,请在网格中画出符合条 件的△DEF.

考点:作图-位似变换. 分析:利用位似图形的性质分别得出对应点位置进而得出答案. 解答: 解:如图所示:

. 点评:此题主要考查了位似变换,根据位似图形的性质结合分类讨论得出是解题关键. 25.如图,AD 是△ABC 的中线,点 E 是 AD 的中点,点 F 是 BE 延长线与 AC 的交点,求

的值.

考点:三角形中位线定理.

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分析:作 DH∥AC 交 BF 于点 H,根据相似三角形的性质证明 DH=AF,根据三角形中位线定理证明 DH= FC,得到答案. 解答: 解:作 DH∥AC 交 BF 于点 H, ∵DH∥AC,点 E 是 AD 的中点, ∴DH=AF, ∵DH∥AC,AD 是△ABC 的中线, ∴DH= FC, ∴ = .

点评:本题考查的是三角形中位线定理,掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是 解题的关键. 26.观察下列等式: ① = = ;



=

=





=

=



;…

回答下列问题: (1)化简: (2)化简: = = ﹣ ﹣ ;

; (n 为正整数) ;

(3)利用上面所揭示的规律计算: +…+ + .

考点:分母有理化. 专题:规律型. 分析: (1)根据已知得出式子变化规律写出答案即可; (2)进而由(1)的规律得出答案; (3)利用发现的规律化简各式进而求出即可.
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解答: 解: (1) 故答案为: (2) 故答案为: (3) = ﹣ ﹣ ﹣ ; ;

=





; (n 为正整数) ;

+…+

+

= ﹣1+ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ = ﹣1. 点评:此题主要考查了分母有理化,正确发现式子中变化规律是解题关键. 27.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是 AB 边上的高,∠BAC 的平分线 AE 交 C 于 F,EG⊥ AB 于 G,请判断四边形 GECF 的形状,并证明你的结论.

考点:菱形的判定. 分析:根据全等三角形的判定定理 HL 进行证明 Rt△AEG≌Rt△AEC(HL) ,得到 GE=EC;根据平 行线 EG∥CD 的性质、∠BAC 平分线的性质以及等量代换推知∠FEC=∠CFE,易证 CF=CE;从而 根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判断. 解答: 四边形 GECF 是菱形, 证明:∵∠ACB=90°, ∴AC⊥EC. 又∵EG⊥AB,AE 是∠BAC 的平分线, ∴GE=CE. 在 Rt△AEG 与 Rt△AEC 中, , ∴Rt△AEG≌Rt△AEC(HL) ; ∴GE=EC, ∵CD 是 AB 边上的高, ∴CD⊥AB. 又∵EG⊥AB, ∴EG∥CD, ∴∠CFE=∠GEA.
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∵Rt△AEG≌Rt△AEC, ∴∠GEA=∠CEA, ∴∠CEA=∠CFE,即∠CEF=∠CFE, ∴CE=CF, ∴GE=EC=FC. 又∵EG∥CD,即 GE∥FC, ∴四边形 GECF 是菱形.

点评: 本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质,关键是掌握菱形的判定: ①菱形定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形; ②四条边都相等的四边形是菱形. ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 28.如图 1,正方形 ABCD 中,E、F 分别在 AD、DG 上,EF 的延长线交 BC 的延长线于 G 点,且 ∠AEB=∠BEG; (1)求证:∠ABE= ∠BGE; (2)如图 2,若 AB=5,AE=2,求 S△BEG; (3)如图 3,若 E、F 两点分别在 AD、DC 上运动,其它条件不变,试问:线段 AE、EF、FC 三者 之间是否存在确定的数量关系?若存在,请写出它们之间的数量关系,并证明;若不存在,请说明 理由.

考点:四边形综合题. 分析: (1)在△BEG 中利用三角形内角和定理,然后根据平行线的性质可得∠AEB=∠GBE,据 此即可求证; (2)作 GH⊥BE 于点 H,则△BGE 是等腰三角形,证明△ABE∽△BGH,根据相似三角形的对应边 的比相等即可求解; (3)作 BQ⊥GE 于点 Q,连接 BF,证明△ABE≌△QBE,直角△BQF≌直角△BCF 根据全等三角形 的对应边相等即可证得 AE+FC=EF.
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解答: (1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AD∥BC, ∴∠AEB=∠GBE, ∴∠BGE=180°﹣∠BEG﹣∠GBE,即∠BGE=180°﹣2∠AEB. ∵∠ABE=90°﹣∠AEB,即 2∠ABE=180°﹣2∠AEB, ∴∠ABE= ∠BGE; (2)解:作 GH⊥BE 于点 H. 在直角△ABE 中,BE= ∵∠GBE=∠BEG, ∴△GBE 是等腰三角形. ∴BH=EH= BE= . = .

∵∠AEB=∠GBH,∠A=∠BHG=90°, ∴△ABE∽△BGH, ∴ ,即 ,

∴GH=

. × = ;

∴S△BEG= BE?GH= × (3)解:AE+FC=EF. 作 BQ⊥GE 于点 Q. 在△ABE 和△QBE 中, ,

∴△ABE≌△QBE, ∴AB=QB,AE=QE,而 AB=BC, ∴BQ=BC. 连接 BF. 在直角△BQF 和直角△BCF 中, , ∴直角△BQF≌直角△BCF, ∴QF=FC, ∴AE+FC=EQ+QF=EF.

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点评:本题考查正方形的性质以及相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质,正确作 出辅助线,证明△ABE≌△QBE,直角△BQF≌直角△BCF 是关键.

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