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浙江大学2006年数学分析


浙江大学 2006 年数学分析考试试题 一. (20 分) (1)证明:数列 xn = 1 + 示以自然数 e 为底的对数. (2)计算: lim ?
n →∞

1 1 1 + + ??? ? log n(n = 1, 2, 3 ???) 是收敛的,其中 log 表 2 3 n

1 1 1 ? ? 1 + + ??? + ? . 2n ? ? n +1 n + 2 n + 3

二. (15 分)设 f ( x ) 是闭区间 [ a, b ] 上的连续函数,对任一点 x ∈ ( a, b ) ,存在趋于零的数列

{rk } ,使得 lim k →∞

f ( x + rk ) + f ( x ? rk ) ? 2 f ( x ) rk 2

= 0 .证明函数 f ( x ) 为一线性函数.

三. (15 分)设 h ( x ) 是 ( ?∞, +∞ ) 上的无处可导的连续函数,试以此构造连续函数 f ( x ) ,在

( ?∞, +∞ ) 上仅在两点可导,并且说明理由.
1 2 ? 2 2 ?( x + y ) sin x 2 + y 2 , x + y ≠ 0 四. (15 分)设 f ( x, y ) = ? ?0, x 2 + y 2 = 0 ?
(1)求

?f ?f ( x, y ) 以及 ( x, y ) . ?x ?y ?f ?f ( x, y ) , ( x, y ) 在原点是否连续? f ( x, y ) 在原点是否连续?试说明理由. ?x ?y

(2)问

五. (20 分)设 f ( x ) 在 [ 0, +∞ ) 的任何闭子区间 [α , β ] 上黎曼可积,且 证明:对于常数 a > 1 ,成立



+∞

0

f ( x ) dx 收敛,



+∞

0

a ? xy f ( x ) dx = ∫

+∞

0

f ( x ) dx .
3

六. (15 分)计算曲面积分 I =

∫∫
s

xdydz + ydzdx + zdxdy

( ax

2

+ by 2 + cz 2 )

2

其中 S =

{( x, y, z ) | x

2

+ y 2 + z 2 = r 2 } ,常数 a > 0, b > 0, c > 0, r > 0

七 . (15 分 ) 设 V 为 单 位 球 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , 又 设 a, b, c 为 不 全 为 零 的 常 数 , 计 算: I =

∫∫∫ cos ( ax + by + cz )dxdydz
V
∞ 1 n! ,证明级数 ∑ ( n ) 收敛. 2 1? 2x ? x ( 0) n =0 f

八. (20 分)设函数 f ( x ) =

九. (15 分)设 f ( x ) 在 [ 0, +∞ ) 上可微, f ( 0 ) = 0 .若有常数 A > 0 ,使得对任意 x ∈ [ 0, +∞ ) ,

有 f ′ ( x ) ≤ A f ( x ) .证明:在 [ 0, +∞ ) , f ( x ) = 0 .


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